Задачи М541—М545; Ф553—Ф557

28

Задачик
кванта

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с моментом основания журнала. Публикуемые в нем задачи не стандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки ньюштейн школьной программы. Наиболее трудные задачи отмещаются звездочки. После формирования задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задчи публикуются впервые.

Решения задачи из этого номера можно отправлять не позднее 1 марта 1979 года по адресу: 113035, Москва, М-35 Б. Ордынка 21/16, редакция журнала «Квант». В графе «Кому» написите: «Задачик «Кванта» № 1—79» и номера задачи, решения которых вы посылаете, например «M541, М543» или «Ф555». Решения задачи из разных номеров журнала или по разным предметам (математике и физике) присваивают в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем вашим адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки решений).

Условие каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации (или цикла задач), присваивает в отдельном конверте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задча по физике» или «…новая задча по математике»).

В начале каждого письма просим указывать вашие имя, фамилию, номер школьи и класс, в котором вы учитесь.

M541. В компании из $N$ человек у каждойровно трое друзей.
a) Докажите, что $N$ четно.
b) Всегда ли такую компанию можно разбит на $N/2$ пар так, чтобы люди в каждой паре были друзьями?

Д. Берништейн

M542. Дан прямогольный треугольник $A_0A_1A_2$ с катетами $|A_0A_2|=a$ и $|A_1A_2|=b$. Муравей полезет по бесконечной ломаной $A_2A_3A_4A_5$ …, где $A_nA_{n+1}$ — высота треугольника $A_{n-2}A_{n-1}A_n$.
a) Найдите длину его пути (из бесконечного числа отрезков).
b) Постройте предельную точку $L$, к которой приближается муравей. На каких расстояниях от катетов она находится?

П. Емельянов

M543*. Пусть

$$\rho(x, y) = \frac{|x - y|}{\sqrt{1 + x^2} \sqrt{1 + y^2}}.$$

Докажите, что для любых действительных чисел $a, b, c$ выполено неравенство

$$\rho(a, c) \leq \rho(a, b) + \rho(b, c).$$

Andrei Paszkiewicz (Варшава)

M544*. Какое наиболее число вершин, из которых нельзя проверить ни одной диагонали (лежащей целиком внутри многоугольника) может иметь невыпуклый $n$-угольник? Решите эту задачу сначала для $n=4, 5, 6, 7$.

C. Бычков

M545. На плоскости задано $n$ точек. Нужно разместить в этих точках $n$ проекторов, каждый из которых освещает угол величины $360^\circ/n$ так, чтобы осветить всю плоскость. Докажите, что это возможно при любом расположении данных точек, если

a) $n=3; 6)$ $n=4$; в) $n$ — любое натуральное число.

29

г) Пусть теперь проекторы освещают углы $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ ($\alpha_1 + \alpha_2 + \dots + \alpha_n = 360^\circ$) и составлены в одну точку так, что они освещают плоскость. Доказите, что можно перевести в каждую из данных точек по одному из $n$ проекторов так, что все плоскость будет по-прежнему освещена.

Г. и В. Гальперины

Ф553. Тяжелая доска массы $M$ лежит на двух тонкостенных катках радиусов $r$ и $R$ и равных масс $m$. Расстояние между центрами катков $l$. С каким ускорением начинает двигаться доска, если ее отпустить? Трене между всеми поверхностями таково, что просkalывания нет.

Ф554*. Брусок массы $m_1$ лежит на доске массы $m_2$, которая находится на гладкой горизонтальной поверхности. Коэффициент треня между бруском и доской равен $\mu$. На доску действует сила $\vec{F}$, изменяющаяся со временем по закону $\vec{F} |=bt$, где $b$ — постоянная величины. Нарисовать графики зависимости ускорения бруска и доски от времени $t$.

Ф555. a) Легкий жесткийстержень длины $l$ с грузом массы $m$ наверху закреплен шарнирно в нижней точке и удерживает в вертикальном положении двумя горизонтальными пружинами жесткости $k$, скрепленные с его верхим концом (рис. 1). В направлении, перпендикулярном к пружинам,стержень двигается не может. При какой массе груза вертикальное положениестержня перестанет быть устойчивым?

б) Стальная спица длины $l$ задалена в пол так, что стоит вертикально. Если к ее верхнему концу приложить небольшую горизонтальную силу $\vec{F}$, верхий конец спицы отклонится на величины $a \ll l$. Оценить, груз какой массы может выдержать, не согласиться, спица на своем верхнем конце. Различим формулы, которое принимает спица под действиям на нее горизонтальной или вертикальной сил, пренебречь.

Г. Комкин

Ф556. Если на ледяной брусок надеть проводочную петлю, к которой подвешен груз (рис. 2), проводка начинает резать лед. Это объясняется тем, что при повышении давления температура плавления льда попадает, лед под проводкой начинает таять, а над проводкой — вновь смерзаться.

Однако, если петлю сделать не из проводки, а из капроновой нити такого же или даже меньше диаметра, лед практически не режется. Почему? Попробуйте проверсти описанный опыт.

Г. Косуров

Ф557. В схеме, изображенной на рисунке 3, ключК замыкают. Найти максимальный ток в цепи и максимальное напряжение на конденсатор.

П. Зубков