Задачи наших читателей

44

Думаю, что наличие опорных прямы у плоских выпukлых фигур (аналгично — опорных плоскостей у выпukлых тел), хотя и является очень важным свойством, вред ли кого удивит: оно довольно очень. Следующий факт города более удивительен.

Теорема. Если на плоскости задано несколько выпukлых фигур, каждые три из которых имеют общую точку, то найдется точка, принадлежая одновременно всем этим точкам.

Требование выпukлости фигур существует. Действительно, взгляните на рисунок 5: из четырех фигур, изображенных на ней, невыпukла лишь одна; однако, хотя у любых трех фигур есть общая точка, точки, принадлежащей одновременно всем четыREM фигурам, нет.

А если на плоскости задано несколько выпukлых фигур, таких что любые две из них имеют общую точку? Обязательно ли найдется точка, общая для всех этих фигур? Показите самостояльно, что такой точки может и не быть.

Вы обратили внимание, что мы все время подчеркивали то, что расматриваемые фигуры — плоские? И это неспроста, потому что существует четыре выпukлых тела в пространстве, каждые три из которых имеют общую точку, но нет точки, общей всем четыREM телам, например, четыре грани треугольной парамиды, изображенной на рисунке 6. Значит, в пространстве подобная теорема уже не имеет места? Оказывается, чтобы она осталась верной и в пространстве, ее достагоно лишь немного «подправить». А именно:

Теорема’. Если в пространстве задано несколько выпukлых тел, каждые четыре из которых имеют общую точку, то найдется точка, принадлежая одновременно всем этим точкам.

Теорема, о которой мы только что расскажали, была открыта не так давно — в начале 20-х годов нашей столетия авторским математиком Э. Хелли и носит его имя (Хелли формулировал ее для выпukлых тел, расположенных в п-мерном пространстве). Теорему Хелли можно рассмотреть и для выпukлых множество, лежащих на прямой (на прямой выпukлыми множество является отдельные отрезки, лучи, а также все прямая и пустое множество). На прямой теорема Хелли звучит так:

Теорема’. Если на прямой задано несколько выпukлых множество, каждые два из которых имеют общую точку, то найдется точка, принадлежая одновременно всем этим точкам.

Попробуйте доказать эту теорему самостояльно.

Если вас занитесовали выпukлые фигуры, прочитите книгу И. М. Яглома и В. Г. Болтянского, которая так и называется: «Выпukлые фигуры».

Задачи наших читателей

1. Батарейка и лампока карманного фонаря вместе с соединительными проводами образуют цепь. Длина проводов в цепи (от «+» до «—» батарей) $l=10$ м. Провод медный, его поперечное сечение $S=1$ мм². В цепи идет ток $I=0,15$ А, на которых расчитана лампока. За какое время под действием электрического поля электрон добавется от «—» до «+» батарей? (Считать, что число свободных электронов в медном проводе равно числу atomов меди.)
   А. Дозоров (г. Ярославль)

2. Лист бумаги, имеющий форму флажка, разрежьте на четыре части так,

чтобы из них можно было склеить выкройку куба.
Я. Темрацев (Астраханская обл.)