42
А. Савин
Кое-что
о выпуклости
Изучая геометрию в школе, вы встречете с разными плосками и пространственными фигурами. Так, вы уже знаете, что такое треугольник, квадрат, окружность, куб, пирамида, шар, конус, цилиндр. Конечно, этот перечень далеко не исчерпывait всего разнообразия форм, существующих в природе. Отромное количество замысловатых и приудливых форм способно создать и человекачесное воображение. Естественно, что лишь немного из этих форм имеют названия. Да и нужно ли все их назвать?
Когда садовод сокрушается: «Проклятие птицы склевали у меня все вшни!» — ему безразлично, какие именно птицы это сделали —воробьи, друзы или попуган. Он говорит о существах, которые летают, садятся на ветки деревьев и не прочь полакомиться сочными вшнями. Знаете ли вы, что существует 8616 различных видов птиц? Можно ли запомнить все их названия? Конечно, нет. Зоологически всех птиц на 40 отрядов: голуби, чайки, воробьные и т. д., обвединив в один отряд птиц, обладающих похожими свойствами. И если вы будете знать эти сорок отрядов, а также два-тиредесятка названный птиц, обитающих в вашей местности, то знакомство с птицами можно уже считать состоявшимся.
Так и в геометрии: вы знакомите с наиболее часто встречающимся фигурами. А можно ли выделить какие-нибудь интересные совокупности — «отряды» фигур? Да, и это одна из целей геометрии. Свойство, которое объединяет фигуры в тот «отряд», о котором мы хотим расскаазать, называется «выпуклостью».
Слово выпуклый не является для вас новым. Однако попробyte дать этому понятию четкое определение и вы увидите, что это сделать не так уж просто. Посмотрим, как это по-
43
натие определяется в «Словаре русского языка» С. И. Ожегова. Читаем: «Выпуклы — имеющий дугообразную поверхность, образенную наружу». А что значит дугообразную? Читаем: «Дугообразный — имеющий форму дуги». Что же такое дуга? «Дуга — часть окружности, круга, или кругой кривой линии». Тут уже нашей терпение лопается: во-первых, кривыые линии могут быть самыми разнообразными, а во-вторых, круг — не линия. Исходя из этого определения выпуклости, можно ли что-нибудь утверждать о выпуклости (или невеликий), например, куба? По-моему, нельзя. Так что такое «определение» никак не может устроить математика.
В математике понятие выпуклый имеет четко определенный смысл. Множество мочек называется выпуклым, если вместе с любыми двумя его точки A, B этом многоеству принадлежит и весь отрезок [AB].
Тепер довольно оченьindo, что куб — выпуклое тело. А вот фигура на рисунке 1 не выпукла. Нетрудно понять, что любой треугольник является выпуклой фигурой. А четырехугольники могут быть как выпуклыми, так и невелики (рис. 2).
Ну, а можно ли про выпуклы множество что-нибудь до ка за ть? Можно. Например, доказите (это совсем просто), что пересечение двух или несколько выпуклых множеств снова является выпуклым множеством (пустое множество также будем считать выпуклым). Большое трудно доказать такое утверждение: через любую мочу границы выпуклой фигуры на плоскости можно проверить прямую мак, чтобы вся фигура лежала по одному сторону от этой прямой. Такая прямая изображена на рисунке 3; она называется опорной прямой. Если граничная точка является «угловой», как на рисунке 4, через нее можно проверить несколько опорных прямых. Доказите самостояльно, что если некоторая плоская фигура имеет опорную прямую в каждой граничной точке, то эта фигура является выпуклой. Таким образом, сформированное утверждение можно принять за определение выпуклой фигуры.