Лента Мёбиуса. Вариации на старую тему

Квант 1979, №1 с. 2-9 Тег AMLR

Д. Фукс

Лента Мёбинуса.

Вариация на старую тему

Эта статья вновь возврашает нас к замечательной представительнице односторонних поверхностей — ленте Мёбинуса (см. также «Квант»: 1974, № 3; 1975, № 7; 1978, № 5 и № 6). Получается она из перекрученной на 180° длиной узкой бумажной полоски, склеенной в колюцо. Здесь обсуждается вопрос, какая именно полоска подойдет для изготовления модели ленты Мёбинуса.

Я не буду предлагать вам водить по ленте Мёбинуса пальцем или разрезать ее по средней линии. Речь поддет о вещих, менее известных. Начну с вопроса:

Какой формуы бумажную полоску следует взять, чтобы склить ленту Мёбинуса?

Ожидаемый ответ: полоска должна быть узкой и длиной, с возможностью отношением длины к ширине. Складем, из квадратного листа ленты Мёбинуса не сделаем.

Это верно, но с одной оговоркой, которое легко недооценить: ограничения на размер имеют значение лишь в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то ленту Мёбинуса можно склить не только из квадрата, но из прямогольника любых размеров—склеиваемые стороны могут быть даже во сколько уголно раз длине несклеиваемых.

Сделать это можно так (рис. 1). Сложим прямогольный лист в гармошу, перегнуть его четное число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мёбинуса,ставляя соответствующие части гармошки друг в друга. Из рисунка 1 видно, что лист бумаги, из которого склеена лента Мёбинуса, оказался смятым.

Предположим теперь, что бумажную полоску можно изгибать, но не мять. Причем ширину полоски за единицу. Ясно, чточем длинее полоска, тем легче склить из нее ленту Мёбинуса. Таким образом, существуют макое число λ, что из полоски длины больше λ ленту Мёбинуса склеить можно, а из полоски длины меньше λ — нельзя (что будет для полоски, длина которого в точности равна λ, нас не интересует). Очень хотеловы найти это λ.

Удивительно, но решение этой задачи do сих пор не известно.

Здесь я докажу для λ неравенства

$1,57...\approx \frac{\pi}{2}\leq\lambda\leq\sqrt{3}\approx1,73...$

(при этом начиным склеиваемых участков полоски мы пребрегаем: предполагается, что края полоски

Рис. 1.

склейваются встык) и постараюсь обьясить, почему не удается вычислить λ точнее.

Несмятый лист бумаги — «развертывающаяся поверхность»

Раз требование не мяты бумаги так важно, поэтому, каков его математический смысл.

Легко понять, что запрещение мяты бумаги означает ограниченное возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить без складки пополам, но нельзя сложить вчетверо (рис. 2). Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус («фунтик»), но нельзя сделать сферу или даже ее кусочек (рис. 3): прижмите лист бумаги к глобусу, и обязаτεльно повяятся складки. Как видно, листу бумаги можно придать далеко не всякую форму.

Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги, изгибая, но не сминая его, математики называют развертывающимся. (Примеры развертывающихся поверхностей показаны на рисунке 4.) Конечно, в математике развертывающиеся поверхности определяются не так: в математическом языке отсутствуют слова «бумага», «сминать», «сделать». Существует целая теория развертывающих surfaces поверхностей, среди достижений которой — удовлетворительный ответ на вопрос, какими они

Рис. 5. Рис. 6.

могут быть; математики называют это «классификацией» (ответ принадлежит Леонарду Эйлеру). Я не собираюсь здесь излагать общую теорию развертывающихся поверхностей: всякая общая теория скучнова. Я приведу только некоторые свойства развертывающихся поверхностей, нужные для дальнейшего. Наше наглядное определение не позволяет их доказать, так что придется рассматривать эти свойства как экспериментальные факты (возьмите лист бумаги и убедитесь в их справедливости).

Через каждую точку А развертывающейся поверхности, не лежащую на ее границе, проходим лежащий на поверхности отрезок, не кончающийся в А. Иначе говоря, в каждой точке к развертывающейся поверхности (изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки. Такой отрезок называется образующей поверхности (условимся, что это называние относится только к отрезкам максимальной длины, целиком лежащим на поверхности, то есть, к отрезкам, не содержащимся в бóльших отрезках с этим свойством).
Если через точку А, не лежащую на границе поверхности, проходят две различные образующие, причем А не является концом ни одной из них, то достаточно маленький кусок поверхности, окружающий А, является плоским. В таком случае точку А мы будем называть плоской.
Если точка А, не лежащая на границе поверхности, является концом какой-нибудь образующей, скажем, а, то плоские точки составляют точки А устроена так. Через точку А проходим единственная не кончающаяся в ней образующая, скажем, b (рис. 5). Образующая разделем поверхности на две части. С мой стороны от образующей b, с которой находится образующая a, к образующей b прилегает плоский кусок, с другой стороны от b, сколько близко от точки А, имеются не плоские точки. Точка A в этой ситуации мы будем называть полуплоской.

Подчеркием, что если точка поверхности не является ни граничной, ни плоской, то через нее проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, причем концы этой образующей лежат на границе поверхности.

При меры. Лист бумаги, свернуть в трубку или в фунтик, плоских (и полуплоских) точек не имеет. У трубочки образующие составляют семейство параллельных отрезков, у фунтика — семейство отрезков, ввером расходящихся из одной точки. Возможны более сложные расположения образующих. Например, образующие и плоские точки развертывающейся поверхности, изображены на рисунке б а, показаны на рисунке б б (на нем поверхности развертума в плоский лист бумаги): тонкие сине линия — образующие, а закрашенные области состояят из плоских точек.

Точки, лежащие на границе плоских точек, являются либо граничными для всей поверхности, либо полуплоскими. Если поверхности сделана из бумажного многоугольника (скажем, из прямого угольника), то плоские точки составляют

один или несколько плоских многоугольников, причем у каждой из этих многоугольников вершины лежат на границе поверхности, а стороны либо лежат на границе, либо состояят из полуплоских точек (см. еще раз рисунок 66).

Упражнение 1. Развертывающаяся поверхность сделана из a) квадратного листа со стороны 1; б) кругга диаметра 1. Доказите, что хотя бы одна из ее образующих имеет длину не меньше a) 1; 6) $\sqrt{3}/2$ .

Вернемся к нашему основному сюжету: вычисление $\lambda$ — нижней грани длины бумажных полосок ширины 1, из которых можно склить несятую ленту Мёбиуса.

Теорема 1: $\lambda \geqslant \frac{\pi}{2}$

Доказательство. Пусть лента Мёбиуса сделана из бумажной полоски длины $l$ . Намотаем на нее длиную бумажную ленту. Эта лента (толщиной бумаги пренебрегаем) будет составлена из прямогольников одинаковой длины, каждый из которых принимает форму нашей ленты Мёбиуса. Отметим на длиной ленте прямолинейные образующие и плоские точки (как на рисунке 66). Получится что-то вроде рисунка 7. Картина перiodична: все повторяется с периодом, равным 2l. Можно сказаать больше: при сдвиге влево или вправо на $l$ картина меняется, но строго определяным образом; именно, она перевор�aивается (т. е. зеркально отражается в средней линии полоски). Области плоских точек представляют собой четырехугольники (которые могут выродиться в треугольника), ограниченные двумя отрезками противоположных краев ленты и двумя отрезками, проходящими по ленте. Части ленты, не попавшие в эти области, вымешены образующими, концы которых лежат на краях ленты. (Все это следует из свойств 1—3 развертывающихся поверхностей, приведенных в п. 2.) Плоские участки также можно выместить образующими, так что вся лента будет покрыта непрерывным семейством образующих (рис. 8). Образующие в одинаковых четырехугольках можно выбирать одинаковым образом, так что описанная выше периодичность сохранится.

Возьем любую образующую из нашей семейства, скажем, $[AB]$ . Если симметрично отрезать ее в средней линии полоски и затем перевести в любую сторону (скажем, вправо) на $l$ , то получится отрезок $CD$ , который тоже является образующей из нашей семейства (рис. 9). Заметим (это важно), что $|AC| + |BD| = 2l$ . При наматывании нашей длиной ленты на ленту Мёбиуса образующие $[AB]$ и $[CD]$ займут одинаковое положение, причем точка $A$ совместится с $D$ , а точка $B$ — с $C$ ; другими словами, отрезки $AB$ и $CD$ составят в пространстве угол в $180^\circ$ . Между $[AB]$ и $[CD]$ расположается непрерывное семейство образующих. При движении от $[AB]$ к $[CD]$ величина угла, который эти образующие составляют в пространстве $[AB]$ , непрерывно изменяется от $0^\circ$ до $180^\circ$ . (Напомним, что величина угла между отрезками $KL$ и $MP$ в пространстве определяется как $\widehat{KLQ}$ , где $Q$ — такая точка, что отрезки $LQ$ и $MP$ рав-

Рис. 9.

Рис. 10.

Рис. 11.

ны по длине, параллельны и направлены в одну сторону.

Возьем любое $n$ и найдем между $[AB]$ и $[CD]$ такие образующие $[A_1B_1]$ , …, $[A_{n-1}B_{n-1}]$ , что величины угла между $[AB]$ и $[A_kB_k]$ равна $k \frac{180^\circ}{n}$ (точки $A_1$ , …, $A_{n-1}$ в этом порядке лежат между $A$ и $C$ , а точки $B_1$ , …, $B_{n-1}$ в этом порядке лежат между $B$ и $D$ ; см. рис. 10). Длина каждой из образующих большие или равна 1, а величина угла между пространственными положениями двух соседних образующих не меньше $\frac{180^\circ}{n}$ . Показем, что каждая из сумм $|AA_1| + |BB_1|$ , $|A_1A_2| + |B_1B_2|$ , …, $|A_{n-1}C| + |B_{n-1}D|$ не меньше длины $a_{2n}$ стороны правильного $2n$ -угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Это видно из рисунка 11. На этом рисунке отрезки $A_kE$ и $A_{k+1}B_{k+1}$ равны по длине, параллельны и направлены в одну сторону, $|A_kF| = |A_kH| = 1$ и $|FG| \parallel |EB_h|$ (рисунок 11 сделан в предположении, что $|A_{k+1}B_{k+1}| < |A_kB_k|$ ; изменения, необходимые в случае $|A_{k+1}B_{k+1}| = |A_kB_k|$ и $|A_{k+1}B_{k+1}| > |A_kB_k|$ , очевидны). Мы видим, что $|A_kA_{k+1}| + |B_kB_{k+1}| = |EB_{k+1}| + |B_kB_{k+1}| \geq |EB_k| \geq |FG| \geq |FH| \geq a_{2n}$ (здесь $|A_kA_{k+1}|$ , $|B_kB_{k+1}|$ , $|EB_{k+1}|$ — длины изображенных на рисунке 11 кр и во линей и их отрезков; эти длины совпадают с длинами отрезков $[A_kA_{k+1}]$ , $[B_kB_{k+1}]$ рисунка 10; предпоследнее неравенство следует из того, что $\widehat{FHG} > 90^\circ$ , а последнее — из того, что $\widehat{FA_kH} \geq \frac{180^\circ}{n}$ ).

Итак, $2l = |AC| + |BD| = (|AA_1| + |BB_1|) + (|A_1A_2| + |B_1B_2|) + \dots + (|A_{n-1}C| + |B_{n-1}D|) \geq n a_{2n}$ , т. е. $2l$ при любом $n$ не меньше положины перimetра правильного $2n$ -угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Значит, $2l$ не меньше положины длины самой этой окружности, то есть $l \geq \pi/2$ . Теорема доказана.

Теорема 2: $\lambda \leq \sqrt{3}$

Эта теорема проще предыдущей: для ее доказательства достаточно объяснить, как склить ленту Мёбинуса из полоски, длина которой больше $\sqrt{3}$ . Предположим сначала треугольник (рис. 12). Перегнем полоску по боковым сторонам этих треугольников, через направления сгиба (рис. 13; возьмите ножицы и бумагу и проделайте это). Край $AB$ и $CD$ полоски совместятся, причем точка $A$ совместится с точкой $D$ , а точка $B$ — с точкой $C$ . Получится ленту Мёбинуса.

При этом построении было нарушено главное правило — не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хотя неного большие $\sqrt{3}$ , то излом по образующей можно заменить изгибанием,

производимым на узком участке (рис. 14). Короче говоря, излом вдоль прямолинейного отрезка нам не страшен: его можно заменить близким к нему изгибанием. (Непоправимое сминание бумаги проискодит, когда две линии перегиба пересекаются, т. е. когда лист складывает на подобне носового платка — все это известно нам из повседневного опыта.)

Как выглядит получившаяся лента Мёбиуса, показано на рисунке 15. Ее устройство можно представить себе так: три одинаковых правильных треугольника ABC, A’B’C’, A’‘B’‘C’’ лежат параллельно друг другу, соответствующие вершины над соответствующими вершинами; стороны AB и A’B’, B’C’ и B’‘C’’, C’‘A’’ и CA соединены перемычками. Линия склейки проходит по медиане одного из треугольников.

У праванице 2. Нарисуйте для ленты Мёбиуса, построенной в доказательстве теоремы 2, схему прямолинейных образуощих и плоских точек (подобно рисунку 7).

Почему не удается найти λ точнее?

Пока задача не решена, трудно сказать, почему она не решена. Все же иногда в разных нерешенных задачах удается проследить общие трудности, отметить, так сказать, на математической карте трудопроходные места, что позволяет подчас представить успех или неудачу при решении той или иной задачи.

В предыдущеем параграфе мы доказали, что λ есть одна из точек отрезка [π/2; √3] . Какая же? Может быть, на этот счет можно высказать хотя бы правдоподобную гипотезу? Я думаю, что λ = √3 , и меня не удивляет, что доказать этого не удалось.

Дело в том в чем. Доказательство теоремы 1 оставляет неиспользованным одно важное свойство нашей ленты Мёбиуса — отсутствие у нее самопересечений. Самопересечения ленты нельзя сделать из бумаги, но представить себе ее можно: подобно самопересечению линии на плоскости она «проходит сквозь себя», причем можно разделить ее на части, каждой из которых самопересечений не имеет.

Допустим, что, говоря о бумажных лентах Мёбиуса, мы с самого начала разрешили им иметь самопересечения. Тогда λ прибретает новый смысл, — новое значение λ будет меньше прежнего или равно ему. При этом теорема 1 останется верной, и в ее доказательстве не придется менять ни одно слова: отсутствие самопересечения в этом доказательстве ни используется. Что же касается теоремы 2, то, если разрешены самопересечения, ее можно значить нужноить. Именно:

Теорема 3. Ленту Мёбиуса с самопересечениями можно склеить из полоски любой длины, больше λ/2.

Делается это так. Возьмем достаточно большое нечетное n и построим

Правильный $n$ -угольник, вписанный в окружность диаметра 1. Расстояние, далее, $n$ содержащих центр окружности треугольников, каждой из которых ограничен стороной и двумя диагонали $n$ -угольника (рис. 16; здесь $n=7$ ). Эти треугольники покрывают наш $n$ -угольник, неокторые его места — по нескольку раз. Приложим теперь эти $n$ -угольников друг к другу так, как показано на рисунке 17, после чего отрезем по длиной медиане половину самоголевого треугольника и приложим ее к самому правому треугольнику (рис. 17). Получится прямогольная полоска с отношением длины к ширине, большим $\pi/2$ и стремящимся к $\pi/2$ при $n$ , стремящимся к $\infty$ (ширина полоски стремится к 1, а длина — к $\pi/2$ ). Если последовательно перегнуть эту полоску по всем проведенным на ней линям, через направления сгиба (рис. 18), то треугольники расположятся как на рисунке 16 (возьмите еще раз нижцы и бумагу и проделяйте это). Отрезки $AB$ и $CD$ при этом почти совместятся — между ними оказывается только несколько слоев сложенной бумаги. При этом «почти совмещения» точка $A$ совместится с $D$ , а точка $B$ — с $C$ , так что если мы смогли «пропустить ленту сквозь себя» и склить $|AB|$ с $|CD|$ , то получилась лента Мёбиуса. Если ленту взять чуть более длинной, можно избежать складок, подобно тому как мы это сделали.

Ли в доказательстве теоремы 2. Что получится, я попробовал изобразить на рисунке 19.

У праваннее 3. Нарисуйте для ленты Мёбиуса, изображенной на рисунке 19, диаграмму плоских точек и прямолинейных образующих.

Таким образом, если бы мы захотели (для лент без самопересечений) доказать, что $\lambda \geq \mu$ , где $\mu > \sqrt{3}$ , нам пришлось бы в доказательстве обязательно учитывать отсутствие самопересечений. Начиные или отсутствие самопересечений у той или иной фигуры в трехмерном пространстве — это задача «трехмерной геометрии расположения». Все опыт математики показывают, что задачи о расположении в трехмерном пространстве очень трудны. Ведь эта геометрия включает в себя, скажем, теорию узлов и зацепленей, известную свойства неприступностью («Квант», 1975, № 7, с. 6); в ней возникны такие феномены как «рогатая сфера Алексадера» («Квант», 1977, № 7, с. 22); простейшие ее вопросы, например, можно ли через маленькую дырку вывернуть наизнанку тор, ставят в тупик нашу интуицию. И вот что удивительное. Kazалось бы, в пространстве размерности большее трех проблем расположения должны еще более остро. Но нет: с ростом размерности эти трудности сглаживаются. Впрочем, «сглаживание» начинается с размерности 5; четырехмерное пространство в из-

Рис. 18.

вестном смысле не проще трехмерного. К сожалению, здесь не могу аргументировать только что сказанное, так что прошу поверить мне на слово.

Но вернемся к ленте Мёбиуса. Теорема 1, как мы видели, в действительности относится к самопересекающимся лентам. Маловерятно, чтобы условие отсутствия самопересечения не возникла в трехмерном пространстве. Например, в полне верятно, что теорема 2 не улушаем. Ведь улушить ее — значит придумать новую конструкцию ленты. Опыт показывает, что оптимальные конструкции былиют простыми и гармоничными, каковой и является конструкция из доказательства теоремы 2. Естественно предположить, что если бы лучшая конструкция существовала, она была бы найдена — за столко лет!

Вот почему можно ожидать, что $\lambda = \sqrt{3}$ .

Заключение: об одной аналогичной задаче

Склеем из бумажной полоски не ленту Мёбиуса, а цилиндр (размеры полоски — любые). Можно ли, не сминая бумаги, вывернуть цилиндр на

изнанку? Если цилиндр шириок и низок, то, конечно, можно, а если он узок и высок — то нельзя. Обозначим через σ такое число, что если отношение длины полоски к ширине больше σ, то цилиндр вывернуть можно, а если меньше — то нельзя. Доказательства трех следующих теорем (более трудных, чем теоремы 1, 2, 3) я оставляю вам в качестве задачи:

Теорема 1’. $\sigma \geq \pi$ .

Теорема 2’. $\sigma \leq \pi + 2$ .

Теорема 3’. Предположим, что в процессе выворчивания допускается самопересечения. Тогда любой цилиндр, сделанный из полоски, у которой относение длины к ширине больше π, можно вывернуть наизнанку (не сминая бумаги).

Большое число об этом не известно.

В заключение я хочу сказать, что мыслить написать эту статью возникла у меня при чтении статьи Б. Гальперина и К. Уивера в журнале «Transactions of the American Mathematical Society» (1977, т. 230), из которой я узнал о современном положении дел с обсуждавшимся проблемами.