Координатный метод

82

Э. Шувалова

Координатный метод

Векторная алгебра и координатный метод, содержащиеся в новой программе школьного курса математики, являются мощным аппаратом для решения многих геометрических задач, и прежде всего потому, что они не требуют рассмотрения сложных геометрических конфигураций. Эти методы сводят геометрическую задачу к алгебраической, решить которую обычно легче, чем исходную геометрическую. координатный методом обязаным владить каждый инженер, и поэтому на значение координатного метода обращается особое внимание на вступительных экзаменах в технические виды.

Программой вступительных экзаменов вузы по математике (см. «Кваант», 1977, № 2) предусматривается, что «экзаменующейся должен уметь… использовать методы алгебры и начал анализа при решении геометрических задач» (п. 8 раздела «Основные умения»).

Эти вопросы и посвящена настоящая статья.

1. Вычисление углов

Задача 1. Даны величины двух плоских углов трехгранного уела:

(Окончание. Начало см. c. 77–81.)
наклона к горизонту
α = β = arctg μ.

В заключение предложаем читателям в качестве упражнения решить самостоятельное путь задач. Советем обратить особое внимание на смысл тех или иных упражнений, содержащихся в условия задачи.

Уражнения

1. Барон Мюнхаузен при полете на Луну использовал пушку с длиной ствола L = 600 м. Чтобы отправить снаряд в международное пространство, ему нужно было сообщить скорость |v| = 12 км с. Определить, с какой силой давли на dicho снаряда барон Мюнхаузен, находящаяся внутри снаряда, если его масса m = 80 кг. Считать, что снаряд в столье пушки двигался равно скорости (рис. 9). Коэффициент трения грузов о поверхности равен

83

Рис. 1.

$$\overrightarrow{BD}_1 = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD}_1 = (a; -b, c),$$
$$\overrightarrow{A}_1D = \overrightarrow{A}_1A + \overrightarrow{AD} = (a; 0; -c).$$
Отсюда получаем:

$$\cos \left( \overrightarrow{BD}_1, \overrightarrow{A}_1D \right) = \frac{\overrightarrow{BD}_1 \cdot \overrightarrow{A}_1D}{|BD_1| \cdot |A_1D|} = \frac{a^2 - c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a^2 + c^2}}.$$

Поскольку углом между двумя прямыми называется величина меньше из углов, определяемых этим прямыми (см. «Геометрия 9», § 24), то при $a^2 - c^2 \geq 0$ искомый угол равен $\arccos \frac{a^2 - c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a^2 + c^2}}$ а при $a^2 - c^2 < 0$ он равен $\pi - \arccos \frac{a^2 - c^2}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a^2 + c^2}}$.

С учетом формулы

$$\pi - \arccos t = \arccos (-t)$$

ответ можно записать в таком виде:

$$\left( \overrightarrow{BD}_1, \overrightarrow{A}_1D \right) =$$

μ. Во сколько раз изменится натяжение нити, если коэффициент трения уменшится в два раза?

3. Ракета взлетает вертикально вверх под действием газов, образующихся при сгорании топлива и вылетающих со скоростью $|\vec{v}| = 1000$ м/с относительно земли. На какую максимальную высоту поднимается ракета, если двигается работал $\Delta t = 2$ с, а относение массы сгоревшего газа к массе ракеты при взлете и сопротивлением воздуха пренебречь.

4. Пожарный держит шланг под углом $\alpha = 30^\circ$ к горизонту. Расход воды из шланга равен $G = 50$ кг/с. Скорость вылетаюшей воды $|\vec{v}| = 20$ м/с. На сколько уvelичивается сила давления пожарного на пол?

5. На рисунке 10 изображена система двух тел массами $m_1 = 2$ кг и $m_2 = 3$ кг, соединенных нерастворимой нитью, перекинуто через неподвижный и подвижный блоки. В начальной момент первое тело находится на склонном плоскости длиной $L = 3$ м, составляющей угол $\alpha = 30^\circ$ с горизонтом. Через какое время это тело достигает края наклонной плоскости, если коэффициент трения о наклонную плоскость $\mu = 0,25$? Тренем в блоках, а также массой блоков и нити пренебречь.

84

Рис. 3.

(поскольку точка $M$ лежит на прямой $AD_1$ тогда и только тогда, когда векторы $\overrightarrow{AM}$ и $\overrightarrow{AD_1}$ колlinearны, и аналогично для точки $N$). Теперь найдем $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN}$ и запишем условия перпендикулярности векторов $\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{AD_1}$ и $\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{DC_1}$; это дает нам два уравнения, из которых мы найдем $\alpha$ и $\beta$, а потом и длину вектора $\overrightarrow{MN}$.

Проведем необходимые вычисления:

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} = -\overrightarrow{AM} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DN} = -\alpha \cdot \overrightarrow{AD_1} + \overrightarrow{AD} + \beta \cdot \overrightarrow{DC_1} = (\beta \alpha; a(1-\alpha); a(\beta-\alpha)).$$

Записывая скалярные произведения $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AD_1}$ и $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{DC_1}$ в координатах и приравнивая их нулю (условие перпендикулярности двух векторов), получаем систему

$$\begin{cases} a^2(1-\alpha) + a^2(\beta-\alpha) = 0, \\ a^2\beta + a^2(\beta-\alpha) = 0, \end{cases}$$

откуда

$$\begin{cases} 1 + \beta - 2\alpha = 0, \\ 2\beta - \alpha = 0, \\ \alpha = \frac{2}{3}, \beta = \frac{1}{3}. \end{cases}$$

Теперь

$$\overrightarrow{MN} = \left( \frac{a}{3}; \frac{a}{3}; -\frac{a}{3} \right),$$

$$|\overrightarrow{MN}| = \frac{a^2}{9} + \frac{a^2}{9} + \frac{a^2}{9} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$$

Задча 4. В пространстве даны два луца $AM$ и $BK$, не лежащие в одной плоскости и образующие между собой угол $\pi/2$; отрезок $AB$ — их общий перпендикуляр. На лучах $AM$ и

85

3. Задачи на сечения

Объчно в таких задачх требуется найти сечение многогранника плоскостью (то есть его форму и площадь). В сечении получается многоугольник, вершинами которого является точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника, а сторонами — отрезки прямых, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.

Стоит напомнить, что секущая плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым — это часто помогает при решении задач, например, на сечение куба. При вычислении площи сечения былает полезна формула, связывающая площадь фигуры с площадью ее проекции $S_{\pi p} = S_{\phi \pi r} \cdot \cos \varphi$ (см. «Геометрия 10», § 50). Нередко эта формула позволяет вообще не находить само сечение, а сразу дает его площадь.

Задача 5. Наимен форму и площадь сечения куба $ABCD_1B_1C_1D_1$ с ребром 1 плоскостью, проходящей через вершину $A$, середину ребра $BC$ и центр грани $CDD_1C_1$.

Построим прямогольную систему координат, как показано на рисунке 5. Уравнение секущей плоскости как общее уравнение плоскости имеет вид

$$ax + by + cz + d = 0.$$

Соотношение между коэффициентами $a, b, c, d$ можно найти из условия, что точки $A(0; 0; 0), E(1; 1/2; 0)$ (середина ребра $BC$) и $M(1/2; 1; 1/2)$ (центр грани $CDD_1C_1$) лежат в этой плоскости, то есть координаты этих точки должны удовлетворять уравнению плоскости. Отсюда получаем систему

$$\begin{cases} a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot 0 + d = 0, \\ a \cdot 1 + b \cdot \frac{1}{2} + c \cdot 0 + d = 0, \\ a \cdot \frac{1}{2} + b \cdot 1 + c \cdot \frac{1}{2} + d = 0. \end{cases}$$

Проекцией сечения $AEFG$ на плоскость $ABCD$ является четырехугольник $AECD$, площадь которого равна $3/4$. Косинус угла плоскости $AEFG$ и $ABCD$ равен абсцилотной величины косинуса угла между векторами, перпендикулярными этим плоскостям, например $\vec{n}_1 = (1; -2; 3)$ и $\vec{n}_2 = \overrightarrow{AA}_1 = (0; 0; 1)$ (см. «Геометрия 10», § 46, зад. 43), поэтому

$$\cos \varphi = \frac{|\overrightarrow{n}_1 \cdot \overrightarrow{n}_2|}{|\overrightarrow{n}_1| \cdot |\overrightarrow{n}_2|} = \frac{|1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}.$$

87

| $OO_1$|, $|O_1A|$ и $|O_1B|$ будет выполнться автоматически, поскольку $|O_1O_2| \perp (OAB)$ и $O_2$ центр треугольника $OAB$, второе—условие, что $\cos((SAB), \hat{OAB}) = \cos \varphi$ в координатной форме.

Легко найти, что уравнение плоскости $SAB$ имеет вид

$$\frac{s}{\sqrt{3}} \cdot x + s \cdot y + a \cdot z - a \cdot s = 0,$$

причем вектор $\vec{n}_1 = \left( \frac{s}{\sqrt{3}}; s; a \right)$ перпендикулярен этой плоскости, а плоскости $OAB$ перпендикулярен вектор $\vec{n}_2 = (0; 0; 1)$. Теперь получаем два уравнения:

$$\sqrt{\frac{a^2}{12} + \frac{a^2}{4}} + (h - s)^2 = \sqrt{\frac{a^2}{12} + \frac{a^2}{4}} + h^2,$$

$$\frac{a}{\sqrt{\frac{s^2}{3} + s^2 + a^2}} = \cos \varphi.$$

Из второго уравнения находится

$$s = \frac{\sqrt{3}}{2} a \mathrm{tg} \varphi,$$

а после этого из первого

$$h = \frac{\sqrt{3}}{4} a \mathrm{tg} \varphi.$$

Теперь

$$R^2 = |OO_1|^2 = \frac{a^2 (16 + 9 \mathrm{tg}^2 \varphi)}{48}$$

и

$$S_{\text{cф}} = 4\pi R^2 = \frac{\pi a^2 (16 + 9 \mathrm{tg}^2 \varphi)}{12}.$$

Задча 8. Основанием параметры служебным квадрам со стороной $a$.

Рис. 7.

Два двуферных угла при ребрах основания—прямые, а два других равны $\varphi$. Найти радиус сферы, вписанной в параметр.

Построим прямуюгольную систему координат, как показано на рисунке 8. Центр $O_1$ сферы должен быть удален от всех граней парамиды, в частности, и от координатных плоскостей, на расстояние $r$—радус сферы, поэтому его координаты имеют вид $O_1(r; r; r)$. Плоскость $SBC$ содержит точки $B(a; a; 0)$, $C(0; a; 0)$ и $S(0; 0; a \mathrm{tg} \varphi)$, отстояда находится уравнение:

$$\mathrm{tg} \varphi \cdot y + z - a \mathrm{tg} \varphi = 0.$$

Расстояние от точки $O_1$ до плоскости $SBC$, с одной стороны, должно быть равно $r$; с другой стороны, его можно выразить через координаты точки $S$, $B$, $C$: вектор $\vec{O_1Q}$, перпендикулярный плоскости $SBC$ ($Q \in (SBC)$), колlinearен вектору $\vec{n} = (0; \mathrm{tg} \varphi; 1)$ (координаты вектора $n$ найдены из уравнения плоскости $SBC$), поэтому

$$\vec{O_1Q} = h \cdot \vec{n} = (0; h \mathrm{tg} \varphi; h).$$

Теперь, зная координаты точки $O_1$, находится плоскости $SBC$ (то есть координаты точки $Q$ удовлетворяют уравнению плоскости $SBC$):

$$\mathrm{tg} \varphi (h \mathrm{tg} \varphi + r) + h + r - a \mathrm{tg} \varphi = 0,$$

откуда

$$h = (a \mathrm{tg} \varphi - r - r \mathrm{tg} \varphi) \cos^2 \varphi,$$

$$|O_1Q| = |h| \cdot |\vec{n}| = (a \mathrm{tg} \varphi - r - r \mathrm{tg} \varphi) \cos^2 \varphi \cdot \frac{1}{\cos \varphi} = (a \mathrm{tg} \varphi - r - r \mathrm{tg} \varphi) \cos \varphi$$

Рис. 8.