Решения задач М494, М496—М499; Ф508—Ф511

30

Решения задач
M494, M496—M499; Ф508—Ф511

M494. Внутри квадрата со стороны 1 расположено $n^2$ точек. Доказите, что существует ломаная, содержащая эти точки, длина которого меньше a) 3n; б) 2n.

Идея построения ломаной ясна из рисунка 1: мы делим квадрат на $n$ вертикальных полосок и затем обсудим все точки «змейкой»: первый слева полосу проходим сверху видз, следующую — снизу вверх и т. д. Сумма длины звенев ломаной не больше суммы длины их проекций на вертикальную и горизонтальную стороны квадрата. Сумма вертикальных проекций, как легко видеть, не превыходит $n$, а сумму горизонтальных проекций можно оценить так. Горизонтальная проекция звена, не пересекающего границ полосок, не превыходит $1/n$, а проекция звена, пересекающего $k$ вертикальных отрезков границ полосок, не превыходит $(k+1)/n = k/n+1/n$. Общее число вертикальных границ полосок равно $n-1$, поэтому сумма всех $n^2-1$ горизонтальных проекций не больше

$(n^2-1)/n+(n-1)/n=n+1-2/n \leq n+1$.

Таким образом, для длины ломаной мы получаем оценку $2n+1$.

Рис. 1. Рис. 2. Рис. 3.

Задча a) решения, а чтобы доказать 6), надо улучить оценку на 1.

Для этого следует изменить нашу конструкцию. Разделим квадрат на $n$ полос разной ширины $(h_1, h_2, \dots, h_n)$ так, чтобы в каждой полосе былоровно по $n$ точек («граничные» точки можно относить и влево, и вправо). Соединним все верхние точки полос и все нижние точки отрезками попеременно красного и синого цветов (рис. 2). Мы можем выбрать начало ломаной-змейки так, чтобы она прошла либо по всем синим отрезкам, либо по всем красным. Сумма горизонтальных проекций $2(n-1)$ красных и синих отрезков ломаной вместе не больше 2; если мы выберем тот цвет, для которого эта сумма меньше 1, то получим для суммы всех горизонтальных проекций оценку

$(n-1)(h_1+h_2+\dots+h_n)+1 \leq n$.

Сумма вертикальных проекций, как и предшеDE, не больше $n$.

Итак, мы построили ломаную длины не больше $2n$, — решили 6).

Пример «плотного» расположения точек в вершинах треугольной решетки (рис. 3; при большом $n$, чтобы уменьшить в квадрате $1 \times 1$ $n^2$ точек, нужно взять длину стороны треугольника равнойprimерно $\sqrt{2/\sqrt{3}}/n$) показывает, что константу $2$ в условиях задания заведом неЛЬЗ (далее для больших $n$) заменить числом, меньшим $\sqrt{2/\sqrt{3}}$.

H. Васильев, A. Тармаковский

31

М496. Каких шестиначных чисел больше: представимых в виде произведения двух трехначных чисел или не представимых?

Трехначных чисел (от 100 до 999) существуют всего 900. Следовательно, пар (не обязательно различных) трехначных чисел существуют всего $\frac{900 \cdot 899}{2} + 900 = \frac{900 \cdot 901}{2} = 405450$.

Поэтому шестиначных чисел, представимых в виде произведения двух трехначных, заведено не больше этого количества. А всего шестиначных чисел 900 000. Значит, больше половины из них не представимы в виде произведения двух трехначных.

Н. Васильев

M497. На сторонах BC, CA и AB остроуольного треугольника ABC взяты произвольные точки A₁, B₁, C₁; на отрезках AA₁, BB₁ и CC₁ как на диаметрах построены окружности. Доказите, что три общие хорды пар этих окружностей пересечаются в точке пересечения высот треугольника ABC.

Решение этой задачи использует следующую хоршую теорему:

Если три окружности попарно пересекаются, то при общие хорды каждой пар окружностей (или их продолжения) проходят через одну точку или паралельны (рис. 4).

Сначала мы решим задачу, а затем даим набросок доказательства теоремы.

Построим на отрезках AB, AA₁ и BB₁ как на диаметрах окружности OₑB, OₑA₁ и OₑB₁ соответственно. Общей хордой окружностей OₑB и OₑA₁ являются, очевидно, высота AHₐ треугольника ABC (поскольку $\widehat{AH}_A B = \widehat{AH}_A A_1 = 90^\circ$; рис. 5). Точно так же общей хордой окружностей OₑB и BHₐ треугольника ABC.

Аналогично доказывается, что общие хорды двух других пар окружностей: OₑA₁ и OₑC₁, OₑC₁ и OₑB₁ проходят через точку пересечения высот треугольника ABC. Задача решения.

Осталось доказать теорему.

Построим на данных окружностей (лежащих в горизонтальной плоскости) три сферы с центрами в плоскости окружностей и посмотрим на них сверху. Мы увидим три окружности, по которым пересекаются сферы (их проекции на горизонтальной плоскость — наши три хорды), и точку их пересечения (ее проекция — нужная точка пересечения хорд).

В. Гутемахер

M498. Для каждого натурального n ≥ 3 указывает наименьшее k такое, что любые n точек плоскости, никакие три из которых не лежат на данной прямой, можно разделить k прямыми.

Многие из приславших нам решение этой задачи вспомнили такой факт (его нетрудно доказать с помощью индукции):

k прямых разбивают плоскость не более, чем на $\frac{k(k+1)}{2} + 1$ частей (для k прямых общего положения будетровно $\frac{k(k+1)}{2} + 1$).

33

Ф508. Перiod обращения Меркурия вокруг Солнца составляет 88 земных суток, а вокруг свеей оси — 59 земных суток. Какова продолжительность дня и ночи на Меркурии?

Обозначим продолжительность суток на Меркурии через $x$ (земных суток). За один земные сутки Меркурий повернется вокруг свеей оси на угол $\frac{360^\circ}{59}$ и сместится по свеей орбите (в ту же сторону) на угол $\frac{360^\circ}{88}$. Разность $\frac{360^\circ}{59} - \frac{360^\circ}{88}$ представляется собой угол, на котором Меркурий в течение один земных суток повернется по отношению к Солнцу:

$$\frac{360^\circ}{59} - \frac{360^\circ}{88} = \frac{360^\circ}{x}.$$

Отсюда

$$x \approx 179$$

— сутки на Меркурии приблизительно равны двум меркурианским годам.

Следовательно, меркурианские день и hour приблизительно равны по продолжительности его году.

E. Левитан

Ф509. В окане имеет течение, захватывающее лишь верхий слой воды. По течению плывет плот со звукоулавывающей annapагурой. На дне, впереди по течению, расположен неодвижный источник звука. Наблюдатель на плот обнаржился, что звук достигает плота в направлении, составляющим угол $\beta$ с вертикально. Какой угол с вертикально составляется истинное направление на источник звука? Скорость течения $u$, скорость звука в воде $v$. Толщина двихущевая слоя много меньше ельбины океана.

Рис. 8.

Рис. 9.

На границе $AB$ движущегося слоя звук каким-то образом изменяет свое направление — преломляется (рис. 8). Звук достигает плота $P$ под углом $\beta$, равным углу преломления. Поскольку слой тонкий, можно принять интерсуцией нас угол $CPS$ равным углу падения $\alpha$. Таким образом, задача свыводу закона преломления звуковой волны на границе неодвижной и двихущевая сред.

Пусть $CO$ — направление распространения звука в неодвижной среде и $KO$ — положение волновой поверхности (волнового фронта) в некоторый момент $t$ (рис. 9). Спустя промежуток времени $\Delta t$ волновой фронт займет положение $K'O'$. Подобным же образом обозначим через $OD$ направление распространения звука в верхем слое воды (с точки зрения наблюдается на плоту), а через $OL$ и $O'L'$ — положения фронта волны в моменты $t$ и $t + \Delta t$.

За время $\Delta t$ фронт волны $KO$ перемещается на расстояние $|MO'| = |v| \Delta t (MO' \perp KO)$, а точка пересечения фронта с поверхности разделена сред перемещается на расстояние $|OO'| = \frac{|v| \Delta t}{\sin \alpha}$. Аналогично, перемещение точки перемещения волнового фронта $OL$ с гранией раздела относительно наблюдаемого падения волны ($\alpha \rightarrow \pi/2$, $\sin \alpha \rightarrow 1$) угол преломления не превозходит значения

$$\beta \rightarrow \arcsin \frac{1}{1 + |u|/|v|}$$

Оказывается, тот же закон преломления справедлив и тогда, когда плот уже пропыллел над источником звука. Правда, в этом случае угол преломления $\beta$ больше угла падения $\alpha$, следовательно, преломление возможно лишь при углах па-

34

Деняя

$$\alpha < \alpha_{\text{np}} = \arcsin \frac{1}{1 + |\vec{u}| / |\vec{v}|}.$$

При больших углах проискот полное отражение звука от движущегося слоя.

Г. Комкин

Ф510. На резиновый шар натянута прочная резиновая сетка, нитки которой удут по меридианам шара. Какую форму примет шар, если повисить в нем давление?

Рассмотрим одну из нитей и выберем на ней малый участок длины $l$ (рис. 10). Обозначим силу натяжения нитки через $\vec{T}$. Равнодейстуюшая $\vec{Q}$ сил натяжения, действующих на выбранный участок, равна по абсолотной величины $2|\vec{T}| \sin \frac{\alpha}{2}$.

При $l \ll R$ ($R$ — радиус кривизны нитки в данном месте) $\alpha = \frac{l}{R} \ll 1$, поэтому можно считать, что

$$\sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha}{2}, \quad |\vec{Q}| = \frac{l}{R} |\vec{T}|.$$

Так как выделенный участок нитки находится в равновесии, сумма всех действующих на него силы равна нулю. Это означает, что со стороны шара на нить действует сила

$$\vec{F} = -\vec{Q}.$$

По третьему закону Ньютона на шар со стороны нитки действует сила

$$-\vec{F} = -(-\vec{Q}) = \vec{Q},$$

направленная к центру шара.

Через любую параллель шара проходит одно и то же число нитей $N$. Для параллель радиуса $r = R \cos \varphi$ ($\varphi$ — угол, образованный радиусом шара, проведенным к параллели, с плоскостью экватора) равна $2\pi r = 2\pi R \cos \varphi$. Следовательно, через участок оболочки шара площадью $l \times l$ проходит число нитей

$$n = \frac{N}{2\pi R \cos \varphi} l.$$

Тогда давление, оказываемое на оболочку, равно

$$p = n \frac{|\vec{Q}|}{l^2} = \frac{N |\vec{T}|}{2\pi R^2 \cos \varphi}.$$

Если бы оболочка шара осталась сферической, давление с увеличением угла $\varphi$ возрастало бы. На самом деле согласно закону Паскаля давление взделено бы одним и тем же. Значит, оболочка шара — не сферическая. Она шпре по экватору, чем по вертикальном диаметру; радиус кривизны меридиана уменьшается к экватору и увеличивается к полюсу так, что $R^2 \cos \varphi = \text{const}$.

Форма оболочки напоминает собой тыкву (рис. 11). Можно быть, форма тыквы как раз и объясняется наличием «подкрепляющих нитей», и душих по ее меридианам?

Ф511. Пластины плоского конденсатора площадью $S$ образуют малый угол $\alpha$ ($\alpha \ll 1$) друг с друга с другой. Среднее расстояние между пластнами равно $b$. Нарисовать примерную картину плоских линей электронности поля конденсатора и найти емкость конденсатора.

Примерная картина сливых линей электронности окружностей с центром в точке $O$. Действительно, сливые линии всегда перpendикулярны к поверхности проводника, значит, они перpendикулярны к пластинам конденсатора. Из сообщений симметрины оченьindo, что они перpendикулярны и к биссектрисе угла, образованного пластинами. Если бы на месте биссектрисы оказалась тонкая металлическая пластина, картина сливых линей никак не изменилась. Рассуждая аналогично, мы придем к выводу, что сливые линии должны

35

быть перпендикулярны к любому лучу, выходящему из точки $O$ и нахождение внутри угла $\alpha$. Это и означает, что сильные линии представляют собой дуги концентрических окружностей.

Густота силовых линей не всегда одна и та же, она уменьшается вдоль оси $X$. Это объяснить нетрудно. Как известно, густота силовых линей пропорциональна напряжению электрического поля. Найдем, как изменяется напряжение по мере увеличения координаты $x$ (начало координат нахождения в точке $B$). Работа по перемещению единичного заряда с одной пластиной конденсатора на другую вдоль линия юго ой сильной линей должна быть одной и той же (эта работа равна разности потенциальных между пластинами). Следовательно, чем длиннее силовая линя, тем меньше напряжение (сила, действующая на единичный заряд). С учетом малости угла $\alpha$ получим

$$|\vec{E}| = |\vec{E}_0| \frac{b}{b + \alpha x},$$

где $\vec{E}_0$ — напряжение на силовой линей $AB$ (там, где расстояние между пластинами конденсатора равно $b$), $\vec{E}$ — напряжение на соседней силовой линей, отстоящий от $AB$ на $x$, $b$ и $b + x$ — длины соответствующих силовых линей.

Так же изменяется и густота силовых линей.

Теперь найдем емкость $C$ конденсатора. По определению

$$C = \frac{q}{U},$$

где $q$ — заряд и $U$ — напряжение конденсатора. $U$ можно выразить через $|\vec{E}_0|$:

$$U = |\vec{E}_0| b.$$

Осталось выразить $q$.

Вблизи пластины электрическое поле аналогично полю плоскости; следовательно, его напряжение

$$|\vec{E}| = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0},$$

где $\sigma$ — поверхностная плотность заряда, $\varepsilon_0$ — электрическая постоянная. Отсюда

$$\sigma = 2\varepsilon_0 |\vec{E}| = \frac{2\varepsilon_0 |\vec{E}_0| b}{b + \alpha x}.$$

Обозначим через $l$ «глубину» пластины и выделим на пластине узкую полоску шириной $\Delta x$. Ее заряд равен

$$\Delta q = \sigma l \Delta x = \frac{2\varepsilon_0 |\vec{E}_0| b l}{b + \alpha x} \Delta x.$$

Чтобы найти весь заряд пластины, надо просуммировать заряды всех элементарных полосок и перейти к предлу при $\Delta x \rightarrow 0$. В результате получим

$$q = 2\varepsilon_0 b l |\vec{E}_0| \int_{-a}^{a} \frac{dx}{b + \alpha x} = \frac{2\varepsilon_0 b l |\vec{E}_0|}{\alpha} \ln \frac{b + \alpha a}{b - \alpha a}.$$

Тогда окончательно

$$C = \frac{q}{U} = \frac{2\varepsilon_0 l}{\alpha} \ln \frac{b + \alpha a}{b - \alpha a}.$$

И. Словодецкий