Задачи М471—М475; Ф483—Ф487

47

Задачик
кванта

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюшней школьной программы. Найболее трудные задачи отмечены звездочкой. Решения задач из этого номера можно присылать не позднее 1 января 1978 года по адресу: 113035, Москва, М-35, Б. Ордынка, 21/16, редакция журнала «Квант». После адреса на конверте написите номера задач, решения которых вы посылаете, например, «M471, М472» или «Ф483». Решения задач по каждому из предметов (математике и физике), а также новые задания просылая в отдельных конвертах. Задачи из разных номеров журнала присылайте также в разных конвертах. В письмо включите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, присылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задач по физике» или «… новая задач по математике»). В начале каждого письма просим указать ваш имя, фамилию, номер шкoles и класс, в котором вы учитесь. После формирования задачи мы общно указаем, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые.

M471. Две пересекающие окружности вырезают из плоскости три ограниченные непересекающие области. Докажите, что не существует окружности, деляшей пополам площадь каждой из этих трех области.

С. Фомин

M472. Внутри куба расположен выпуклый многогранник, проекция которого на каждую из граней совпадает с этой гранью. Докажите, что объем многогранника не меньше 1/3 объема куба.

В. Прасолов

M473. Имеется две группы по $n$ гирь, в каждой из которых гири расположены в порядке возрастания их масс. Покажите, что
a) $2n-1$ взвешивания можно расположить и все $2n$ гирь в порядке возрастания их масс;
b) $*$ меньше $2n-1$ числом взвешивания этого сделать, вообще говоря, нельзя.
(За одно взвешивание сравнимаются массы двух гирь; массы $2n$ гирь попарно различны.) В. Грибере

M474. Натуральное число называется совершенным, если оно равно сумме всех своих делителей (кроме самого себя); таковы, например, числа $6=1+2+3$ и $28=1+2+4+7+14$. Докажите, что число $N$ несовершенно, если известно, что оно
a) при делении на 4 дает остаток 3;
b) при делении на 6 дает остаток 5.
(Do sins por вообщше неизвестно, существует ли нечетные совершенные числа.) К. Сатаркулов, С. Юдей

M475. a) Докажите, что правильный треугольник нельзя на клетчатой бумаге так, чтобы его вершины попали точно в узлы (в вершины клеток).
b) $*$ Докажите, что на клетчатой бумаге со стороны клетки, равной 1, можно при любом $\varepsilon>0$ нарисовать правильный треугольник, вершины которого находились бы на расстояниях меньше $\varepsilon$ от трех различных узлов.

в) * Верно ли, что для любого многоугольника $M$ и любого $\varepsilon > 0$ можно нарисовать на клетчатой бумаге подобный $M$ многоугольник, все вершины которого находились бы на расстояниях меньше $\varepsilon$ от различных узлов?

В. Калинников

Ф483. С каким горизонтальнымускорением должен двигатся клин с углом $\alpha$ (рис. 1), чтобы лежащий на нем груз поднимался вверх, если коэффициент треня между грузом и клином равен $\mu$?

Ф484. Внутри шара радиуса $R$, равномерно заряженного с объемной плотностью $\rho$, находится заземленная металлическая сфера радиуса $r$ (рис. 2). Найдите зависимости потенциала этой системы от расстояния до центра сферы.

Ф485. Чему равен период малых колебаний четырех одинаково заряженных тел, связанных одинаковыми нитями длины $l$ так, как показано на рисунке 3? На рисунке стрелками указаны направления движения тел при колебаниях в один и тот же момент времени. Масса и заряд каждого тела соответствен $m$ и $q$.

Ф486. На рисунке 4 изображена схема масс-спектрометра. В понизаторе $A$ образуютсяоны, которые ускоряются наприяжением $U = 10$ кВ и входят через щель $C$ в магнитное поле с индукцией $|\vec{B}| = 0,1$ T. После поворота они попадают на фотографическую пластинку $D$ и вызывают ее почеренение. На каком расстоянии друг от друга будут находиться на фотопластике полосы,онов $H^{+}, ^{2}H^{+}, ^{3}H^{+}, He^{+}$? Какова должа быти ширина щели, чтобы полосы понов $^{16}O$ и $^{15}N$ разделились?

Ф487. Жука фотографируют в двух масштабах: с расстояния $l_{1} = 3F$, где $F$ — фокусное расстояние объекта, и с расстояния $l_{2} = 5F$. Во сколько раз надо изменить диаметр диафрагмы объекта, чтобы освещенность изображения напленке в обих случаях была одной и той же? Считать, что диаметр объекта в обих случаях много меньше $F$.