Каппа

76

Каппа

Кривая, называемая Kannой (см. третью страницу обложки) обладает центром симметрии $O$ и двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии. Есть у каппы и две горизонтальные асимптоты. Прямая, проведенная в плоскости каппы, пересекает ее, самоое большее, в четырех точках.

Идея построения Слюза, первооткрывателя каппы, состоит в следующем. Расстоянием (рис. 1) конгрузительные окружности, центры которых лежат на прямой $l$, не содержащие точку $O$ внутри. К каждой такой окружности из точки $O$ проводим пару касательных. Множество $\{M\}$ этих точек касания и представляется собой каппу. Этот способ, по существу, эквивалентен способу $I$. Ныютона (робл радиусов конгрузных окружностей исполянет у Ныютона катет угольника $MB$).

Способ $I$. Ныютона имеет, однако, то преимущество, что с его помощью можно графически построить касательную к каппе в любой ее точке. Для этого достаточно построить нормаль (перпендикуляр к касательной). Покажем, как это сделать.

Движение угольника в каждой момент времени можно представить как врашение около неекоторой точки $N$. Как найти положение этой точки для произвольного момента времени? Точки $B$ и $O$ угольника (рис. 2) вместе с другими его точкими врашаются относительно $N$, и нам известны направления скорости в этих точках ($B$ движется по $l$, а $O$ — по $AM$). Следовательно, $N$ находится в пересечении прямых, перпендикулярных $AM$ и $l$. Тогда $MN$ — нормаль к каппе в точке $M$.

С помощью рисунка 3 легко вывести полярное уравнение каппы $\rho=a$ стtg $\varphi$ (а—величина радиуса конгрузных окружностей).

Покажем способ построения каппы, принадлежий И. Барроу. Проведем из точки $O$ «вертикальный» луч; через точку $A$ на нем проведем прямую $m$, perpendicularную $OA$ (рис. 4). Расстоянием произвольный луч $OA_1$, пересекающийся с $m$. Отложим на $OA_1$ отрезок $OM_1 \cong AA_1$. Множество $\{M\}$ таких точек образует две верхние ветви каппы. (В том, что это действительно каппа, вам помогет убедиться ее полярное уравнение.)

Еще один способ построения каппы, принадлежий И. Бернулли, приведем без чертежа. Проведем окружность $(L, |LO|)$ с центром $L \in l$. Отложим на этой окружности две конгрузные дуги $OP < \frac{\pi}{2}$ и $PQ$. Соединим точки $O$ и $Q$ хордой. В пересечении этой хорды или ее продолжения с прямой, проходящей через точку $P$ паралелюно $l$, получаем точку $M$. Множество таких точек $\{M\}$ для всехможных положений точки $P$ также представляется собой две ветви каппы. Доказите это.

В. Березин