Bài toán M541—M545; F553—F557

28

Vấn đề
lượng tử

Chúng tôi đã chạy chuyên mục này từ số này đến số khác kể từ khi thành lập tạp chí. bài toán được xuất bản trong đó không phải là tiêu chuẩn, nhưng lời giải của chúng không yêu cầu kiến ​​thức ngoài chương trình giảng dạy của trường Newstein. Các dấu hoa thị bài toán khó nhất sẽ bị loại bỏ. Sau khi hình thành bài toán, chúng tôi thường cho biết ai đã đề xuất điều đó cho chúng tôi. Tất nhiên, không phải tất cả những vấn đề này đều được công bố lần đầu tiên.

Lời giải bài toán từ số này có thể được gửi chậm nhất là ngày 1 tháng 3 năm 1979 đến địa chỉ: 113035, Moscow, M-35 B. Ordynka 21/16, tòa soạn tạp chí «Kvant». Trong cột “Tới”, hãy viết: “Nhiệm vụ «Kvant» Số 1–79” và các số bài toán, lời giải mà bạn đang gửi, ví dụ: “M541, M543” hoặc “F555”. Lời giải bài toán từ các số khác nhau của tạp chí hoặc trong các chủ đề khác nhau (toán học và vật lý) được phân bổ trong các phong bì khác nhau. Bao gồm một phong bì có ghi địa chỉ của bạn trên đó (trong phong bì này bạn sẽ nhận được kết quả xác minh lời giải).

Tình trạng của mỗi bản gốc bài toán được đề xuất xuất bản (hoặc chu kỳ bài toán) được ấn định trong một phong bì riêng, được nhân đôi cùng với lời giải của bạn cho những bài toán này (trên vị trí phong bì: “Vấn đề «Kvant», vấn đề mới trong vật lý” hoặc “…vấn đề mới trong toán học”).

Ở đầu mỗi chữ cái, vui lòng cho biết họ và tên, số trường, lớp mà bạn đang theo học.

M541. Trong một nhóm $N$ người, mỗi người có đúng ba người bạn.
a) Chứng minh rằng $N$ là số chẵn.
b) Một công ty như vậy có thể luôn được chia thành các cặp $N/2$ để những người trong mỗi cặp là bạn bè không?

D. Bernishtein

M542. Cho một tam giác vuông $A_0A_1A_2$ có hai chân $|A_0A_2|=a$ và $|A_1A_2|=b$. Con kiến ​​sẽ leo dọc theo đường đứt đoạn vô hạn $A_2A_3A_4A_5$ …, trong đó $A_nA_{n+1}$ là chiều cao của hình tam giác $A_{n-2}A_{n-1}A_n$.
a) Tìm độ dài đường đi của nó (từ vô số đoạn thẳng).
b) Xây dựng điểm giới hạn $L$ mà con kiến ​​tiến tới. Nó nằm ở khoảng cách bao nhiêu so với các bên?

P. Emelyanov

M543*. Cho phép

$$\rho(x, y) = \frac{|x - y|}{\sqrt{1 + x^2} \sqrt{1 + y^2}}.$$

Chứng minh rằng với mọi số thực $a, b, c$ bất đẳng thức sau đúng:

$$\rho(a, c) \leq \rho(a, b) + \rho(b, c).$$

Andrei Paszkiewicz (Warsaw)

M544*. Số đỉnh tối đa mà không có đường chéo nào (nằm hoàn toàn bên trong đa giác) có thể được kiểm tra mà một $n$-giác không lồi có thể có là bao nhiêu? Giải quyết bài toán này trước để được $n=4, 5, 6, 7$.

S. Bychkov

M545. Có $n$ điểm trên mặt phẳng. Cần đặt $n$ máy chiếu tại những điểm này, mỗi máy chiếu một góc có độ lớn $360^\circ/n$ để chiếu sáng toàn bộ mặt phẳng. Chứng minh rằng điều này có thể xảy ra với bất kỳ vị trí nào của những điểm này nếu

a) $n=3; 6)$ $n=4$; c) $n$ — bất kỳ số tự nhiên nào.

29

d) Bây giờ hãy để các máy chiếu chiếu sáng các góc $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ ($\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n = 360^\circ$) và bố trí tại một điểm sao cho chúng chiếu sáng mặt phẳng. Chứng minh rằng bạn có thể dịch chuyển một trong các máy chiếu $n$ tới từng điểm này để toàn bộ mặt phẳng vẫn được chiếu sáng.

G. và V. Galperin

F553. Một tấm ván nặng có khối lượng $M$ nằm trên hai con lăn có thành mỏng bán kính $r$ và $R$ và có khối lượng bằng nhau $m$. Khoảng cách giữa tâm của các con lăn là $l$. Khi thả nó ra thì tấm ván bắt đầu chuyển động với gia tốc bằng bao nhiêu? Lực ma sát giữa tất cả các bề mặt là không bị trượt.

F554*. Một khối có khối lượng $m_1$ nằm trên một tấm ván có khối lượng $m_2$ đặt trên một mặt phẳng nằm ngang nhẵn. Hệ số ma sát giữa khối và tấm ván là $\mu$. Một lực $\vec{F}$ tác dụng lên bảng, thay đổi theo thời gian theo định luật $\vec{F} |=bt$, trong đó $b$ là giá trị không đổi. Vẽ đồ thị gia tốc của khối và bảng theo thời gian $t$.

F555. a) Một thanh cứng nhẹ có chiều dài $l$ có khối lượng $m$ ở đầu được gắn bản lề ở điểm dưới cùng và được giữ ở vị trí thẳng đứng bằng hai lò xo cứng nằm ngang $k$, được gắn chặt vào đầu trên của nó (Hình 1). Thanh không thể chuyển động theo phương vuông góc với lò xo. Với khối lượng tải bằng bao nhiêu thì vị trí thẳng đứng của thanh không còn ổn định nữa?

b) Một chiếc kim đan bằng thép có chiều dài $l$ được cắm xuống sàn sao cho nó đứng thẳng. Nếu tác dụng một lực ngang nhỏ $\vec{F}$ vào đầu trên của nó thì đầu trên của nan hoa sẽ lệch một lượng $a \ll l$. Đánh giá xem một chiếc kim đan có thể chịu được trọng lượng bao nhiêu, không đồng ý ở đầu trên của nó. Chúng ta hãy phân biệt công thức mà nan hoa chịu tác dụng của lực ngang hoặc lực dọc tác dụng lên nó, bỏ qua.

G. Komkin

F556. Nếu bạn đặt một vòng dây trên một khối băng, từ đó tải được treo (Hình 2), hệ thống dây điện sẽ bắt đầu cắt băng. Điều này được giải thích là do khi áp suất tăng, điểm nóng chảy của băng đạt đến điểm nóng chảy, băng dưới hệ thống dây điện bắt đầu tan chảy và phía trên hệ thống dây điện bắt đầu đóng băng trở lại.

Tuy nhiên, nếu vòng lặp được làm không phải từ hệ thống dây điện mà từ một sợi nylon có cùng đường kính hoặc thậm chí nhỏ hơn, băng thực tế sẽ không bị cắt. Tại sao? Hãy thử kiểm tra trải nghiệm được mô tả.

G. Kosurov

F557. Trong mạch như hình 3, phím K được đóng. Tìm cường độ dòng điện cực đại trong mạch và hiệu điện thế cực đại trên tụ điện.

P. Zubkov