Однополостный гиперболоид

26

Однополостный гиперболид

На первой странице обложки вы видите бумажную модель однополостного гиперболида. Так называется поверхность, задаваемая в пространстве уравнения

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1.$$

У гиперболида на обложке параметры $a$ и $b$ совпадает ($a = b$), и он является телом вращения с осью $Oz$ (обосновайте это). Проще всего изготовить модель однополостного гиперболида вращения следующим образом. Возьмем два колеса одинакового диаметра с равномерно расположенными вдоль обода поверхностими. Посадим колеса на обшую ось и продемен в поверхности тонкие резинки параллельно оси (см. рис. 1). Если теперь закрепить эти резинки в отверстиях, и повернуть верхнее колесо на угол $\alpha$, меняший $180^\circ$, то резинки расположатся на поверхности однополостного гиперболида. Доказите, что при повороте на угол $-\alpha$ резинки расположатся вдоль той же поверхности.

Из нашей резиновой модели видно, что на поверхности гиперболида имеются два семейства скрещивающихся прямых линий. Выведите это строю из уравнения поверхности.

Первая Московская телевушка, сконструированная архитектром Шухым, изготовлена из таких «моделей» (вместо резинок там использованы стальные тросы).

Однополостный гиперболид вращения можно получить, вращая кривую $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$ вокруг оси $Oz$. Эта кривая является гиперболой. Именно поэтому поверхность называется гиперболидом. Однополостным он называется потому, что есть еще и двухполостный, получаемый вращением гиперболы относительно оси $Ox$. Уравнение $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$ отличается от привчного вам уравнения гиперболы $xy=1$. Но это не должно вас смущать — отличие не является прициплальным. Почему это действительное так, вы поймете, прочитав в «Кванте» № 3 за 1975 год статью о гиперболе. На первой странице обложки хорошо видны и оба семейства скрещивающихся прямых и гипербола. На четвертой странице обложки даны некоторые указания о склейке бумажной модели, подобной приведенной на первой странице.