Как решить кубическое уравнение?

52

Ф444. Тяжелый ящик массы M скатывается по роликам, образующим наклонную плоскость (рис. 6). Рассстояние между роликами l, их радиусы r и массы m. Угод накладна плоскости к горизонту равен α. Найти скорость движения ящика, если известно, что она построена. Считать, что ролики полые и толщина их стенок d << r.

Рис. 6.

При движении ящика визз по наклонной плоскости нахождения под ним ролики приходят в движение — начнают раскрутиваться. Тот факт, что ящик движется с постоянной скоростью, означает, что на него со стороны роликов действует сила сопротивления $\vec{F} = -M\vec{g} \sin \alpha$.

Предположим, что ящик движется со скоростью $\vec{v}$ и его длина достаточно велика, так что он успевает раскрутив ролики до линейной скорости $u = |\vec{v}|$. Ролик раскруивается благодаря слепя треня $\vec{f}$, действующей на него со стороны ящика до тех пор, пока его линейная скорость не станет равной $|\vec{v}|$. После этого трене между этим роликом и ящиком исчезает.

Из сообщений симметрии ясно, что действие силы треня на ролика равноенное действию такой же по абсолотному значению силы $|\vec{f}|$, приложенной к ролику в любой его точке по касательной к ободу ролика и «вращающейся» вместе с роликом. Так как действующая на ролика постоянна по абсолотному значению, линейная скорость врашения ролика под действием силы $|\vec{f}|$ изменяется со временем по линейному закону. Пусть Rolик раскруивается за время $\tau$ до линейной скорости $u = |\vec{v}|$. Сила $\vec{f}$ совершает при этом работу $|\vec{f}||\vec{v}| \tau/2$ (средняя скорость Rolika равна $|\vec{v}|/2$, пусть, проходимый точкой приложения силы, равен $|\vec{v}| \tau/2$). Эта работа равна кинетической энергии Rolika:

$$\frac{|\vec{f}| |\vec{v}| \tau}{2} = \frac{m |\vec{v}|^2}{2}.$$

Поскольку Rolик раскруивается до линейной скорости $|\vec{v}|$ за время $\tau$, под ящиком все время нахождения $N = |\vec{v}| \tau/l$ Rolиков, линейная скорость которых меньше $|\vec{v}|$. Сила треня, с которой эти Rolики действуют на ящик, равна

$$|\vec{F}| = N |\vec{f}| = \frac{|\vec{v}| \tau}{l} |\vec{f}| = M |\vec{g}| \sin \alpha.$$

Из (1) имеем: $|\vec{v}| \tau |\vec{f}| = m |\vec{v}|^2$. Подставив это выражение в (2), получим:

$$\frac{m |\vec{v}|^2}{l} = M |\vec{g}| \sin \alpha.$$

Отсюда

$$|\vec{v}| = \sqrt{\frac{M}{m} |\vec{g}| l \sin \alpha}$$

T. Петрова

Как решить кубическое уравнение?

Многие из вас читали о драматическом истории, связанном с решением кубических уравнений (см. «Квант», 1976, № 9). Современная алгебраическая символька позволяет теперь справиться с этой задачей даже школьнику, а в XVII веке это было не по силам даже ведущим математикам. Вот какой изящный способ предложает наш читатель В. Криво шеев (г. Черкассы).

Известно, что любое кубическое уравнение может быть приведено к виду

$$y^3 + by + c = 0.$$

Случайно я обнаружил следующие подстановки для его решения.

a) Пусть $b > 0$. Положим

$$y = \sqrt{\frac{b}{3}} \left( z - \frac{1}{z} \right),$$

получится (легко проверить) уравнение

$$\frac{b}{3} \sqrt{\frac{b}{3}} \left( z^3 - \frac{1}{z^3} \right) + c = 0.$$

Далее положим $z^3 = t$, после приведения к общему знаменателю получится квадратное относительное $t$ уравнение.

6. Пусть $b < 0$. Положим

$$y = \sqrt{\frac{b}{3}} \left( z + \frac{1}{z} \right)$$

и далее аналогично п. a).