Các bài toán của Hilbert và toán học Liên Xô

31

Các bài toán của Gilberti và toán học Liên Xô

Sự kiện đầu tiên tại Đại hội các nhà toán học quốc tế, được tổ chức vào tháng 8 năm 1970 tại thị trấn nghỉ mát Niszcz nổi tiếng thế giới của Pháp, là bài toán lời giải nổi tiếng của bài toán thập phân Gilberti. Người hùng thời đó là nhà toán học Liên Xô 20 tuổi Yu. V. Matiyase ở Chi, người có báo cáo được đưa vào chương trình nghị sự của đại hội trên và ngoài chương trình biên soạn. Như vậy đã kết thúc lịch sử 70 năm của bài toán này của Gilberti.

Lời giải trong số mỗi bài toán trong số hai mươi năm của Gilberti, thậm chí mọi thành công một phần trong lời giải của chúng đều được toàn bộ thế giới toán học chấp nhận như một thành tựu toán học quan trọng. Đâu là bí quyết khiến các bài toán của Gilbert trở nên phổ biến đến vậy, tầm quan trọng mà lời giải mang lại cho chúng? Suy cho cùng, số bài toán chưa giải được đặt ra trong toán học

D. Gilbert (1862-1943)

Văn học Nga rất phong phú và chỉ một số ít trong số đó (chẳng hạn như bài toán Fermat) được biết đến rộng rãi. Và đây không phải là một, mà là hai mươi ba bài toán, một số trong số đó không chỉ là bài toán theo nghĩa hẹp của từ này mà còn là kế hoạch phát triển toàn bộ các hướng toán học! Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ phải quay ngược lại năm 1900 và thấy mình đang ở Paris tại cuộc họp của Đại hội các nhà toán học quốc tế lần thứ hai, tại đó vào ngày 8 tháng 8 D. Hilbert đã đưa ra một báo cáo “Các vấn đề toán học”.

David Gilbert sinh năm 1862 tại Königsberg. Tại thành phố này, anh đã tốt nghiệp phổ thông và đại học, tại đây anh bắt đầu con đường khoa học, nơi anh đã thành công ngay từ những bước đi đầu tiên. Kết quả ông thu được đã được nhiều người biết đến. Năm 1895, nhà hình học nổi tiếng F. Klein đã mời ông đến Gottingen để đảm nhận vị trí giáo sư bình thường tại trường đại học địa phương, nơi gắn liền với tất cả các hoạt động tiếp theo của Gilberti. Vào thời điểm phát biểu tại đại hội năm 1900, Gilberti đã trở nên nổi tiếng nhờ những kết quả đáng chú ý về lý thuyết bất biến và lý thuyết số đại số. Năm 1899, tác phẩm “Cơ sở hình học” của ông được xuất bản, đánh dấu một kỷ nguyên về nền tảng của toán học. Những tác phẩm này bộc lộ đầy đủ tính linh hoạt đáng kinh ngạc và khả năng khái quát hóa trong tài năng của ông, cho phép ông dễ dàng điều hướng các lĩnh vực toán học đa dạng nhất, sức mạnh cần thiết của trực giác toán học của ông. Gilberti, cùng với A. Poincaré, được ủng hộ bởi lời nói của nhà toán học vĩ đại nhất thời bấy giờ. Hiểu rằng đó là lý do tại sao anh ấy đặc biệt

32

sự quan tâm của những người tham gia hội nghị chào đón báo cáo của ông với tựa đề đầy hứa hẹn “Các vấn đề toán học”.

“Ai trong chúng ta lại không muốn vén bức màn che giấu tương lai của mình để ít nhất nhìn thoáng qua những điều kiện sắp tới về kiến thức của chúng ta và những bí mật về sự phát triển của nó lên một tầm cao mới? Những phương pháp mới và sự kiện mới nào sẽ được khám phá trong trạng thái mới trên lĩnh vực rộng lớn và phong phú của tư duy toán học? - với những lời này D. Gilbert bắt đầu báo cáo của mình. Sau đó, ông tiếp tục. miễn phí để thay thế chúng bằng những cái mới. Để tưởng tượng bản chất có thể có của sự phát triển của toán học trong tương lai gần, chúng ta phải suy nghĩ về những câu hỏi vẫn còn bỏ ngỏ, xem xét các vấn đề mà khoa học hiện đại đặt ra và lời giải mà chúng ta mong đợi từ tương lai. Đối với tôi, một cái nhìn tổng quan về vấn đề như vậy ngày nay, vào đầu thế kỷ mới, là đặc biệt hợp thời.” Và Hilbert mang đến sự chú ý cho người nghe 23 vấn đề từ các lĩnh vực khác nhau của toán học, “việc nghiên cứu chúng có thể kích thích đáng kể sự phát triển hơn nữa của khoa học”.

Sáu vấn đề đầu tiên trong báo cáo của Hilbert liên quan đến nền tảng của các ngành toán học khác nhau, chín vấn đề tiếp theo - liên quan đến các câu hỏi đặc biệt hơn về đại số, hình học đại số và lý thuyết số, tám vấn đề còn lại - liên quan đến lý thuyết về hàm số, phương trình vi phân và biểu thức và phép tính biểu diễn.

Cần lưu ý rằng một số vấn đề này đã được đặt ra trước Hilbert. Vì vậy, vấn đề đầu tiên trong danh sách - vấn đề contirum - được G. Kant đặt ra vào năm 1878; các câu hỏi liên quan đến bài toán thứ ba đã được K. Gauss thảo luận trong thư từ của ông với Hermann. Đối với các câu hỏi tạo nên nội dung của tám bài toán, một trong số đó - câu hỏi duy nhất về các số 0 của hàm zema - được B. Riemann đặt ra vào năm 1859, bài còn lại, được gọi là câu hỏi duy nhất về các số 0 Holbach, vào năm 1742 trong bức thư sau này gửi L. Euler, và cuối cùng, bài toán thứ 21 - bài toán, do B. Riemann đưa ra vào năm 1857. Phần còn lại các vấn đề, mà chính tác giả của nó là Hilbert, chỉ là một phần của bài toán do ông đặt ra vào thời điểm đó. Những trường hợp này hỗ trợ tính chất đặc biệt của việc lựa chọn các vấn đề có trong tài liệu - đây chỉ là những vấn đề quan trọng nhất, theo ý kiến ​​​​của Hilbert, bài toán mà khi đó toán học đang phải đối mặt, việc suy ngẫm về chúng có thể giúp “hình dung ra khả năng phát triển kiến ​​thức toán học trong tương lai gần.”

Diễn biến tiếp theo của các sự kiện cho thấy rằng sự lựa chọn bài toán do Hilbert đưa ra có ý nghĩa chủ yếu: sự phát triển các ý tưởng liên quan đến nội dung của chúng đã cấu thành một phần quan trọng của toán học thế kỷ 20. Rất nhiều nhà toán học tài năng từ các quốc gia khác nhau trên thế giới đã tham gia vào lời giải những bài toán này, bao gồm cả chính Hilbert và nhiều học trò của ông. Một vị trí đáng chú ý trong số đó thuộc về các nhà toán học kế toán. Khi đó, Nga chưa phải là một cường quốc toán học hùng mạnh như Đức hay Pháp, mặc dù đã công nhận các trường phái toán học và một số nhà toán học xuất sắc trên thế giới, trong đó có thiên tài toán học hàng đầu - N. I. Lobachevsky, P. L. Chebyshev. Tuy nhiên, thời kỳ hoàng kim của toán học kế toán vẫn còn ở phía trước. Tại đại hội ở Paris, phái đoàn Nga tương đối nhỏ - 9 người (so sánh: Pháp - 90, Đức - 25) và chỉ đưa ra một báo cáo “Về sự biến mất (chúng ta sẽ nói về số 0 - S.D.) của hàm H của một số biến,” do giáo sư Kharkov M.A. Tikhomandrikiy đưa ra.

33

Trong phần tiếp theo, chúng tôi sẽ chủ yếu tuân thủ nguyên tắc trình tự thời gian.

Công trình đầu tiên ở Nga dành cho việc phát triển các bài toán Glober được nghiên cứu bởi V. F. Kagan vào năm 1903, người đã rút ngắn và đơn giản hóa đáng kể cách chứng minh của M. Dehn xuất hiện ngay trước đó, đưa ra kết quả dương lời giải của bài toán Glober thứ ba, so với bậc B. năm 1904. S. N. Bernishtein, một nhà khoa học trẻ người Nga, sau này là một học giả, trở nên nổi tiếng nhờ những kết quả xuất sắc trong lý thuyết, lý thuyết về phương trình vi phân của hàm số và lý thuyết xác suất, đã đưa ra lời giải bài toán thứ mười chín của Globert - lý thuyết bài toán khó về phương trình vi phân với các phương trình từng phần tùy ý. lời giải này đã hình thành nên nội dung luận án tiến sĩ của Bernstein, được ông hoàn thành cùng năm tại Paris. Trong các công trình của mình năm 1908-1909, ông còn thu được những kết quả quan trọng liên quan đến bài toán thứ hai mươi, cũng liên quan đến lý thuyết phương trình vi phân từng phần.

Những phát triển tiếp theo liên quan đến sự phát triển của những vấn đề này đã trở thành một trong những vấn đề chính mang lại danh tiếng trên toàn thế giới cho trường phái lý thuyết phương trình vi phân của Liên Xô, nguồn gốc mà chúng ta tìm thấy trong công trình của V. A. Steklov và A. M. Lyapunov. Những kết quả rực rỡ về bài toán thứ 19 đã thu được vào năm 1937 bởi I. G. Petrovsky, sau này là một học giả, một trong những chuyên gia lớn nhất trong lĩnh vực lý thuyết phương trình vi phân.

I. G. Petrovsky cũng giải quyết bài toán Globert thứ mười sáu, bao gồm chuỗi bài toán cấu trúc liên kết của các đường cong đại số và bề mặt. Năm 1933, ông đã giải được một trong số bài toán này, và trong một bài báo năm 1949 (cùng với O. A. Oleinik), ông đã khái quát hóa kết quả của mình.

Năm 1960, các nhà toán học Leningrad O. A. Ladyzhenskaya và N. N. Uraltseva đã thu được kết quả “hội tụ” về các bài toán thứ 19 và 20 của Glober. Nghiên cứu về chúng hóa ra là lý thuyết về mối liên hệ với phép tính biến phân, thừa nhận sự phát triển của nó tạo nên nội dung của Globert. Đáp số Sự thừa nhận này dựa trên nghiên cứu của các tác giả Liên Xô (S. N. Bernshtein, L. A. Lyusternik, L. G. Shnirelman, L. S. Pontryagin, O. A. Ladyzhenskaya, v.v.).

Bài toán thứ sáu của Globert được giới thiệu như sau: “Trình bày toán học các tiên đề vật lý” (điều này cũng có nghĩa là lý thuyết xác suất). Thật thú vị khi lưu ý rằng đối với Globert, cũng như đối với nhiều nhà toán học cùng thời với ông, lý thuyết xác suất dường như là một nhánh của vật lý (tương tự như cơ học), trong đó các phương pháp toán học đóng một vai trò nổi bật. Quan điểm này phần lớn được giải thích là do sự phát triển yếu kém của hàm tiên đề của lý thuyết xác suất, đôi khi dẫn đến việc khai thác yếu kém nội dung toán học thực tế của nó. Cấu trúc tiên đề của lý thuyết xác suất cho phép nó được Globert xây dựng một cách chính xác dưới dạng một trong những dạng bài toán cơ bản trong toán học.

Tiên đề này lần đầu tiên được S. N. Bernstein đưa ra trong một tác phẩm xuất hiện vào năm Cách mạng xã hội chủ nghĩa Tháng Mười vĩ đại. Năm 1936, nhà toán học xuất sắc của thời đại chúng ta A. N. Kolmogov, hiện là viện sĩ, đã đề xuất một hệ tiên đề khác của lý thuyết xác suất, dựa trên các khái niệm của lý thuyết đo lường. Hệ thống này, gắn liền với một hệ thống được chấp nhận rộng rãi, đánh dấu sự khởi đầu một giai đoạn mới trong lịch sử lý thuyết xác suất và xuất hiện như là trọng tâm của ý tưởng, một mặt, của trường phái Moscow về lý thuyết hàm số biến thực, được thành lập bởi D. F. Egorov và N. N. Luzin, mặt khác, thuộc trường St. Petersburg của P. L. Chebyshev, trường dẫn đầu trong lĩnh vực lý thuyết xác suất.

36

đã khẳng định, vấn đề phức tạp và quan trọng hơn bài toán về khả năng biểu diễn một hàm tương tự của ba biến bằng cách chồng chất các hàm chính của chỉ hai biến sẽ được giải quyết (nhưng hóa ra là không thể).

Nhà toán học người Đức L. Bieberbach gọi bài toán thứ mười ba là “bài xui xẻo nhất” - trong trường hợp này, con số 13 quyết định mức độ nổi tiếng của nó, lời giải bài toán đã lẩn tránh các nhà nghiên cứu, dẫn đến việc đặt tên theo những con đường dẫn đến những kết luận sai lầm. Vì vậy, trong một thời gian, một số người đã tin rằng Bieberbach đã xác nhận được giả thuyết của Hilbert, nhưng cách xây dựng của ông hóa ra là sai lầm. Một số kết quả đã thu được, trong đó mạnh nhất là kết quả của nhà toán học trẻ Liên Xô A. G. Vitushkin, người đã gián tiếp xác nhận giả thuyết của D. Hilbert.

Điều bất ngờ hơn nữa là kết quả đạt được vào năm 1954 bởi viện sĩ A. N. Kolmogorov và V. I. Arnold, khi đó là sinh viên Khoa Cơ học và Toán học tại Đại học Moscow, sau này là giáo sư và người đoạt giải Lenin. Họ đã kiểm tra giả thuyết của Hilbert bằng cách chỉ ra rằng mọi hàm không nguyên tố của ba biến đều là tổng của chín hàm, mỗi hàm là sự chồng chất một lần của các hàm hai biến.

Vấn đề thứ hai của Hilbert là chứng minh tính nhất quán của số học. Đồng thời, Hilbert đã hạn chế rất nhiều phương tiện chứng minh trong khuôn khổ của cách tiếp cận mà sau này được gọi là “thuyết feintism của Hilbert”. Bản thân Hilbert cùng với các học trò của mình đã tốn rất nhiều công sức cho lời giải bài toán này và thậm chí đã có lúc cảm thấy tự tin rằng mình đã thu được chứng minh như vậy. Tuy nhiên, kết quả của K. Gödel vào năm 1931 đã chấm dứt sự tự tin này - họ phát hiện ra rằng về nguyên tắc không thể có được một bằng chứng như vậy trong khuôn khổ “thuyết feintism của Hilbert”. Việc tìm kiếm một bằng chứng như vậy đã bắt đầu mà không cần đến những hạn chế do “thuyết nữ quyền của Hilbert” áp đặt. Tuy nhiên, bằng chứng đáng chú ý nhất thuộc loại này được Viện sĩ P. S. Novikov thu được vào năm 1943.

Bản chất của vấn đề thứ mười, cuối cùng đã được Yu giải quyết. V. Matiyasevich, như sau: đưa ra một phương trình Diophantine tùy ý với các hệ số hữu tỷ nguyên; chỉ ra một phương pháp mà sau một số hữu hạn phép tính có thể xác định được liệu một phương trình đã cho có thể giải được bằng số nguyên hữu tỷ hay không.

Ví dụ: nghiệm số nguyên của phương trình

$$x^2 + y^2 - z^2 = 0,$$

phát sinh liên quan đến ý nghĩa của định lý Pythagore là các tập hợp ($\alpha \in \mathbb{Z}$)

$$x = \alpha^2 - 1, y = 2\alpha, z = \alpha^2 + 1.$$

Những công thức này được cho là của Pythagoras, nhưng chúng không bao gồm tất cả số nguyên lời giải (điểm Pythagore) của một phương trình đã cho. Chung lời giải

$$x = \xi^2 - \eta^2, y = 2\xi\eta, z = \xi^2 + \eta^2$$

($\xi, \eta \in \mathbb{Z}$) chúng tôi tìm thấy ở Diophantus, mặc dù chắc chắn nó đã được biết đến từ lâu trước ông ấy. Trong công trình của Diophantus, lý thuyết về các phương trình như vậy đã có sự phát triển đáng kể nên sau đó chúng được đặt theo tên ông.

Nghiên cứu về phương trình Diophantine, hay phân tích Diophantine, như người ta nói ngày nay, được thực hiện bởi P. Fermat, L. Euler, J. Lagrange và C. F. Gauss. Hai nỗ lực cuối cùng để giải phương trình bậc hai với hai ẩn số. Người ta có thể kể tên một số nhà toán học xuất sắc khác của thế kỷ 19 đã dành thời gian nghiên cứu giải tích Diophantine, nhưng đến năm 1900, thời điểm Hilbert cung cấp bài toán được chỉ định, những thành công trong các phương trình lời giải ở cấp độ cao hơn khá khiêm tốn. Bằng cách đặt ra bài toán trên, Hilbert rõ ràng có ý định giải quyết để thu hút sự chú ý của các nhà toán học đến sự phát triển của bài toán phân tích Diophantine.

Năm 1908, A.Thue nhận được những giải pháp nổi bật nhất

37

Phân tích Diophantine: phương trình $P(x, y) = c$, trong đó $c$ là số nguyên, $a$ $P(x, y)$ là đa thức tối giản trong đó tất cả các số hạng có cùng bậc, không nhỏ hơn ba, chỉ có thể có một số hữu hạn lời giải (một đa thức được gọi là tối giản nếu nó không phân rã thành tích của hai đa thức có hệ số nguyên).

Nhưng cả phương pháp của Thue lẫn các phương pháp tiếp theo đều không cung cấp được thuật toán tìm kiếm smikh lời giải. Các kết quả thu được đối với phương trình Diophantine bậc trên hai (công trình của nhà toán học Liên Xô B. N. Delone, nhà toán học người Đức K. Siegel, v.v.) liên quan đến việc tìm kiếm thuật toán cho từng lớp phương trình Diophantine. Và mặc dù thành công trong việc tìm kiếm một phương pháp tổng quát cho các phương trình Diophantine tùy ý là cực kỳ không đáng kể, tuy nhiên các nhà toán học vẫn tin rằng sớm hay muộn nó cũng sẽ được tìm thấy.

Tuy nhiên, vào giữa những năm ba mươi, một khái niệm rõ ràng về “thuật toán” đã được hình thành trong toán học và ý tưởng về các bài toán không có thuật toán nào chỉ định chúng lời giải tiếp tục - về thuật toán của các bài toán không thể giải được. Ví dụ về những vấn đề như vậy được đưa ra vào những năm 30-40 bởi A. Church, A. Tyuring, E. Post, A. A. Markov. Năm 1952, P. S. Novikov đã chứng minh tính không thể giải quyết được bằng thuật toán của một bài toán quan trọng trong lý thuyết nhóm - bài toán về điểm hành động của các từ. Một mặt, các ví dụ về các vấn đề không thể giải được bằng thuật toán và những khó khăn liên quan đến nỗ lực tìm kiếm thuật toán ban đầu, mặt khác đã làm nảy sinh nghi ngờ: có thể một thuật toán giải quyết được mười vấn đề hoàn toàn không tồn tại? Kết quả của các nhà toán học Mỹ (M. Davis và những người khác), thu được vào những năm 50-60, đã gián tiếp xác nhận giả định này. Họ đã có thể chỉ ra rằng đối với một loại phương trình tổng quát hơn, cái gọi là “phương trình Diophantine hàm mũ với hệ số nguyên”, thuật toán như vậy không tồn tại. Nhưng đây là dành cho các phương trình Diophantine hàm mũ và đối với trường hợp đặc biệt hơn - phương trình Diophantine - một thuật toán như vậy có thể tồn tại. Vì vậy, Yu. V. Matiyasevich đã chỉ ra rằng đối với lớp các phương trình như vậy thì không cần phải có thuật toán.

Ở đây chúng ta chỉ nói về những thành tựu nổi bật nhất của các nhà toán học Liên Xô trong các bài toán lời giải Hilbert. Một câu chuyện lớn và chi tiết là chủ đề không phải của một bài báo mà là một cuốn sách. Một cuốn sách như vậy kể về những thành tựu của các nhà khoa học trên khắp thế giới trong các bài toán lời giải Hilbert, được viết bởi các chuyên gia lớn trong các lĩnh vực toán học liên quan, đã được xuất bản ở nước ta vào năm 1969. Đúng vậy, khi nói về cuốn sách này, cần lưu ý rằng, thứ nhất, đọc cuốn sách đòi hỏi phải có sự chuẩn bị toán học đáng kể - ngay cả kiến ​​thức về một khóa học đại học cũng không đủ để hiểu từng phần riêng lẻ của nó, và thứ hai, trong suốt thời gian trôi qua kể từ khi xuất bản, tình trạng của các vấn đề với việc nghiên cứu các vấn đề của Gilbert đã thay đổi rất nhiều. Toán học hiện nay đang trong giai đoạn phát triển nhanh chóng; nó liên tục đặt ra những vấn đề ngày càng mới cho các nhà khoa học. Và nhiều vấn đề cũ (bao gồm cả một số vấn đề của Gilbert) vẫn chưa tìm thấy lời giải của họ. Chúng ta có thể chắc chắn rằng các nhà toán học Liên Xô sẽ tiếp tục làm chúng ta thích thú với những thành công đáng chú ý trong lời giải môn toán học quan trọng nhất.

Văn học

1. Những vấn đề của Hilbert. Bộ sưu tập được biên tập bởi P. S. Aleksadrov. M., “Khoa học”, 1969.
2. I. G. Bashmanov. Phương trình Diophantus và Diophantine. M., “Khoa học”, 1972.
3. V. G. Boltyansky. Các hình có kích thước bằng nhau và bằng nhau. M., Gostekhidat, 1956.
4. F.Kyman. Lịch sử số M., ​​“Khoa học”, 1971.
5. S. G. Gindikin. K. F. Gauss. «Kvant», 1977, số 8.
6. V. I. Arnold. Về việc biểu diễn hàm số nhiều biến dưới dạng chồng chập các hàm số nhỏ hơn số biến. “Quy trình toán học”, 1958, số 3, 41-61.