Проблемы Гильберта и советская математика

Квант 1977, №11 с. 31, 32, 33, 36, 37 Тег 1MNY

Проблемы Гильберти и советская математика

Собитием номер один на Международном математическом конгрессе, проходившем в августе 1970 года во всемирно известном французском курортном городе Нищце, было известное решение десятичной проблемы Гильберти. Героем дня стал двадцатилетний советский математик Ю. В. Матиясе в чи, доклад которого был включен в повестку дня конгресса сверх зананести составленной программы. Так закончился дивизяя 70 лет история этой проблемы Гильберти.

Решение каждой из двадцатилетных проблем Гильберти, даже каждый частичный успех в их решении принимается всем математическим миром как крупное математическое достижение. В чем секрет такой популяриости Гильбертиских проблем, той значимости, которое придает их решение? Ведь число нерешенных задач, поставленных в математике

Д. Гильберт (1862—1943)

ской литературе, огромно, и лишь некоторые из них (как, например, problema Ферма) приобретают широкую известность. А здесь не одна, а целых двадцать три задачи, некоторые из которых — не просто задачи в узком смысле этого слова, а планы разработки целых математических направлений! Чтобы ответить на этот вопрос, нам придется отступить в 1900 год и оказаться в Париже на заседании второго Международного конгресса математиков, на котором 8 августа выступил Д. Гильберт с докладом «Математические проблемы».

Давид Гильберт родился в 1862 году в Кенигсберге. В этом городе он закончил школу и университет, здесь он начал свой путь в науке, на котором с первых же шагов ему сопутствовал успех. Полученные им результаты получили широкую известность. В 1895 году знаменитый геометр Ф. Клейн приглашает его в Геттинген занять должность ординарного профессора местного университета, с которым оказался связанной всядальнейшая деятельности Гильберти. Ko времени своего выступления на конгрессе 1900 года Гильберти прославился замечательными результаты по теории инвариантов и теории алгебраических чисел. В 1899 году вышел в свет его труд «Основания геометрии», составивший эпоху в основаниях математики. В этих работах в полной мере проявились удивительные разносторонности и обобщающие силы его дарования, позволяющие ему легко ориентироваться в самых различных областях математики, необходимая сила его математической интущии. За Гильберти наряду с А. Пуанкаре утверждается слова крупнейшего математика своего времени. Поняten поэтому тот исключительный

интерес, с которым встретили участики конгресса его доклад со столмногообещающим названем — «Математические проблемы».

«Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие условия нашего знания и тайны его развития в ближайшие степени? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом состоянии на широком и богатом поле математической мысли? — такими словами Д. Гильберт начал свой доклад. Затем он продолжал. — История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвивается в сторону как бесплатные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможность характер развития математики в ближайшем будущем, мы должны переработать на нашем воображении вопросы, которые еще осталось открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мыждем от будущего. Такой обзор проблемы кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным». И Гильберт предложает внимание слушателей двадцать три проблемы из различных областей математики, «исследование которых может значительностимулировать дальнейшее развитие науки».

Первые шесть проблемы доклада Гильберта относятся к обоснованию различных математических дисциплин, следующие девять — к более специальным вопросам алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел, остальные восемь — к теории функций, дифференциальным уравнениям и выражением и выраженной исчисленению.

Следует отметить, что некоторые из этих проблемы постановлены до Гильберта. Так, первая в списке — проблема контирума — была поставлена Г. Кантром в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К. Гауссом в его переписке с Германом. Что касается вопросов, составляющих содержание восемь проблемы, то один из них — единственная о нулях дземафункции — был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый единственным о нулях Гольбаха, — еще в 1742 году в письме последнего к Л. Эйлеру, наконец, 21-я проблема — задача, выдвинутая Б. Риманом в 1857 году. Остальные проблемы, автором которых был сам Гильберт, составляют лишь часть задач, поставленных им к тому времени. Эти остоятельства поддерживают особый характер выбора проблема, содержащихся в документе,— здесь лишь те наиболее важные, по мнению Гильберта, задачи, которые стояли тогда перед математикой, размышления над которых могли помочь «представить себе возможность развития математического знания в ближайшем будущем».

Дальнейший ход событий показал, что выбор проблема, сделанный Гильбертом, был в основном правлении: разработка идеей, связанных с их содержанием, составила значительное часть математики XX века. В решении этих проблем принимали участие очень многое талантливые математики из различных стран мира, в том числе сам Гильберт и его многочисленные ученики. Замечательное место среди них принадлежит отчетственным математикам. В то время России не была еще мощной математической державой, подобной Германии или Франции, хотя и обладала уже признанными математическими школами и для миру ряд выдающихся математиков, среди них—в лицеших математических генев—Н. И. Лобачевского, П. Л. Чебышева. Однако золотой век отчетственной математики был еще вперед. На конгрессе в Париже русская делегация была сравнительно небольшой—9 человек (сравните: Франция — 90, Германия — 25) и выступила всего с одним сообщением «Об исчезновении (мы бы сказали — о нулях — С. Д.) функции Н нескольких переменных», которое сделал харьковский профессор М. А. Тихомандрикий.

В дальнейшем мы в основном будем придерживать хронологическая приципа.

Первой работы в России, посвященной разработке глобертовых проблем, было исследовано В. Ф. Кагана 1903 года, который значительно сократил и упростил появшеся незадолго до этого доказательство М. Дена, дававшее положительное решение третьей проблемы глоберта, относительной к степени В. 1904 года С. Н. Берништейн, молодой ученый из России, впоследствии академик, прославившийся выдалошимся результаты в теории дифференциальных уравнений, теории функций и теории вероятности, дал решение девятнадцатой проблемы глоберта — трудной задачи теории дифференциальных уравнений с частными произвольными. Это решение составило содержание докторской диссертации Бернштейна,ащшенной им в том же году в Париже. Им же в работах 1908—1909 годов были получены важные результаты, связанные с двацатой проблемой, также относящейся к теории дифференциальных уравнений с частными произвольными.

В дальнейшем развите направленный, связанных с разработкой этих проблем, стало одним из основных для получения всемирную известность советской школи теории дифференциальных уравнений, истоки которой мы находим в творчестве В. А. Стеклова и А. М. Ляпунова. Блестящие результаты по девятнадцатой проблеме были получены в 1937 году И. Г. Петровским, впоследствии академик, одним из крупнейших специалистов в области теории дифференциальных уравнений.

И. Г. Петровский занимается также шестнадцатой проблемой глоберта, включавший в себя ряд задач топологии алгебраических кривых и поверхностей. В 1933 году он решил одну из этих задач, а в работе 1949 года (совместно с О. А. Олейник) обобщил свой результат.

В 1960 году ленинградским математиками О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой было получено «смыкание» результатов по девятнадцатой и двацатой проблемам глоберта. Исследования по ним оказались в теории связи с варианционным исчислением, признав к развитию которого составляют содержание глоберта. Ответом на этот признасъ съявали исследования советских авторов (С. Н. Бернштейна, Л. А. Люстерника, Л. Г. Шнирельмана, Л. С. Понтрягина, О. А. Ладыженской и др.).

Шестая проблема глоберта ознакомлена так: «Математическое изложение аксиом физики» (при этом имелась в виду также теория вероятности). Любопытно отмечить, что для глоберта, как и для многих математиков его времени, теория вероятности представлялась разделом физики (подобным механике), в котором математические методы играют выдающийся роль. Такая точка зрения в значительной мере объяснялась слабой разработкой аксиоматического функента теории вероятности, что влекло за собой подчас слабую вывлечение собственно математического ее содержания. Аксиоматическое построение теории вероятности позволяет было справедливо сформулировано глобертом в виде одной из основных задач, стоящих математикой.

Такую аксиоматизацию дал впервые С. Н. Бернштейн в работе, появившейся в год Великой Октябрьской социалистической революции. В 1936 году выдающийся математик современности А. Н. Колмогов, ныне академик, предложил другую аксиоматическую систему теории вероятности, основанной на понятиях теории меры. Эта система, связанная withследствии общеприятной, занимала собой начало нового этапа в истории теории вероятностей и появились как в фокусе идеей, с одной стороны, Московской школи теории функций действительного переменного, основанной Д. Ф. Егоровым и Н. Н. Лузиным, с другой — знаментий Петербургской школи П. Л. Чебышева, являющейся ведущей в области теории вероятности

твердилесь, то оказалась бы решенной более сложная и важная задача о возможности представления аналогичной функции трех переменных посредством суперпозицини достагоно главных функций только двух переменных (но оказалось бы невозможным).

Немецкий математик Л. Бибербах называл тринадцатую проблуем «самой несчастливой» — в данном случае число 13 определяло свою дурную славу, решение проблемыускользано от исследователей, уводих назывные пути, приводившие к неверным заключением. Так, некоторые время полагали, что Бибербаху удалось подтверить гипотезу Гильберта, однако его построение оказалось ошибным. Были получен цельй ряд результатов, самым сильным из которых был результат молодого советского математика А. Г. Витушкина, косвенно вводе бы подтверждавших гипотезу Д. Гильберта.

Тем более неожиданным оказался результат, полученный в 1954 году академиком А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом, тогда еще студентом механико-математического факультета Московского университета, впследствии профессором и лауреатом Ленинской премии. Они провергли гипотезу Гильберта, показав, что всякая неперивная функция трех переменных представляем собой сумму девятим функций, каждая из которых является однократной суперпозицией функций двух переменных.

Вторая проблема Гильберта состояла в доказательстве непротиворечности арифметики. При этом Гильберт сильно ограничивал средства доказательства рамками подхода, получившего впследствии навание «финтизма Гильберта». Сам Гильберт совместно с учениками затратил много сил на решение этой проблемы и даже одно время испытывал уверенность, что такое доказательство им получено. Однако результаты К. Геделя 1931 года положили конец этой уверенности — выяснили, что такое доказательство в рамках «финтизма Гильберта» прициппально не может быть получено. Начались поискы такого доказательства при отказа от необходимости ограничения, накладываемых «финтизмом Гильберта». Однако смых замечательных доказательств такого рода получил в 1943 году академик П. С. Новиков.

Суть десятиой проблемы, окончательно решенной Ю. В. Матиясевичем, состоит в следующем: дано произвольное диофантовое уравнение с целыми рациональными коэффициентами; указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа операций установить, разрешим ли данное уравнение в целых рациональных числах.

К примеру, целочисленными решениями уравнения

$x^2 + y^2 - z^2 = 0,$

возникающего в связи со значением теоремии Пифагора, являются наборы ( $\alpha \in \mathbb{Z}$ )

$x = \alpha^2 - 1, y = 2\alpha, z = \alpha^2 + 1.$

Эти формулы приписьвали Пифагору, однако они не охватывают всех целочисленных решений (пифагоровых точек) данного уравнения. Общешее решение

$x = \xi^2 - \eta^2, y = 2\xi\eta, z = \xi^2 + \eta^2$

( $\xi, \eta \in \mathbb{Z}$ ) мы находим у Диофанта, хотя оно, без сомнения, было известно задолго до него. В работе Диофанта теория таких уравнений получила значительное развитие, поэтому впследствии они были названы его именем.

Исследованием диофантовых уравнений, или диофантовым анализом, как передко говорят сегодня, занимались П. Ферма, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и К. Ф. Гаусс. Последние две попытки решить решенные уравнения второй степени с двумя неизвестными. Можно назвать еще целый ряд выдающихся математков XIX столетия, проводавших свои силы в диофантовом анализе, однако к 1900 году, времени поставки Гильбертом указанной задачи, успехи в решении уравнений высших степени были довольно скромными. Ставя указанную выше проблему, Гильберт намерен решать, по-видимому, привлечь внимание математков к разработке проблемы диофантового анализа.

В 1908 году А. Туэ получил из самых замечательных решатов

диофантового анализа: уравнение $P(x, y) = c$ , где $c$ — целое число, $a$ $P(x, y)$ — неприводимый многочлен, у которого все слагаемые имеют одинаковую степень, не меньше трех, может иметь лишь конечное числочисленных решений (многочлен называется неприводимым, если он не разлагается в произведение двух многочленов с целыми коэффициентами).

Но ни метод Туэ, ни последующие методы не давали алгоритма для нахождения смих решений. Результаты, полученные для диофантовых уравнений степеня выше двух (работы советского математика Б. Н. Делоне, немецкого математика К. Зигеля и др.), относились к поискам алгоритмов для отдельных классов диофантовых уравнений. И хотя успех в поисках общего метода для произвольных диофантовых уравнений были в высшей степени незначительными, математики тем не менее полагали, что рано или поздно он будет найден.

Однако в середине тридцатых годов в математике формировалась четкое понятие «алгоритма» и продолжается представление о проблемах, для которых не существует алгоритма, задающего их решения, — об алгоритме неразрешимых проблемах. Примеры таких проблем даны в 30—40-e годах А. Черч, А. Тыюринг, Э. Пост, А. А. Марков. В 1952 году П. С. Новиков доказывает алгоритмический неразрешимость одной важной проблемы теории групп — проблем точек действия слов. Примеры алгоритмических неразрешимых проблем, с одной стороны, и трудности, связанные с попытками нахождения исходного алгоритма, с другой, породили сомнение: а может быть, алгоритма, решающего десятию проблем, не существует вовсе? Результаты американских математиков (М. Дэвиса и др.), полученные в 50—60-e годах, давали косвенное подтверждение такому предположению. Им удалось показать, что для неокоторого более общего класса уравнения, так называемых «показательно-диофантовых уравнений с целыми коэффициентами» такого алгоритма не существует. Но это для показательно-диофантовых уравнений, а для более специального случая — диофантовых уравнений — такой алгоритм мог и существовать. Так вот, Ю. В. Матиясевич и было показано, что и для класса таких уравнений искомого алгоритма нет.

Мы рассказали здесь лишь о наиболее ярких достинениях советских математиков в решении проблем Гильберта. Большой и подробный рассказ — tema не статьи, а книги. Такая книга, расссказывающая о достижении ученых всего мира в решении проблем Гильберта, написанная крупными специалистами по соответствующим области математики, вышла в нашей стране в 1969 году. Правда, говоря об этой книге, следует иметь в виду, что, во-первых, для чтения книги требуется значительная математическая подготовка — для понимания отдельных ее разделов неxbатит даже знания университета курса, а, во-вторых, за время, протекшее с момента ее опубликования, положение дел с изучением Gilбертовых проблем сильно изменилось. Математика нахождения сейчас в стадии бурного развития, она постояно ставит перед учеными новые и новые проблемы. Да и многое старые (в том числе некоторые из проблем Gilберта) до сих пор не нашли своего решения. Можно быть уверенным, что советские математики и в дальнейшем будут радовать нас замечательными успехами в решении наиболее важной математики.

Литература

Проблемы Гильберта. Сборник под редакцией П. С. Алексадрова. М., «Наука», 1969.
И. Г. Башмаков. Диофант и диофантовый уравнения. М., «Наука», 1972.
В. Г. Болтянский. Равновеликие и равносствленные фигуры. М., Гостехидат, 1956.
Ф. Кыман. История числа М., «Наука», 1971.
С. Г. Гиндикин. К. Ф. Гаусс. «Квант», 1977, № 8.
В. И. Арнольд. О представлении функций нескольких переменных в виде суперпозиции функций меньше числа переменных. «Matематические процесшения», 1958, № 3, 41—61.