Задачи

55

Задчи

1. a) На очередном занятии математического кружка, посвященном проблеме четырех краскок, шесть участвников кружка решили поспериментировать — чертить разные карты и пытаться их раскрашивать в четыре цвета так, чтобы соседние «страны» были раскрашены разными цветами. Для этого потребовались карандаши четырех разных цветов.

У учитель было много красных, синих, желтых и зеленьх карандашей, но он не хотел, чтобы каждый школьник раскрашивал карты в одиночку. Он решил так разить ребятам карандаши, чтобы никакие два школьника (из шести!) не имели карандашей всех четырех цветов, но любые три — имели.

Сумет ли он это сделать?

6)* Попробуйте выяснить, при каких n можно так разить шести ребятам карандаши n цветов, чтобы каждые troе имели (вместе) карандаши всех n цветов, а никакие две — не имели.

2. Какими цифрами нужно заменить буквы, чтобы равенство

$$\frac{ab}{+bc} = \frac{ca}{abc}$$

выполнялось?

3. Мне сейчас в 4 раза больше лет, чем было моей сестре, когда она была моложе меня в два раза. Сколько лет сейчас каждому из нас, если через 15 лет нам вместе будет 100 лет?

4. Найдите все целые числа m, n, удовлетворяющие уравнению

$$\sqrt{m + \sqrt{m}} = n.$$