Решения задач М431—М433; Ф442—Ф444

49

Решения задач
M431—M433; Ф442—Ф444

M431. В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связность нужно протянуть по лесу провод из точки A в точку B, расстояние между которыми равно l. Доказите, что для этой цели связность достаточно имеет кусок провода длиной 1,6 l.

Соединим точки A и B примоий. На участках, где нет деревьев, проведем провод по этой грамой. Там же, где прямая AB пересекает контур ствола, пустим провод по меньшей из двух друг окружности, ограничивающей сечение ствола плоскостью, перепendlukлярной к стволу (см. рис. 1). Покажем, что в этом случае длина провода не превышает $\frac{\pi l}{2}$.

Пусть $a_1, \dots, a_n$ — длины прямойных участков провода, а $b_1, \dots, b_k$ — длины участков прямой AB, нахождения внутри стволов. Поскольку каждое $b_i$ ($i=1, \dots, k$) не превышает диаметра соответствующей окружности, суммарная длина криволинейных участков провода не превышает $\frac{\pi b_1}{2} + \dots + \frac{\pi b_k}{2}$, а общая длина провода не превышает $\frac{\pi l}{2}$ нельзя заменить в этом неравенстве меньше, так как легко указыть пример, когда потребуется провод длины провод $\frac{\pi l}{2}$: в лесу растет единственное дерево диаметра l, а точки A и B — диаметрально противоположные точки окружности его ствола.

A. Альтшиллер

Рис. 1.

M432. Существует ли полный квадрат, сумма цифр которого равна
a) 1977;
b) 1978?
в) Выясните, какие натуральные числа могут быть суммами цифр квадрата целого числа.

Решим сразу пункт b) задачи. Прежде всего заметим, что сумма цифр квадрата не может быть произвольной. Действительно, квадрат числа любителя на 9, либо дает при делении на 9 остатки 1, 4, 7. По признаку деления на 9 то же верно и для суммы цифр квадрата, так что у квадрата сумма цифр может быть любим вида 9k, либо 9k+1, либо 9k+4, либо 9k+7. Покажем, что все такие числа действительно могут быть суммами.

В самом деле, число 9k — сумма цифр квадрата числа $10^k-1$:

$$(10^k-1)^2 = (10^k-2) \cdot 10^k + 1 = \underbrace{99 \dots 98}_{k} \underbrace{00 \dots 01}_{k};$$

50

число $9k+1$ ($k \neq 0$) — сумма цифр квадрата числа $10^k-2$:
$$(10^k-2)^2 = (10^k-4) \cdot 10^k + 4 = \underbrace{99 \ldots 96}_{k} \underbrace{00 \ldots 04}_{k}$$

(sлучай $k=0$ оченьiden: $1=1^2$); число $9k+4$ ($k \neq 0$) — сумма цифр квадрата числа $10^k-3$:
$$(10^k-3)^2 = (10^k-6) \cdot 10^k + 9 = \underbrace{99 \ldots 94}_{k} \underbrace{00 \ldots 09}_{k}$$

(при $k=0$ получаем число 4, а $4=2^2$). Число $9k+7$ — сумма цифр квадрата числа $10^k+1-5$:
$$(10^k+1-5)^2 = (10^k+1-10) \cdot 10^k+1 + 25 = \underbrace{99 \ldots 90}_{k+1} \underbrace{00 \ldots 025}_{k+1}$$

Таким образом, число 1978 может быть суммой цифр квадрата, а 1977 — нет.

Л. Лиманов

M433. В выпуклом пятu-
целовике ABCDE сторона
BC параллельна диагонали
AD, сторона CD — диагонали
BE, сторона DE — диагонали
AC и сторона AE —
диагонали BD (рис. 2). Докажите, что сторона AB параллельна диагонали CE.

Рис. 2.

Пусть $F = [AD] \cap [BE]$, $G = [AC] \cap [BE]$ и $K = [BD] \cap [AC]$ (см. рис. 2).

Из подобия треугольников $AEF$ и $BCD$ следует, что
$$\frac{|AF|}{|EF|} = \frac{|BC|}{|CD|}.$$ Следовательно, $$\frac{|AF| + |BC|}{|EF| + |CD|} = \frac{|BC|}{|CD|}$$

и $$\frac{|AD|}{|BE|} = \frac{|BC|}{|CD|},$$ поскольку $|BC| = |DF|$, $|BF| =$
$= |CD|$, то есть
$$\frac{|BC|}{|AD|} = \frac{|CD|}{|BE|}.$$ (1)

Аналогично, из подобия треугольников $BKC$ и $AED$ получаем, что
$$\frac{|AE|}{|BD|} = \frac{|DE|}{|AC|}.$$ (2)

Наконец, из подобия треугольников $BKG$ и $AGE$
$$\frac{|BG|}{|BK|} = \frac{|CD|}{|AE|},$$ откуда $$\frac{|BE|}{|BD|} = \frac{|CD|}{|AE|},$$

или
$$\frac{|CD|}{|BE|} = \frac{|AE|}{|BD|}.$$ (3)

Из соответствия (1) — (3) следует, что
$$\frac{|BC|}{|AD|} = \frac{|CD|}{|BE|} = \frac{|AE|}{|BD|} = \lambda.$$ (4)

Далее:
$$\vec{BC} + \vec{CD} + \vec{DE} + \vec{EA} + \vec{AB} = \vec{0},$$
$$\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{DB} + \vec{CA} + \vec{EC} = \vec{0},$$

и $$\vec{BC} = \lambda \vec{AD}, \vec{CD} = \lambda \vec{BE}, \vec{DE} = \lambda \vec{CA}, \vec{EA} = \lambda \vec{DB}.$$

Позетом
$$\vec{0} = \lambda (\vec{AD} + \vec{BE} + \vec{CA} + \vec{DB}) + \vec{AB} = -\lambda \vec{EC} + \vec{AB},$$

откуда $$\vec{AB} = \lambda \vec{EC},$$ что и означает параллельность стороны $AB$ диагонали $EC$.

Более короткое решение получается с помощью косугоЛЬНОЙ системы координат. Пусть точки $D, C$ и $E$ имеют координаты $D(0; 0), C(1; 0), E(0; 1)$ (рис. 2). Тогда $A$ и $B$ имеют координаты $(1; a)$ и $(b; 1)$, так как $(CD) \parallel (BE), (DE) \parallel (AC).$

51

Условия параллельности $(AE) \parallel (BD)$ и $(BC) \parallel (AD)$ записьваются так:

$$\frac{a-1}{1-0} = \frac{1-0}{b-0} \quad \text{и} \quad \frac{1-0}{b-1} = \frac{a-0}{1-0},$$

то есть $b(a-1)=1$, $a(b-1)=1$, откуда $a=b$ и $\frac{a-1}{1-b} = \frac{1-0}{0-1}$, то есть $(AB) \parallel (EC)$.

Заметим, что пятнуюльник $ABCDE$, о котором идет речь в этой задаче, можно аффинным преобразованием (или просто перекосом) превращать в правильный.

И. Клумова, Э. Туркевич

Ф442. Шарики с массами 1, 2, 3 и 4 ке соединины легкими стержнями длиной 1 м каждый. Стержни скреплены, так что они образуют крест (рис. 3). Система может свободно врацать в окружающей оси, проходящей через точку О перpendикулярно к плоскости рисунка. Найти амплитуду колебаний системы, если в начальной момент стержень, соединяющий ryзы с массами $m_2=2$ ке и $m_4=4$ ке, был вертикален и шары были неподвижны.

Рис. 3.

Ф443. Как известно, земной шар делает полный оборот вокруг своей оси за 23 часа 56 минут 4 секунды. Следовательно, за сутки все часы, циферлат которых разделен на 24 часа, должны отстаивать почти на 4 минуты. Это составляет почти полный оборот вокруг своей оси за 23 часа 56 минут 4 с. Поэтому неподвижному наблюдаемого на земле каждой, что звезды на небосводе за время $T$ совершают полный оборот вокруг вокруг своей оси за 23 часа 56 минут 4 с, Солнце «обходит» Землю за 24 ч (и именно на 24 ч, в связи с этим, разделен циферлат всех земных часов).

Это происходит потому, что за время полного оборота вокруг своей оси Земля в своей орбитальном движении вокруг Солнца успевает продвинутся приблизительно на 1/365 часа длины орбиты (рис. 5). Например, хотя земной шар совершает полный оборот вокруг своей оси, Поэтому земной наблюдаемый увидел Солнце, грубо говоря, на прежнем месте (и отметил, например, наступление полудня по своим часам), земной шар должен дополнительно совершить 1/365 часа оборота, что и занimaет почти 4 минуты.

Б. Буховцев