Московский инженерно-физический институт

53

Московский инженерно-физический институт

Ниже приведятся варианты письменногоступительного экзамена по математике и задачи устного экзамена по физике 1978 года.

Математика

Вариант 1

1. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли (по массе) составляла p%?
2. Основанием параметры SABCD является прямогольник ABCD, (AB) || (CD), (BC) || (AD), |AB|=3, |BC|=4. Все боковые ребра параметры составляют с плоскостью основания равные углы. Определите величины угла между прямыми (BS) и (CS), если радиус сферы, описанной околой параметры, равен 6,5.
3. Найди площадь фигуры, ограниченной прямой y=-8x-46 и параболой y=4x²+ax+2, если известно, что касательная к параболе в точке x=-5 составляет с осью Ox угол л—агстg 20.
4. Решите уравнение
   $$\cos 5x \mathrm{tg} 6 |x| + \sin 5x = 0.$$

Вариант 2

1. Найди сумму всех трехначных натуральных чисел, которые при делении на 3 дают остаток, равный 2.
2. В основании параметры SABC лежит равноведенный треугольник ABC
   $$|AB|=|AC|=a, \quad ABC=\varphi.$$ Прямая (AS) составляет с плоскостью основания параметры угол величины α, плоскость боковой грани (BSC) составляет с той же плоскостью угол величины β и SAC=SAB. Найди объем параметры KSLC, если известно, что точки K и L принадлежат ребрам [AS] и [BS] соответственно, а площадь треугольника KSL относится к площади треугольника ABS как 4:25.
3. Решите систему уравнений
   $$\begin{cases} \log \frac{1}{3}(x+y) + \log_3(x-y) = 2, \\ 2^{y^2} = 512^{x+1}. \end{cases}$$

Рис. 1.

Рис. 2.

54

Физика

1. Доска массой $M=500$ г плавает на воде. На одном конце dockи в точке $A$ сидит лягушка. С какой наименшей скорость она должна прыгнуть, чтобы попасть в точку $B$ на dockе, отстоящую на $l=25$ см от точки $A$? Масса лягушки $m=150$ г. Треннем между dockой и водой пренебречь.

2. В цилиндре с площадью сечения $S=5,0$ см$^2$ под поршнем массы $M=1,0$ кг находится неокоторий газ. При увеличении абсолотной температуры газа в $n=1,5$ раза поршень поднимается вверх и упирается в уступы (рис. 1). При этом объем газа по сравнению с первоначальным увеличивается в $k=1,2$ раза. Определить силу, с которой поршень давит на уступы. Атмосферное давление $p_0=100$ кПа.

3. Неподвижные точные заряды $q_1=3 \cdot 10^{-6}$ Кл и $q_2=5 \cdot 10^{-6}$ Кл расположены в соседних вершинах квадрата со стороны $a=0,9$ м (рис. 2). Найти работу, которую совершат электрические силы над заряду.

Зарядом $q=10^{-8}$ Кл при перемещении его из вершины $C$ в вершину $D$.

4. Длинный соленод, содержащий $N=200$ витков площадью $S=1,6$ см$^2$, подключают к батарее с ЭДС $\theta=0,8$ В (рис. 3). Сопротивление обмотки соленода и внутреннее сопротивление батареи пребрежимо малы. На соленод над его проводящее колюцо сопротивлением $R=0,6$ Ом. Найти индекцию магнитного поля в соленоде и количество теплоты, выделившееся в колюце, к моменту времени $\tau=0,06$ с после подключения батареи.

5. Параллельный световой пучок падает нормально на грань стеклянной бипризмы ($n=1,5$) с малым преломляющим углом $\alpha=10^{-2}$ рад (рис. 4). За бипризмой расположена тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $F=100$ см. Найти расстояние $x$ между точками схождения лучей в фокальной плоскости линзы. Считать $tg\alpha\approx sin\alpha\approx\alpha$.

А. Александров, А. Забоев, Н. Шолохов

КПД тепловых и холодильных машин

(Окончание. Начало см. на c. 50)

Рис. 4.

Уражнения

1. Тепловая машина, рабочим телом в которой является 1 моль идеального газа, совершает цикл, изображенный на рисунке 3. Найти КПД этой машины.

2. Решите предыдущую задачу для цикла, изображенного на рисунке 4.

Рис. 5.

3. Сколько стоит приготовление 1 кг льда в домашнем холодильнике, если считать, что он работает по идеальном циклу? Комнатная температура $23^{\circ}C$, температура фреона равна $-10^{\circ}C$, 1 кВт-ч электроэнергии стоит 4 коп.