Что значит «больше»?

53

А. Савин
ЧТО ЗНАЧИТ „БОЛЬШЕ“?

Про любые два числа мы всегда можем сказать, какое из них больше; для этого достаточно сравнить их десятичные записи. Не вызывает кривотолков и вопрос «Какой из двух отрезков больше?» Очевидно, тот, у которого больше длина. Сравнить длины отрезков мы можем и не вычисляя их, а просто переместив их так, чтобы они оказались на одном и том же луче, и один из концов каждой отрезка совпал с началом луча. Так и в споре двух ребят — «Кто выше» — дело, как правило кончается тем, что они становятся спиной друг к другу и кто-то с помощью ладони разрезает этот спор.

А вот как понять такое утверждение: «Ребята в нашем классе выше чем в вашем!»? Можно его понять так:

«Самый высокий ученик нашего класса выше, чем самый высокий ученик вашего класса», или — «Самый низкий ученик нашего класса выше самого низкого ученика вашего класса» или — «Любой ученик нашего класса выше любого ученика вашего класса». Можно предложить еще несколько способов сравнения, но очень трудно какому-либо из них отдать предпочтение.

Как мы увидим, подобная ситuation возникает при попытке решить задачу № 137 из учебника геометрии для 10 класса. Напомним ее формулировку.

137. В правильной шестицелюльной парамиде больше диагональное сечение — равноведренный прямоугольный треугольник с zипоменузой с. Найдите объем парамиды.

Чтобы понять условие задачи, следует вспомнить, что такое диагональное сечение. В условия задачи № 89 было дано определение:

«Сечение парамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не лежащих в одной грани, называется диагональным сечение».

К сожалению, в учебнике не оказалось определения сечение парамиды (и вообще тела) плоскостью, но из того, как это слово употребляется, можно сделать вывод, что

«Сечение тела плоскостью — это геометрическая фигура, состоящая из всех точек, одновременного приадлежих и мелу и плоскости» (пересечение тела и плоскости).

Осталось понять, что значит «большое». Поскольку диагональные сечение парамиды, очевидно, является треугольник, то осталось выяснить, что значит, что один треугольник больше, чем другой.

Вариант ответа можно предложить очень много. Например, «Тот, у которого больше перimetр», или «Тот, у которого больше площадь», или «Тот, у которого больше площадь описанной окружности», или «Тот, у которого больше площадь описанной окружности», или «Тот, у которого больше большая сторона»…

Нужно заметить, что в реальных ситuations «величину» треугольника может характеризовать какое из перечисленных выше чисел, связан-

54

ных с треугольником. Однако чаще всего в качестве числа, характеризующего величины плоской фигуры, берет площадь этой фигуры (а для пространственных фигуры — их объем). Две плоские фигуры, имеющие одинаковые площади, принято называть равновеликми.

По-видимому, в задаче 137 имеется в виду, что «большее диагональное сечение» — это диагональное сечение, проходящшее через большую диагональ.

В этом случае решение задачи не сложно. Высота парамиды совпадает с высотой треугольника, равной $\frac{c}{2}$, а длина стороны шестиугольника также равна $\frac{c}{2}$. Отсюда площадь основания парамиды равна $\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(\frac{c}{2}\right)^2$, а объем $\frac{c^3\sqrt{3}}{16}$. Именно этот ответ и приведен в учебнике.

Ну, а если понятно под величины треугольника его площадь? И в этом случае задача также не слишком сложно решается. Во-первых, заменим, что диагональные сечения паральной парамиды являются треугольниками с двумя конгрузными сторонами, являющимися боковыми ребрами парамиды. Если обозначить длину бокового ребра через $l$, то площадь рассматривается треугольника равна $\frac{1}{2}l^2\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между указанным сторонами, и то из сечений большие, у которой большие синусоترу угла.

Во-вторых, заменим, что если указывающий угол — прямой, то из скзаанного выше следует, что такое сечение и является наиболее简便.

Случай, в котором наиболее сечение проходит через большую диагональ, уже разобран. Осталось рассмотреть случай, когда оно проходит через другую диагональ. В этом случае длина этой диагонали равна $c$, длина большей диагонали $\frac{2c\sqrt{3}}{3}$, а стороны шестиугольника $\frac{c\sqrt{3}}{3}$. Длина бокового ребра равна $\frac{c\sqrt{2}}{2}$, а высота парамиды $h = \sqrt{\frac{c^2}{2} - \frac{c^2}{3}} = c\sqrt{\frac{1}{6}}$. Окончательное получаем, что площадь основания равна $\frac{c^2\sqrt{3}}{2}$, а объем парамиды $\frac{c^3\sqrt{2}}{12}$.

В чем цель этой заметки? Конечно же, не в том, чтобы указыть на неудачную задачу в учебнике, а в том, чтобы раз dáть вам возможность убедиться, что математика — это наука, в котором все понятия и отношения между ними должны быть строго определены (конечно, за исключением основных, не определяемых понятей, таких, как точка, плоскость, прямая).

Хочется еще отметить и тот факт, что один и тот же термин может в разных книгах выступать в разных ролих. Естественно, что в соответствии с книгей или статья дает строго определение этого термину.

И в заключение — задача.

Про прямой круговой конус известно, что максимальная площадь сечения его плоскостью, проходящenteх сечения, в два раза больше площади основного сечения. Найти угол основного сечения.