Các phần của khối đa diện

36

V. Vavilov

Các phần của khối đa diện

Bài viết này khảo sát 10 bài toán về các phần lấy từ nghiên cứu chính “Hình học 9” và “Hình học 10”. Mục tiêu chính là hệ thống hóa các nguyên tắc xây dựng các phần của khối đa diện. Ở đây chúng tôi đã chọn các số nguyên và bài toán, dựa trên việc xây dựng các nút giao và thiết kế song song. Chúng ta sẽ quay lại các kỹ thuật liên quan đến tính vuông góc trong một bài viết khác.

1. Sản xuất bài toán

Khi chứng minh các định lý, giải toán lập thể bài toán, chúng ta sử dụng hình vẽ, tức là hình ảnh trên mặt phẳng của các hình nằm trong không gian.

“Trong phép đo lập thể, chúng ta sẽ gọi hình ảnh của một hình (nguyên bản) là bất kỳ hình nào tương tự như hình chiếu song song của một hình đã cho lên một mặt phẳng nhất định” (IX, § 13) *).

Vì vậy, để xây dựng hình ảnh cần phải tính đến tính chất của phép chiếu song song. Một phần (Hình 1),

Điểm ảnh 1°;
Ảnh đường thẳng 2° của đường thẳng;
Hình ảnh các đường song song 3° bằng các đường song song;
4° nếu điểm M nằm trên đoạn [A; B] thì ảnh của điểm M nằm trên ảnh của đoạn [A; B] và chia ảnh của đoạn đó trong cùng một đoạn trong đó điểm M chia đoạn [A; B].

*) Tham chiếu “IX, § 13” đề cập đến § 13, “Hình học 9”; “X, 73, 84” giới thiệu Bài tập 73, 84 SGK Hình học 10.

Hình 1.

37

không có giao điểm của hai tập hợp này. Trong trường hợp này, theo quy luật, hình ảnh của đa giác sẽ được coi là đã cho và mặt phẳng cắt sẽ được cho bởi ba điểm (đôi khi là một đường thẳng và một điểm) trên hình ảnh. Bạn có thể sử dụng, như thường lệ trong các công trình hình học, chỉ có thước kẻ và la bàn. Vấn đề được coi là đã giải quyết nếu tất cả các đoạn dọc theo đó mặt phẳng cắt giao với các mặt của đa giác đều được tìm thấy.

Vì vậy, chúng ta hãy vẽ hình ảnh của một số hình (mặt phẳng, đường thẳng, khối đa diện). Cần phải tìm trên đó hình ảnh của một số đối tượng hình học (điểm, đoạn, đa giác) liên quan đến các hình ban đầu theo một cách nhất định.

Trong các bản vẽ, trong quá trình xây dựng của chúng ta, màu xanh lam sẽ tương ứng với mặt phẳng cắt và màu đỏ sẽ tương ứng với mặt phẳng chứa đường giao nhau.

2. Phụ trợ bài toán

Trước khi chuyển sang phần chính bài toán, chúng ta sẽ xem xét một số kỹ thuật phụ trợ để xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng.

1. Giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau rất dễ tìm: điểm giao nhau trên hình vẽ là hình ảnh giao điểm của chúng trong không gian. Nhưng - hãy cẩn thận! Điều này chỉ đúng với giả định rằng các đường thẳng thực sự giao nhau. (Và các đường thẳng trong không gian “như một quy luật” cắt nhau!). Đừng để bị lừa bởi sai lầm (Hình 2).

2. Giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng α không khó tìm nếu biết các hình chiếu song song A₁, B₁ của các điểm A, B lên α (Hình 3). Việc xây dựng là rõ ràng từ bản vẽ.

3. Dễ dàng tìm được giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng α trong trường hợp cho các giao điểm của A₁, B₁ với mặt phẳng α cho mọi giao điểm lần lượt qua các điểm A, B (Hình 4).

4. Giao điểm của hai mặt phẳng α và (ABC) được tìm thấy một cách đơn giản nếu cho các hình chiếu song song A₁, B₁, C₁ của các điểm A, B, C lên α. Hãy tự mình thực hiện theo cách xây dựng này (Hình 5).

Có thể chỉ ra nhiều tình huống khác nhau hơn khi dựng được giao điểm của hai mặt phẳng cho trước (ABC) và α.

38

3. Xây dựng một phần sử dụng ba điểm được chỉ định

Ở đây các kỹ thuật được mô tả trong phần trước được áp dụng một cách có hệ thống. Người đọc phải theo dõi chúng một cách độc lập thông qua loạt tranh vẽ hoạt hình.

5. Mặt cắt song song với mặt phẳng xác định bởi ba điểm A, B, C (IX, 75, 95, 96, 145, 147)

được thực hiện trong Hình 8, a-f. Ở đây chúng ta cần dựng các hình chiếu $A_1, B_1, C_1$ của các điểm A, B, C song song với các cạnh bên (Hình 8, 6), áp dụng bài toán 2 để dựng $X_1$ (Hình 8, 8) và tìm $X_2$; sau đó, thực hiện hướng thiết kế mới (Hình 8, 2), tìm điểm $X_4$ (lại bài toán 2) và áp dụng bài toán 1 để tìm điểm $X_6$ và $X_5$ (Hình 8, 8).

6. Tiết diện của paramid tam giác theo mặt phẳng ABC được thể hiện trên các hình 9, a-e (IX, 133, 135). Ở đây bài toán 3 được sử dụng hai lần.

7. Mặt cắt ngang của đặc điểm hình tam giác theo mặt phẳng ABC được thể hiện trên Hình 10,

39

4. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Ngoài các nguyên lý đã học trước đây, hai định lý về mặt phẳng song song thường được sử dụng: (I) tiết diện hai mặt phẳng song song với một mặt phẳng thẳng là một cặp đường thẳng song song; (II) Giao điểm của hai mặt phẳng song song với đường thẳng l là đường thẳng song song với l.

8. Cách dựng tiết diện tam giác paramid bằng mặt phẳng đi qua các điểm C, D cho trước song song với cạnh AB được thể hiện trên các hình 11, a-c (IX, 53, 54, 95). Ở đây các điểm X₂, X₃ được lấy là giao điểm của đường thẳng đi qua X₁ song song với AB với các mặt tương ứng (xem Định lý II). Chúng tôi khuyến nghị người đọc giải bài toán cho trường hợp các điểm X₂, X₃ không nằm trên các cạnh mà nằm trên phần mở rộng của chúng.

9. Mặt cắt của khối trung diện bởi mặt phẳng α đi qua điểm M ở độ cao AA₁, song song với mặt ACD được thể hiện trên các Hình 12, a-c (IX, 93, 94, 146; X, 312). Ở đây Định lý I được áp dụng hai lần: α || (ACD)⇒

40

Hình 12.

Hình 13.

$\Rightarrow (X_1X_2) \parallel (AB_1) \text{ и } \alpha \parallel (ACD) \Rightarrow (X_3X_4) \parallel (CD)$.

10. Tiết diện của khối tứ diện ABCD theo mặt phẳng $\alpha$ đi qua điểm M song song với các cạnh cắt AD và BC (IX; 132, 160) được thể hiện trên Hình 13, $\alpha$ - $\beta$. Ở đây Định lý II được áp dụng hai lần: $\alpha \parallel (AD)$ và $(AA_1D) \parallel AD \Rightarrow (MX_1) \parallel (AD)$, sau đó là $\alpha \parallel (BC)$ và $(BCD) \parallel (BC) \Rightarrow (X_3X_4) \parallel (BC)$.

11. Khó hơn bài toán

12. Chứng minh rằng một đoạn thẳng cho trước, không song song với một mặt phẳng cho trước, có thể chiếu song song lên một đoạn có độ dài bất kỳ trên một mặt phẳng cho trước.

13. Một góc đã cho có thể được chiếu song song ở góc nào trên một mặt phẳng nhất định?

14. Chứng minh rằng nếu biết ảnh của chúng với ba điểm của một hình phẳng không nằm trên cùng một đường thẳng thì có thể thu được ảnh của tất cả các điểm của hình này.

15. Chứng minh rằng mọi tam giác đều có thể đóng vai trò là ảnh của một tam giác đã cho *).

16. Chứng minh rằng ảnh của một tứ giác có thể là tứ giác bất kỳ có các đường chéo chia cho giao điểm theo cùng tỉ lệ với tứ giác ban đầu.

17. Chứng minh rằng ảnh của một tứ diện có thể là một tứ giác bất kỳ có đường chéo bằng nhau.

18. Khối trao đổi được đặt trên một khối lớn hơn sao cho chúng có một đỉnh chung và các mặt của chúng song song. Dựng một phần của hình thu được bằng một mặt phẳng xác định bởi ba điểm, từ đó

• cả ba đều nằm trên ba cạnh giao nhau nhỏ hơn một hình lập phương;
• cả ba đều nằm bên trong ba mặt khác nhau lớn hơn hình lập phương;
• một điểm nằm ở đáy trên của hình lập phương nhỏ và hai điểm còn lại nằm trên các cạnh khác nhau của hình lập phương lớn hơn.

*) Chúng ta hãy nhớ lại rằng kích thước của hình ảnh trường không quan trọng (xem điểm 1), do đó “bất kỳ tam giác nào” có nghĩa là “bất kỳ tam giác nào tương tự nhau”.