КПД тепловых и холодильных машин

50

КПД тепловых и холодильных машин

Что такое коэффициент полезного действия тепловой и холодильной машин? Может ли он быть больше 100%? Постараемся ответить на эти вопросы.

Для работы любой тепловой машины необходимо по крайней мере два тепловых резервуара с разными температурами. Получая теплототок более горячего резервуара (нагреватель), рабочое тепло машина совершает работу, но при этом часть тепла отделяется более холодному резервуару (холодильнику).

Коэффициент полезного действия η тепловой машины равен отношению работы A, совершенной машиной, к количеству теплоты Qₙ, полученную его нагреватель:

$$\eta = \frac{A}{Q_н}.$$

Согласно первому закону термодинамики,

$$A = Q - \Delta U = (Q_н - Q_x) - \Delta U.$$

Здесь Qₓ — количество теплоты, отделенное холодильником для тепловых машин служит окружающей среда), а ΔU — изменение внутренней энергии рабочого тела. Поскольку все тепловые машины работают по замкнутому циклу — обратному циклу Карно (терверзь цикл обходится проти в часовой стрелки; см. рис. 1), то

$$\varepsilon = \frac{T_x}{T_н - T_x}.$$

Из этой формулы видно, что ε может быть меньше, больше или равен 100%. Действительно, возможность построить холодильную машину, у которой разность температур нагрева

*) Подробнее об этом можно прочитать, например, в статье С. Шамша и Э. Эвенчик «Цикл Карно» («Квант», 1977, № 1).

51

теля и холодильника будет больше, меньше или равна температуре холодильника.

Тот факт, что е может быть больше 100%, иногда вызывает вопрос — не нарушается ли при этом закон сохранения энергии? На самом деле никакого противоречи с законом сохранения энергии нет. Тепло, отбранное у охлаждаемого тела, и энергия, затраченная на совершение работы извне, вовсе не переходят друг в друга, а отдаются нагреванию (обычно у холодильных машин им является окружаюшая среда).

Разберем несколько конкретных задач.

Задача 1. Тепловая машина, рабочим телом коморошя является 1 моль идеального одноатомного газа, совершаем цикл, изображенный на рисунке 2. Наимен КПД этой машины.

Коэффициент полезного действия тепловой машины равен

$$\eta = \frac{A}{Q_H}.$$

Работа $A$ за цикл численного равна площади цикла, изображенного в координатах $p$, $V$ (см. рис. 2):

$$A = \frac{1}{2} p_0 V_0^2.$$

Выясним, на каких участках цикла газ получает тепло, а на каких отдает его. Запишем первый закон термодинамики для любого участка:

$$Q_i = \Delta U_i + A_i.$$

Один mole идеального одноатомного газа обладает внутренней энергией

$$U = \frac{3}{2} RT,$$

откуда

$$\Delta U_i = \frac{3}{2} R \Delta T_i$$

изменение внутренней энергии на каждом участке определяется изменением температуры. Работа $A_i$ численно равна площади под соответствующим участком цикла.

С помощью уравнения состояния идеального газа $pV = RT$ найдем температуры газа в точках 1, 2, 3:

$$T_1 = \frac{p_0 V_0}{R}, \quad T_2 = \frac{2 p_0 \cdot 2 V_0}{R} = 4 T_1,$$

$$T_3 = \frac{p_0 \cdot 2 V_0}{R} = 2 T_1.$$

На участке 1—2 температура газа увеличивается ($\Delta T_{12} > 0$), и газ совершает положительное работу (газ расширяется); следовательно, на этом участке газ получает тепло. На участках 2—3 и 3—1 температура газа убивает, на участке 2—3 работа вообще не совершается, а на участке 3—1 она отрицательна (газ скимают, совершая работу извне) — значит, на этих участках газ тепла не получает.

Итак, газ получает тепло только на участке 1—2:

$$Q_H = Q_{12} = \Delta U_{12} + A_{12} = \frac{9}{2} p_0 V_0 + \frac{3}{2} p_0 V_0 = 6 p_0 V_0.$$

Тогда окончательно

$$\eta = \frac{A}{Q_H} = \frac{1/2 p_0 V_0}{6 p_0 V_0} = \frac{1}{12} \approx 8^{0.0}.$$

Задача 2. Идеальная холодильная машина имеет в качестве холодильника резервуар с водой при $0^\circ C$, а в качестве нарезавателя — резервуар с кипящей водой. Какую работу надо совершить, чтобы превращать в нарезаватель превращаться при этом в пар? Удельная теплота лвда $\lambda = 340$ кДж/кг,

52

Рис. 3.

удельная теплота парообразования воды $L = 2260$ кДж/кг.

Идеальная холодильная машина работает по обратному циклу Карно, ее холодильный коэффициент

$$\varepsilon = \frac{T_X}{T_H - T_X} = \frac{273 \text{ K}}{100 \text{ K}} = 2,73.$$

При замерзании 1 кг воды выделяется количество теплоты

$$Q_X = \lambda m = 340 \text{ кДж}.$$

Совершенная при этом работа

$$A = \frac{Q_X}{\varepsilon} \approx 125 \text{ кДж}.$$

Нагреватель получит количество теплоты

$$Q_H = Q_X + A \approx 465 \text{ кДж},$$

следовательно, в пар превращится масло.

$$m_1 = \frac{Q_H}{L} \approx 0,2 \text{ кг}.$$

Задача 3. В середине прошло века ангелиский физик Томсон предложил идею как называемого динамического отопления. Топка, в котором сжигается моливо, служит нарезателем тепловой машины, холодильником для этой машины сжигим вода в отопительной системе. За счет получения работы приведимся в действие холодильная машина. Для холодильной машины вода в отопительной системе сжигим нарезателем, а холодным резервиером, от коморою отбирается мелло, сжигим эрунтовая вода. Считая, что обе машины работают по идеальным циклам, и пребрегая померями, определяете, сколько моля получит вода в отопительной системе при сжIZАНИ 1 кг молива. Удельная теплота сгорания молива $q$, температура в монке тепловой машины $t_1 = 200^\circ\text{C}$, температура воды в отопительной системе $t_2 = 60^\circ\text{C}$, температура эрунтовой воды $t_3 = 10^\circ\text{C}$.

Для того чтобы яснее представить себе идею Томсона, нарисуем схему динамического отопления (рис. 3).

Тепер проводим необходимые расчеты.

Машины — идеальные, то есть работаот они по циклу Карно. Следовательно, КПД тепловой машины

$$\eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} = \frac{140 \text{ K}}{473 \text{ K}} \approx 0,3,$$

холодильный коэффициент

$$\varepsilon = \frac{T_3}{T_2 - T_3} = \frac{283 \text{ K}}{50 \text{ K}} \approx 5,7.$$

При скигании 1 кг топлива в топке выделяется энергия $Q_H = q$. Работа, которое совершает при этом тепловой машины, равна

$$A = \eta Q_H = \eta q,$$

а коэффициент теплоты, переданное в отопительной системе, равно

$$Q_1 = q - A = (1 - \eta) q.$$

Холодильная машина отбирает у грунтовой воды коэффициент теплоты

$$Q_X = \varepsilon A = \varepsilon \eta q.$$

Вода в отопительной системе получает при этом коэффициент теплоты

$$Q_2 = Q_X + A = \eta (1 + \varepsilon) q.$$

В общей сложности вода в отопительной системе получает коэффициент теплоты

$$Q = Q_1 + Q_2 = (1 + \varepsilon \eta) q \approx 2,7q.$$

Таким образом, система динамического отопления позволяет в принципе (если пребрегает потерями) передавать воду в отопительной системе коэффициент теплоты больше, чем выделяется в топке при сгорании топлива! Не нарушается ли здесь первое начало термодинамики? Ником образом: «лишнее» теплота отбирается у грунтовой воды. Действительно, у грунтовой воды отбирается теплота

$$Q_X = \varepsilon A = \varepsilon \eta q,$$

— как раззначена между $Q$ и $q$.

(Окончание см. на с. 54)