Основные формулы метода координат

88

(легко видеть, что $h > 0$). Поскольку должно быть $|\overrightarrow{O_1Q}| = r$, получаем уравнение
$$(a \mathrm{tg} \varphi - r - r \mathrm{tg} \varphi) \cos \varphi = r,$$
из которого находится $r$:
$$r = \frac{a \sin \varphi}{1 + \sin \varphi + \cos \varphi}.$$
У разнения

1. Докажите, что площад произвольного треугольника $ABC$ можно вычислять по формуле
   $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{|AB|^2 \cdot |AC|^2 - (\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC})^2}.$$
2. Непересекающая диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепида наклонены к плоскости основания под углами $\alpha$ и $\beta$. Найти угол между этим диагоналями.
3. Сторона основания правльной четырехугольной парамиды $SABCD$ равна $a$, высота $h$. Найти расстояние между прямыми $BD$ и $SA$.
4. Ребра tetraэдра равны $l$. Найти расстояния между скрещивающимся высотами граней tetraэдра.
5. Основанием прямого параллелепида служит ромб с острым углом $\alpha$. Под каким углом к плоскости основания наклонена плоскость, рассекающая этот параллелепид по квадрату?
6. (MГУ, механизм, 1970). Длина каждого ребра треугольной парамиды $SABC$ равна 1, точка $D$ — основание высоты $BD$ треугольника $ABC$. Равносторонний треугольник $BDE$ лежит в плоскости, образующий угол $\varphi$ с ребром $AC$, причем точки $S$ и $E$ лежат по одному сторону от плоскости $ABC$. Найти расстояние между точки $S$ и $E$.
7. (MГУ, физика, 1976). Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a$. Точка $E$ — середина ребра $A_1D_1$, точка $F$ — середина ребра $AA_1$. Найти радиус меньше сферы, проходящей через точки $E$ и $F$ и касающейся грани двугранного угла, образованного плоскости $BB_1C_1C$ и $DD_1C_1C$.

Приложение

Основные формулы метода координат

Координаты вектора $\vec{a}$
$$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} = (x; y; z)$$
$$x = \vec{a} \cdot \vec{i}, y = \vec{a} \cdot \vec{j}, z = \vec{a} \cdot \vec{k}$$

Координаты точки $M$
Если $\overrightarrow{OM} = (x; y; z)$, то $M (x; y; z)$

Связь координат вектора $\overrightarrow{AB}$ с координатами его начала $A (x_1; y_1; z_1)$ и конца $B (x_2; y_2; z_2)$

Формулы параллелого переноса $\vec{p} = (a; b; c)$, $M (x; y; z)$
$$\vec{p} (M) = M_1 (a + x; b + y; c + z)$$

Сумма и разность векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$
$$\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2; y_1 + y_2; z_1 + z_2)$$
$$\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2; y_1 - y_2; z_1 - z_2)$$

Произведение вектора $\vec{a} = (x; y; z)$ на число $p$
$$\vec{p a} = (px; py; pz)$$

Скалярное произведение неизлевых векторов $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$$
$$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$$

89

Длина вектора $\vec{a} = (x; y; z)$
$$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

Расстояние между точками $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$
$$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$

Угол между векторами $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$
$$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \frac{x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \sqrt{x_2^2 + y_2^2 + z_2^2}}$$

Формулы гомотетии с центром $O(0; 0; 0)$ и коэффициентом $k$, $M(x; y; z)$
$$H_O^k(M) = M_1(kx; ky, kz)$$

Уравнение плоскости
$$ax + by + cz + d = 0$$

открытие содержат точку $O(0; 0; 0)$ при
$$ax + by + cz + d > 0 \quad d > 0$$
$$ax + by + cz + d < 0 \quad d < 0$$

замкнутые
$$ax + by + cz + d \geq 0 \quad d \geq 0$$
$$ax + by + cz + d \leq 0 \quad d \leq 0$$

Вектор, перpendикулярный плоскости $\alpha: ax + by + cz + d = 0$
$$\vec{n}_\alpha = (a; b; c)$$

Уравнение плоскости, содержащей точку $A(x_1; y_1; z_1)$ и перpendикулярной вектору $\vec{n} = (a; b; c)$
$$a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$$

Угол между плоскостями $\alpha: a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$, $\beta: a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$
$$\vec{n}_\alpha = (a_1; b_1; c_1), \vec{n}_\beta = (a_2; b_2; c_2)$$

Площадь $S_{\pi p}$ ortogonalной проекции на плоскость $\beta$ многоугольника площади $S$, лежащого в плоскости $\alpha$
$$S_{\pi p} = S \cdot \cos(\alpha, \beta)$$

Уравнение сферы радиуса $R$ с центром в точке $S(a; b; c)$
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$

Уравнение плоскости, касающей сферы $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$ в точке $A(m; p; q)$
$$(m - a)(x - a) + (p - b)(y - b) + (q - c)(z - c) = R^2$$
$$(a - m)(x - m) + (b - p)(y - p) + (c - q)(z - q) = 0.$$