Конкурс художников

91

раступ кристаллы в природе, как выращивают кристаллы в лабораториях и на заводах, о закономерностях в структуре кристаллов и обихудивательных свойствах, о широком применении кристаллов в самых различных областях технически.

Хотя книга расчитана на преодавательей, школьников старших классов, инженеров и техников, но и специальист поерпнет из нее много нового для себя.

4. Хургин Я. И. Да, нем или может быть…
   Объем 10 л., тираж 75 000 экз., цена 33 к.

При управлении техническими процесами, легательными аппаратами, экономическими и социальными системами весма часто приходит принимать решения в обстановке случайности, при наличии ошибок и помех. Тогда на первый план выстрают вероятностно-статстические методы. Изучение функционирования живых организмов с позиций теории управления опирается на те же методы. В занимаемый форме, без применения сложного математического аппарата, на простых примерах из области естественного и технически в книге рассказываться о современной математической статистике, о теории статистических выводов и принятия решения, о построении математических моделей реальных явлений и о статистической теории эксперимента.

Книга расчитана на школьников старших классов и всех, интересующихся современной теории управления.

5. Е фремов Ю. Н. В глубины Вселенной. Издание 2-e, переработ. Объем 10 л., тираж 50 000 экз., цена 35 к.

Книга посвязывана строению окружающего нас мира звезд и галактик, истории его изучения и методом определения расстояний во Вселенной. Именно развивается методов нахождения расстояний и позволило узнать Вселенную: только зная расстояние небесного объекта, можно что-то сказаать о его природае. История астроνομии — это история споров о расстояниях: сначала Солнца и Луны, затем звезд и уже в начале нашего века, галактик.

Книга написана живой и хорошо инллюстрирована. Расчитана на широкий круг лиц со средним образованным и школьников старших классов, интересующся проблемами астроνομии.

Издательство «Знание»

6. Физика наших дней. Сборник статей. Объем 8 л. тираж 100 000 экз., цена 24 к.

В книге в научно-популярной форме изложены основные функции нахождения и прикладные направления современной физики, играющие в важную роль в научно-технической революции.

Тория относительной проблемы и перспективы термоядерного синтеза, квантовая электронка, физика лазеров — этим и другим вопросам посвязывана книга.

Она предназначаена для самого широкого круга читателей.

7. Фабрикант В. А., Глазунов А. Г. Доступеня физики — народному хозяйству. Объем 7 л., тираж 100 000 экз., цена 21 к.

Книга посвязывана современным достужеми физики, поставленным на службе народному хозяйству.

Авторы рассказывают об использовании новых методов в технологии производства, о применении новых физических данных в технические связи, в энергетике. В книге также нашел отражение вопроса: какой вклад внесет физика наших дней в probleme оздоровления среды обитания человека?

Книга расчитана на широкий круг читателей.
И. Клумова, М. Смолянский

Конкурс художников

Это современное начало в «Квапте» № 4 за 1976 год. Номиналом, что точки в декартовой системе координат изучено ставить по очереди и создать каждую точку отрезком с предыдущего точкой. Если вы все сделаете без ошибки, то у вас получится увидите сами!

1. (6; 1), (6; —1), (7; —3), (7; —6), (6; —7), (5; —7), (6; —6), (6; —4), (5; —6), (4; —7), (3; —7), (4; —6), (5; —3), (4; —1),

(1; —2), (—2; —2), (—2; —3), (—1; —6), (—2; —7), (—3; —7), (—2; —6), (—3; —3), (—3; —6), (—4; —7), (—5; —7), (—4; —6), (—4; —3), (—5; —1), (—5; 0), (—6; 3), (—7; 3), (—9; 1), (—10; 2), (—9; 4), (—9; 5), (—8; 6), (—8; 7), (—7; 6), (—7; 7), (—6; 6), (—4; 5), (—2; 3), (2; 2), (5; 3), (7; 2), (8; —3), (7; —4), и (—8,5; (4,5).

2. (—3; —5), (—4; —7), (—8; —12), (—10; —12), (—8; —11), (—6; —6), (—7; —4), (—12; 2), (—13; 6), (—12; 9), (—13; 10), (—15; 9), (—15; 10), (—14; 11), (—12, 12), (—11; 13), (—9; 12), (—8; 13), (—8; 12), (—7; 10) (—7; 7), (—5; 5), (—3; 8), (—2; 9), (—2; 10), (—1; 11),

(0; 11), (1; 10), (2; 8), (3; 8), (5; 10), (6; 12), (8; 13), (11; 9), (11; 8), (13; 4), (15; 2), (15; 0), (14; 2), (13; 3), (12; —2), (12; —3), (13; —6), (10; —12), (8; —12), (10; —11), (11; —6), (10; —3), (3; —12), (1; —12), (3; —11), (5; —8), (6; —6), (6; —4), (8; 2), (4; 0), (2; —2), (—1; —4) (—2; —6), (—5; —12), (—7; —12), (—5; —11), (—4; —7), и (—11,5; 11,5).

3. (0; —2), (2; —3), (3; —4), (7; —6), (9; —8), (9; —10), (10; —12), (8; —11), (9; —12), (7; —11), (6; —10), (3; —10), (4; —9), (0; —7), (1; —7), (—4; —8), (—7; —10), (—8; —12), (—8; —10), (—10; —9), (—8; —9), (—4; —5), (—1; —4), (1; —4), (1; —3), (0; —2), и (8,5; —9).

93

они видят в ней прежде всего непрятную обузу, преграду для дальнейших исследований. В разное время сначала Пьер, а затем и Мария Кюри отказылись от ордена Почетного леггиона — одного из высоких ordenов Французской республики. В письме на имя декана Института физики, химии и естественных наук Пьер Кюри высказался по этому поводу кратко, но весыма выразительно: «Прошу Вас, будьте любезны передать господину министру мою благодарность и уведомить его, что не имею никакой нужды в ордене, но весыма нуждалось влаборатории». (Он так и не получил желаннойLABоратории до последних дней жизни.)

А вот и другие свидетельства их отвращения к слове: «Нас заваили писыми, и нет отбоя от журналистов и фотографов. Хочеется провалиться сквозь землю, чтобы иметь покой…» (из письма Мария Кюри братьу Юзефу Склодовскому). «Вы сами явились свидетельством внесения увлечения радием. Это наградило нас всеми прелестими популярности: нас пределовали журналисты и фотографы со всех стран света; они доходили до того, что передавали разговор моей дочерки с няней и описывали нашго тигрового кота. Кроме того, нам писали писма и посещали лично всякие экстентричные личности и безвестные изобретатели… Наконец, коллекционеры авторфов, снова, светские люди… А все тем ни одной минуты покоя влаборатории, … Я чувствую, как тупею от такого образа жизни…» (из письма Пьер Кюри Жоржу Гуи).

Но не только отношение к слове являюсь свободным их личностей. Они проявили также позализацию бескоростности, отказылись запатентовать технологическую получения радия. А ведь такой патент принесы им огромные богатства. «По соглашению со мной — пишет Мария Кюри в своих воспоминаниях — Пьер отказылся извлечь материальный выбор из нашего открытия; мы не взяли никакого патента и, ничего не скрывая, обнаружали результаты наших исследований, а также способизвлечения чистого радия. Более того, всем заинтересованным лицам давали требуемые разъяснения. Это пошло на благого произвольства радия, которое могло свободно развивать, сначава во Франции, потом за границей, поставляя учены и врачам продукты, в которых они нуждались…

Подавляющее большое интересно моих друзей утверждают, и не без оснований, что если бы Пьер Кюри и я узаконили наш права, мы приобрели бы средства, доставочные для того, чтобы самим постройть Институт радия, а не предолевать бесконечные прегятствия и трудности, которые ложились тяжким бременем на нас обиха, а теперь лежат на мне. И вестики я думаю, что мы были правы, … человекству необходимы и мечтатель, для которых бескоростное служение какому-нибудь делу настоящего увлекательного, что им и в голову не приходит заботиться о личных материальных благах».

Бескористость неразрывно сочеталась у них с самотверженной, готовностью к самопожертвованию во имя интересных научки, интересов человека. На страницах 165—166 мы читаем: «Немецкие учены Вальхов и Гизель заявили в 1900 году, что новое вещество действует физиологически, и Пьер, пребегая опасностью, тотчас подверг свое предложение действию радия. К его радости, участок кожи оказался поврежденным! В заметке для Академии наук он спокойно описывает наблюдаемые символы: «Кожа покрасела на поверхности в шесть квадратных сантиметров; имеет вид окога, но не болит или болезнена чуть-чуть. Через некоторое время красота, не распространяясь, начинает становиться интенсивнее; на двадцатый день образование структуры, затем рана, которое лечили перевязками; на сорок второй день стала перераваться эпидерма от краев к центру, а на пятыесят второй день остается еще рана в квадратном santimeter, имеющая сероваты цвет, что указывает на более глубокоеометрление ткани.

Добавим, что мадам Кюри, перенос в запаянной стеклянной трубочке несколько сантграммов очень активного вещества, получила окоги такого же характера, хотя маленькая пробирка находится в тонком металлическом футляре.

Кроме таких резких воздействия мы за время наших работ с очень активными веществами испытывали на себе различные виды их воздействия. Руки вообществе имеют склонность к щелушению; концы пальцев, державших пробирки или капсулы с сильной радиоактивными веществами, становятся затвердными, а иногда очень болезненныеми; у одного из нас воспаление оконечностей пальцев длилось две недели и кончилось тем, что сошла кожа, но болеененная чувствительность исчезала только через десрама.

Эти эксперименты продолжили путь к легению раковых опухолей при помощи радиоактивных излучений. Все дело заключалось в дозе полученного облучения. Радией продолжил жизнь многоимя тяжелю и безнадежно большим людям, но он уже Мария Кюри; она умерла от острой злокачественной анемии, вызванной дительным воздействием больших доз радиоактивного облучения.

И все-tаки она была необычайно счастливой. Незадолго до смерти она писала: «Я принадлежу к числу людей, которые думают, что наука — это великая красота. Ученый у себя влаборатории не просто техническ; это ребенок лицом к лицу с явлениями природы, действующими на него, как волшебная сказка…»

Трудно без волнения читать эту превосходную книгу, с которой, безусловно, следует познакомиться какому, кто любит научку.

В. Рудов

94

К статье «Повороты и пересечения многогранников»

1. $a^3\sqrt{2}/36$. 2. $3a^3/4$. 3. $a^3\sqrt{2}/54$.
2. $a^3\sqrt{2}/24$.

К статье «Задачи на законы диамники материйной точки»

1. $|\vec{F}_{\pi}| = m \left( \frac{|\vec{v}|^2}{2L} + |\vec{g}| \right) \approx 9,6 \cdot 10^6 \text{ H}$.
2. Не изменится $|\vec{T}| = \frac{m_1}{m_1+m_2} |\vec{F}|$.
3. $H = \frac{1}{2} \frac{m|\vec{v}|}{M} \left( \Delta t + \frac{m|\vec{v}|}{M|\vec{g}|} \right) = 600 \text{ m}$.
4. $|\Delta F_{\pi}| = G |\vec{v}| \sin \alpha = 5 \cdot 10^2 \text{ H}$.
5. $t = \sqrt{\frac{L}{2|\vec{g}|}} \times \sqrt{\frac{4m_1+m_2}{m_2-2m_1(\sin \alpha + \mu \cos \alpha)}} \approx 3,6 \text{ c}$.

К статье «Координатный метод»

1. Воспользоваться формулами $S_{ABC} = \frac{1}{2} |AB| \cdot |AC| \cdot \sin \widehat{AC}$, $\cos \widehat{AC} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|AB| \cdot |AC|}$.
2. arccos ($\sin \alpha \sin \beta$).
3. $\frac{ah}{\sqrt{2a^2+h^2}}$.
4. $l/\sqrt{10}, l\sqrt{2}/\sqrt{35}$.
5. arccos $tg\frac{\alpha}{2}$.
6. $|SE| = \sqrt{5-2\sqrt{6} \sin \varphi}/2$.

Указание. Поместить начало координат в точку $D$, в качестве осей абсцисс и ординат выбрать $(DB)$ и $(DC)$; заметить, что $((AC), (BDE)) = ((DCB), (\widehat{BDE}))$, и найти координаты точек $S$ и $E$.
7. $\frac{5-\sqrt{7}}{4} a$.

К статье «Гомотетия и замечательные точки в треугольнике»
(см. «Квант» № 10)

1. Если данные отрезки не конгрузнены, то существует две гомотетии, переводящие один из них в другой (см. рис.окр.1 и 2; на рисунке 2 изображен случай, когда отрезки принадлежат одной прямой).
2. Искомым многожестом точек $M$ является окружность, в которой переходит данная окружность при гомотетии с центром в середине отрезка $AB$ и коэффициентом гомотетии $\frac{1}{3}$, но без образов точек $A$ и $B$ (рис.3).

Рис.1.
Рис.2.
Рис.3.

95

3. Пусть $(O; R)$ и $(O; r)$ — данные концентрические окружности; $[AB]$ — искомая хорда; $\{C, D\} = [AB] \cap (O; r)$. (Точку $A$ можно выбрать на большей окружности произвольно.)

По условияю $[AC] \cong [CD] \cong [DB] \Rightarrow C = H_A^{\frac{1}{3}}(B)$. Но

$$B \in (O; R) \Rightarrow C \in H_A^{\frac{1}{3}}((O; R)),$$
$$C \in (O; r) \quad \left\{ \begin{array}{l} C \in (O; r) \cap H_A^{\frac{1}{3}}((O; R)) \\ C \in H_A^{\frac{1}{3}}((O; R)) \end{array} \right\} \Rightarrow C \in (O; r) \cap H_A^{\frac{1}{3}}((O; R)).$$

Итак, задача имеет решение, если меньше окружности пересекается с образом большей окружности в гомотетии $H_A^{\frac{1}{3}}$. Последнее произойдет, когда $R > r \geq \frac{R}{3}$ (см. рис. 4).

4. Пусть $AB$ и $CD$ — общее внешние касательные к двум данным окружностями $(O; r)$ и $(O'; r')$, касающимся внешним образом $(A, B, C$ и $D$ — точки касания).

Если $r = r'$, то $ABCD$ — квадрат, и в него можно вписать окружность.

Если $r \neq r'$, то $(AB) \cap (CD) = S$. Проведем касательные $MN$ и $KL$ к окружности $(O; r)$ в точках пересечения ее с прямой $SO$ (рис. 5).

Пусть $H$ — гомотетия, переводающая окружность $(O; r)$ в окружность $(O'; r')$:

$$H_S([MN]) = [KL] \quad \left\{ \begin{array}{l} H_S([AC]) = [BD] \\ \Rightarrow \frac{|KL|}{|MN|} = \frac{|BD|}{|AC|} \Rightarrow \frac{|AC|}{|MN|} = \frac{|BD|}{|KL|} = k; \end{array} \right.$$

и гомотетия $H_S^k$ переводит четырехугольник $MKLN$ в четырехугольник $MKLN$ вписана окружность $(O; r)$; следовательно, в гомотетичный ему четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

5. См. рис.нок 6.

6. Пусть $M$ — центр тяжестестичной треугольника $ABC$, $R$ — его ортцентр, $O$ — центр описанной окружности, $A_1, B_1, C_1$ — середины сторона (рис. 7).

Гомотетия $H_M^{-\frac{1}{2}}$ переводит окружность $\Gamma$, описанной около треугольника $ABC$, в окружность $\gamma$ с центром $O_1$, проходящую через середины сторона $A_1, B_1$ и $C_1$. При этом $H_M^{-\frac{1}{2}}(R) = O, |RM| = 2 |OM|; H_M^{-\frac{1}{2}}(O) = O_1.$ $|O_1M| = \frac{1}{2}|OM|$, так что центр $O_1$ окружности $\gamma$ является серединой отрезка $RO$ (см. рис. 7).

Покажем, что окружность $\gamma$ проходит через середину $A_2$ отрезка $RA$ (для отрезков $RB$ и $RC$ доказательство аналогичного).

96

Заметим, что $H_M^{-1/2} ([RA]) = [OA_1]$, так что $|OA_1| = \frac{1}{2} |RA|$. Симметрия $S_{O_1}$ с центром в $O_1$ переводит противоположно направленные лучи $OA_1$ и $RA$ друг в друга, а потом $A_2 = S_{O_1}$ ($A_1) \in [RA]$ и $|RA_2| = |OA_1| = \frac{1}{2} |RA|$. Поскольку симметрия $S_{O_1}$ переводит окружность $\gamma$ в себя, получаем, что $A_2 \in \gamma$.

Далее, пусть $D$ — основание высоты, опущенной из вершины $A$. Поскольку $A_1A_2$ — диаметр окружности $\gamma$, а $D$ — вершина прямогольного треугольника $A_1DA_2$ с гипотенузой $A_1A_2$, получаем, что основание высоты $D$ также принадлежит $\gamma$. То же справедливо и для других высот треугольника $ABC$.

К задачам «Квант» для младших школьников»
(см. «Квант» № 10)

1. а) 350; б) 108; в) 105; 135, 225, 315, 405. 2. На столе лежат желтый квадрат, зеленный ромб, красный треугольник, синний круг. 3. В 1956 году.

К статьи «Степа Мошкин повторяет геометрию»
(см. «Квант» № 10)

1. а) Красьные окружности сдиныны; 6) рука у «человека» повернута не в ту сторону; в) красная окружность должна быть большого радиуса; г) красная линия должна быть симметрично отражена в $l$ и уменьшена.
2. Если $(AF) \parallel (A'E)$, то $(A'B) \parallel (AB)$ и либо $A = A' \in (MK)$, и тогда решить задачу невозможно (если $B \notin (MK)$), либо $A \neq A'$ и тогда $B \in (AA')$. Во втором случае надо построить сначала образ вспомогательной точки $C$, для которого прямые $AC, A'C$ и $BC$ пересекают прямую $MK$ в пределах чертежа.
3. Решается аналогично задаче 2.
4. У казан и е. Оси симметрини принадлежит точка пересечения диагоналей трапеции и точка пересечения прямых, на которых лежат боковые стороны трапеции.
5. а) Построите равносторонний треугольник $AOA_1$.

6. Дважды произведите поворот на $60^\circ$.

7. У казан и е. Произвести три поворота на $60^\circ$ с центром $O$.
8. Дважды воспользоваться предыдущей задачей.
9. а) $A \rightarrow D$, $B \rightarrow F$, $C \rightarrow E$.

6. С помощью осевой и центральной симметрии.

К задачам
(см. «Квант» № 10, с. 63)

1. $x = \pi m/3$ ($m \in \mathbb{Z}$). У казан и е. Рассмотрите уравнение как квадратное относительное sin 1917 $x$, найдите $x$ из полученных значений sin 1977 $x$ и sin 1917 $x$ и сравните их. 4. $x = 5$, $y = 3$. 5. $n = 1, 2, 3$. У казан и е. Функция $f(n) = (9/12)^n + (10/12)^n$ монотонно убывает.

К заметке «Вот это близнецы!»
(см. «Квант» № 10, с. 39)
В обонх примерах икс = 305, зет = 124

К задаче «Турипная таблица»
(см. «Квант» № 9, с. 10)

| | 10a | 10b | 10d | 10г |
| :— | :— | :— | :— | :— |
| 10a | — | 1:0 | 0:0 | 1:0 | 0:3 |
| 10b | 0:1 | — | 1:0 | 0:1 | 5:0 |
| 10d | 0:0 | 0:1 | — | 5:0 | 0:0 |
| 10г | 0:1 | 1:0 | 0:5 | — | 2:1 |

К кроссамберу «Ребята с нашero двора»
(см. «Квант» № 9, 3-ю с. обл.)
Симе 12 лет, Римме 10 лет, Фиме 9 лет, Диме 8 лет и Тиме 7 лет.

Номер готовили:
А. Виленкин, И. Клумова, Т. Петрова, А. Сосинский, В. Тихомирова, Ю. Шиханович,

Номер оформили:
М. Дубах, Г. Красников, Э. Назаров, А. Пономарева, И. Смирнова

Зав. редакцией Л. Чернова

Художественный редактор Т. Макарова

Корректор О. Бутусова
113035, Москва, М-35, В. Ордынка, 21/16, «Квант», тел. 231-83-62.
Сдано в набор 26/V11I 1977 г.
Подписано в печать 10/X 1977 г.
Бумага 70×108/16, Физ. печ. л. 6.
Усл. печ. л. 8,4. Уч.-изд. л. 9,44. Т-16464 Цена 30 коп. Заказ 1919 Тираж 290 157 экз.

Чеховский полигraphический комбинат Союзполигraphпрома при Государственной комите Совета Министров СССР по делам издательств, полигraphии и книжной торговли.
г. Чехов Московской области

Руководи не возврачаются

Кривая, которая здесь изображена, называется «каппа» из-за сложства с одноменной буквой и греческого алфавита. Эту кривой впервые построил в 1662 году белгийский математик Рене Франсуа де Слюз (1622—1685), когда вел переписку с Христаном Гюйгенсом.

Приведенный здесь способ построения души капыши принадлежит И. Ньютону. Пусть на прямой l отмещена точка O. Возьмем угольник AMB (M — вершина прямого угла). Правая верхняя ветвь капыши описывается вершиной M, когда угольник перемещается так, что вершина B скольzt по правому лучу прямой l, M находится над прямой l и катет AM проходит через O. При остальные ветви капыши строятся аналогично.

Удлинняя кастет AM угольника AMB, мы можем получить сколь угодно далекие точки капыши.