Dải Mobius. Các biến thể của một chủ đề cũ

Kvant 1979, số 1 tr. 2-9 Thẻ AMLR

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

D. Fuchs

Dải Mobinus.

Sự thay đổi về một chủ đề cũ

Bài viết này một lần nữa đưa chúng ta trở lại với một đại diện đáng chú ý của bề mặt một phía - dải Möbinus (xem thêm «Kvant»: 1974, số 3; 1975, số 7; 1978, số 5 và số 6). Nó hóa ra từ một dải giấy hẹp xoắn 180° và dán thành một chiếc nhẫn. Ở đây chúng ta thảo luận về câu hỏi dải nào phù hợp để tạo mô hình dải Möbinus.

Tôi sẽ không đề nghị bạn chạy ngón tay dọc theo dải Mobinus hoặc cắt dọc theo đường giữa. Chúng ta đang nói về những điều mang tính tiên tri, ít được biết đến hơn. Tôi sẽ bắt đầu bằng một câu hỏi:

Bạn nên sử dụng dải giấy có hình dạng như thế nào để dán dải Mobinus?

Dự kiến đáp số: Dải phải hẹp và dài, có khả năng có tỷ lệ chiều dài và chiều rộng. Hãy gấp nó lại, chúng ta sẽ không tạo dải Mobinus từ một tờ giấy hình vuông.

Điều này đúng, nhưng có một lưu ý rất dễ bị đánh giá thấp: giới hạn kích thước chỉ quan trọng nếu giấy bị cấm bị nhăn. Nếu việc vò giấy không bị cấm, thì dải Möbinus có thể được dán không chỉ từ một hình vuông mà còn từ một hình chữ nhật có kích thước bất kỳ — các cạnh được dán thậm chí có thể có góc gấp đôi chiều dài của các cạnh không được dán.

Bạn có thể làm như thế này (Hình 1). Gấp tờ giấy thẳng thành hình đàn xếp và uốn cong số lần chẵn. Sau đó, từ chiếc đàn accordion này, giống như từ một dải giấy dày, chúng tôi dán dải Möbinus, đặt các phần tương ứng của chiếc đàn vào nhau. Từ Hình 1, có thể thấy rằng tờ giấy dán dải Möbinus hóa ra đã bị nhàu nát.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng dải giấy có thể bị uốn cong nhưng không bị nhăn. Hơn nữa, chiều rộng của dải là trên một đơn vị. Rõ ràng là dải càng dài thì càng dễ dán dải Möbinus từ nó. Do đó, có bất kỳ số λ nào sao cho dải Möbinus có thể được dán từ một dải có chiều dài lớn hơn λ, nhưng không phải từ một dải có chiều dài nhỏ hơn λ (chúng ta không quan tâm đến điều gì sẽ xảy ra đối với một dải có độ dài chính xác bằng λ). Chúng tôi thực sự muốn tìm λ này.

Đáng ngạc nhiên là lời giải của bài toán này vẫn chưa được biết.

Ở đây tôi sẽ chứng minh cho λ các bất đẳng thức

$1,57...\approx \frac{\pi}{2}\leq\lambda\leq\sqrt{3}\approx1,73...$

(trong trường hợp này, chúng ta bỏ qua phần đầu của các phần được dán của dải: giả định rằng các cạnh của dải

Hình 1.

dán từ đầu đến cuối) và tôi sẽ cố gắng giải thích tại sao không thể tính λ chính xác hơn.

Một tờ giấy không nhàu nát là một “bề mặt có thể phát triển”

Vì yêu cầu không làm nhàu giấy là rất quan trọng, vậy ý nghĩa toán học của nó là gì.

Dễ hiểu là việc cấm nhăn giấy đồng nghĩa với việc hạn chế khả năng thao tác trên một tờ giấy. Ví dụ, một tờ giấy không bị nhăn có thể cuộn thành ống hoặc gấp làm đôi mà không cần gấp, nhưng không thể gấp làm bốn (Hình 2). Bạn có thể tạo một hình nón (“funtik”) từ một tờ giấy mà không làm nhàu nó, nhưng bạn không thể tạo một hình cầu hoặc thậm chí là một mảnh của nó (Hình 3): ấn tờ giấy vào quả địa cầu và các nếp gấp chắc chắn sẽ xuất hiện. Như bạn có thể thấy, một tờ giấy không thể có bất kỳ hình dạng nào.

Các nhà toán học gọi các bề mặt có thể được tạo ra từ một tờ giấy bằng cách uốn cong nó mà không làm nát, phát triển nó. (Ví dụ về các bề mặt có thể phát triển được hiển thị trong Hình 4.) Tất nhiên, trong toán học, các bề mặt có thể phát triển được định nghĩa khác nhau: trong ngôn ngữ toán học không có từ “giấy”, “vụn”, “làm”. Có cả một lý thuyết về các bề mặt đang phát triển, trong số những thành tựu của nó là câu trả lời thỏa đáng đáp số cho câu hỏi chúng là gì

Hình 5. Hình 6.

Có lẽ; các nhà toán học gọi đây là “sự phân loại” (đáp số do Leonhard Euler). Tôi sẽ không trình bày ở đây lý thuyết chung về các bề mặt có thể phát triển được: bất kỳ lý thuyết tổng quát nào cũng nhàm chán. Tôi sẽ chỉ đưa ra một số tính chất của các bề mặt có thể phát triển được cần thiết cho phần tiếp theo. Định nghĩa trực quan của chúng tôi không cho phép chúng tôi chứng minh chúng, vì vậy chúng tôi sẽ phải coi những tính chất này là sự thật thực nghiệm (lấy một tờ giấy và đảm bảo rằng chúng là sự thật).

Qua mỗi điểm A của bề mặt có thể phát triển không nằm trên ranh giới của nó, chúng ta đi qua một đoạn nằm trên bề mặt không kết thúc tại A. Nói cách khác, tại mỗi điểm, một chiếc kim đan có thể được gắn vào bề mặt có thể phát triển (một tờ giấy cong nhưng không bị nhàu nát) sao cho nó tiếp giáp với bề mặt ở một mức độ nào đó ở cả hai phía của điểm đã lấy. Một phân đoạn như vậy được gọi là bộ tạo bề mặt (chúng ta hãy đồng ý rằng tên này chỉ áp dụng cho các phân đoạn có độ dài tối đa nằm hoàn toàn trên bề mặt, nghĩa là đối với các phân đoạn không nằm trong các phân đoạn lớn hơn có thuộc tính này).
Nếu hai máy phát điện khác nhau đi qua một điểm A không nằm trên ranh giới của một bề mặt và A không phải là điểm cuối của một trong hai điểm đó thì một phần đủ nhỏ của bề mặt bao quanh A là phẳng. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ gọi điểm A là phẳng.
Nếu một điểm A, không nằm trên ranh giới của bề mặt, là điểm cuối của một phần tử sinh nào đó, chẳng hạn như a, thì các điểm phẳng tạo nên các điểm A được sắp xếp như thế này. Qua điểm A, chúng ta chuyển ma trận sinh duy nhất không kết thúc ở đó, chẳng hạn như b (Hình 5). Generatrix được chia thành hai phần. Phía bên tôi của máy phát b, nơi đặt máy phát a, có một mảnh phẳng tiếp giáp với máy phát b, phía bên kia của b, càng gần điểm A thì có các điểm không phẳng. Trong tình huống này chúng ta sẽ gọi điểm A là nửa phẳng.

Bằng cách nhấn mạnh rằng nếu một điểm trên một bề mặt không phải là ranh giới cũng như không phẳng, thì một đường sinh duy nhất không kết thúc tại điểm đó sẽ đi qua nó và các đầu của đường sinh này nằm trên ranh giới của bề mặt.

Ví dụ về các biện pháp Một tờ giấy, cuộn thành ống hoặc thành pound, không có điểm phẳng (hoặc nửa phẳng). Trong một ống, các máy phát điện tạo thành một nhóm gồm các đoạn song song; trong một pound, chúng tạo thành một nhóm các đoạn phân kỳ từ một điểm. Có thể sắp xếp các thế hệ phức tạp hơn. Ví dụ: các bộ tạo và điểm phẳng của bề mặt đang phát triển được thể hiện trong hình b a, thể hiện trong hình b b (trên đó các bề mặt của bề mặt có thể phát triển nằm trong một tờ giấy phẳng): các đường mỏng màu xanh lam là các bộ tạo và các vùng bóng mờ bao gồm các điểm phẳng.

Các điểm nằm trên ranh giới của các điểm phẳng là điểm biên cho toàn bộ bề mặt hoặc bán phẳng. Nếu bề mặt được tạo thành từ một đa giác bằng giấy (chẳng hạn như hình chữ nhật), thì các điểm phẳng tạo thành

một hoặc nhiều đa giác phẳng và mỗi đa giác này có các đỉnh nằm trên đường biên của bề mặt và các cạnh nằm trên đường biên hoặc bao gồm các điểm bán phẳng (xem lại Hình 66).

Bài tập 1. Bề mặt phát triển được làm bằng a) một tấm hình vuông có cạnh 1; b) một đường tròn có đường kính 1. Chứng minh rằng ít nhất một trong các phần tử sinh của nó có chiều dài ít nhất là a) 1; 6) $\sqrt{3}/2$ .

Hãy quay lại chủ đề chính của chúng ta: tính $\lambda$ - giới hạn dưới của chiều dài của dải giấy có chiều rộng 1, từ đó dải Möbius không mang có thể được dán lại với nhau.

Định lý 1: $\lambda \geqslant \frac{\pi}{2}$

Bằng chứng. Giả sử dải Mobius được làm từ một dải giấy có chiều dài $l$ . Chúng tôi quấn một đoạn băng giấy dài xung quanh nó. Dải băng này (chúng tôi bỏ qua độ dày của giấy) sẽ bao gồm các hình chữ nhật có cùng chiều dài, mỗi hình chữ nhật có hình dải Mobius của chúng tôi. Chúng ta hãy đánh dấu các máy phát điện tuyến tính và các điểm phẳng trên băng dài (như trong Hình 66). Kết quả sẽ giống như Hình 7. Hình ảnh có tính tuần hoàn: mọi thứ lặp lại với một khoảng thời gian bằng 2l. Người ta có thể nói thêm: khi dịch chuyển sang trái hoặc sang phải $l$ , hình ảnh thay đổi, nhưng theo một cách xác định chặt chẽ; cụ thể là nó lật lại (nghĩa là nó được phản chiếu ở đường giữa của dải). Diện tích của các điểm phẳng là các hình tứ giác (có thể suy biến thành hình tam giác) được giới hạn bởi hai đoạn cạnh đối diện của băng và hai đoạn đi dọc theo băng. Những phần của băng không rơi vào những khu vực này sẽ được nhào bằng máy tạo hình, các đầu của chúng nằm trên các mép của băng. (Tất cả điều này tuân theo các đặc tính của 1-3 bề mặt có thể phát triển được đưa ra trong đoạn 2.) Các khu vực bằng phẳng cũng có thể được thay thế bằng máy phát điện, do đó toàn bộ băng sẽ được bao phủ bởi một nhóm máy phát điện liên tục (Hình 8). Các máy phát điện trong các hình tứ giác giống hệt nhau có thể được chọn theo cách tương tự, sao cho tính tuần hoàn được mô tả ở trên được bảo toàn.

Hãy lấy bất kỳ máy phát điện nào trong gia đình chúng ta, chẳng hạn như $[AB]$ . Nếu chúng ta cắt nó đối xứng ở đường giữa của dải và sau đó di chuyển nó theo bất kỳ hướng nào (chẳng hạn như sang phải) đến $l$ , thì chúng ta sẽ có được đoạn $CD$ , cũng là một trình tạo thuộc họ của chúng ta (Hình 9). Lưu ý (điều này quan trọng) rằng $|AC| + |BD| = 2l$ . Khi cuộn chiều dài băng của chúng ta lên dải Möbius, các bộ tạo $[AB]$ và $[CD]$ sẽ có cùng vị trí, với điểm $A$ thẳng hàng với $D$ và điểm $B$ với $C$ ; nói cách khác, các đoạn $AB$ và $CD$ sẽ tạo thành một góc $180^\circ$ trong không gian. Giữa $[AB]$ và $[CD]$ có một nhóm máy phát điện liên tục. Khi di chuyển từ $[AB]$ đến $[CD]$ , độ lớn của góc mà các bộ tạo này tạo ra trong không gian $[AB]$ liên tục thay đổi từ $0^\circ$ đến $180^\circ$ . (Hãy nhớ lại rằng độ lớn của góc giữa các đoạn $KL$ và $MP$ trong không gian được xác định là $\widehat{KLQ}$ , trong đó $Q$ là điểm sao cho các đoạn $LQ$ và $MP$ bằng nhau

Hình 9.

Hình 10.

Hình 11.

Chúng có chiều dài bằng nhau, song song và hướng theo cùng một hướng.

Hãy lấy $n$ bất kỳ và tìm giữa $[AB]$ và $[CD]$ các bộ tạo $[A_1B_1]$ , …, $[A_{n-1}B_{n-1}]$ sao cho góc giữa $[AB]$ và $[A_kB_k]$ bằng $k \frac{180^\circ}{n}$ (điểm $A_1$ , …, $A_{n-1}$ theo thứ tự này nằm giữa $A$ và $C$ , và các điểm $B_1$ , …, $B_{n-1}$ theo thứ tự này nằm giữa $B$ và $D$ ; xem Hình 10). Độ dài của mỗi máy phát lớn hoặc bằng 1 và góc giữa các vị trí không gian của hai máy phát liền kề không nhỏ hơn $\frac{180^\circ}{n}$ . Hãy chứng minh rằng mỗi tổng $|AA_1| + |BB_1|$ , $|A_1A_2| + |B_1B_2|$ , …, $|A_{n-1}C| + |B_{n-1}D|$ không nhỏ hơn độ dài $a_{2n}$ của cạnh của một $2n$ -giác đều nội tiếp trong đường tròn bán kính 1. Có thể thấy điều này từ Hình 11. Trong hình này, các đoạn $A_kE$ và $A_{k+1}B_{k+1}$ có chiều dài bằng nhau, song song và hướng về cùng một hướng, $|A_kF| = |A_kH| = 1$ và $|FG| \parallel |EB_h|$ (Hình 11 được thực hiện dựa trên giả định rằng $|A_{k+1}B_{k+1}| < |A_kB_k|$ ; những thay đổi cần thiết trong trường hợp $|A_{k+1}B_{k+1}| = |A_kB_k|$ và $|A_{k+1}B_{k+1}| > |A_kB_k|$ là hiển nhiên). Chúng ta thấy rằng $|A_kA_{k+1}| + |B_kB_{k+1}| = |EB_{k+1}| + |B_kB_{k+1}| \geq |EB_k| \geq |FG| \geq |FH| \geq a_{2n}$ (ở đây $|A_kA_{k+1}|$ , $|B_kB_{k+1}|$ , $|EB_{k+1}|$ là độ dài của các đoạn thẳng và các đoạn của chúng được hiển thị trong Hình 11; các độ dài này trùng với độ dài của các đoạn $[A_kA_{k+1}]$ , $[B_kB_{k+1}]$ của Hình 10; bất đẳng thức áp chót suy ra từ thực tế là $\widehat{FHG} > 90^\circ$ , và cái cuối cùng là từ thực tế là $\widehat{FA_kH} \geq \frac{180^\circ}{n}$ ).

Vì vậy, $2l = |AC| + |BD| = (|AA_1| + |BB_1|) + (|A_1A_2| + |B_1B_2|) + \dots + (|A_{n-1}C| + |B_{n-1}D|) \geq n a_{2n}$ , tức là $2l$ với bất kỳ $n$ nào không nhỏ hơn dương của chu vi của một $2n$ -giác đều nội tiếp trong đường tròn bán kính 1. Do đó, $2l$ không nhỏ hơn dương của chiều dài của chính đường tròn này, tức là $l \geq \pi/2$ . Định lý đã được chứng minh.

Định lý 2: $\lambda \leq \sqrt{3}$

Định lý này đơn giản hơn định lý trước: để chứng minh, chỉ cần giải thích cách dán một dải Möbinus từ một dải có chiều dài lớn hơn $\sqrt{3}$ là đủ. Trước tiên chúng ta hãy giả sử một hình tam giác (Hình 12). Hãy gấp dải dọc theo các cạnh của các hình tam giác này, theo các hướng gấp (Hình 13; lấy kéo và giấy và thực hiện việc này). Các cạnh $AB$ và $CD$ của dải sẽ căn chỉnh, với điểm $A$ thẳng hàng với điểm $D$ và điểm $B$ với điểm $C$ . Kết quả là một dải Mobinus.

Trong cách xây dựng này, quy tắc chính đã bị vi phạm - giấy không được nhăn. Nhưng điều dễ hiểu là nếu chiều dài của dải thậm chí lớn hơn $\sqrt{3}$ một chút, thì vết đứt dọc theo đường sinh có thể được thay thế bằng cách uốn cong,

được sản xuất trong một khu vực hẹp (Hình 14). Nói tóm lại, chúng ta không sợ một đoạn gấp khúc dọc theo một đoạn thẳng: nó có thể được thay thế bằng một đoạn uốn cong gần nó. (Nếp nhăn không thể khắc phục được của giấy xảy ra khi hai đường gấp giao nhau, tức là khi tờ giấy được gấp lại giống như một chiếc khăn tay - tất cả những điều này chúng ta đều biết từ kinh nghiệm hàng ngày.)

Dải Mobius thu được trông như thế nào được thể hiện trong Hình 15. Cấu trúc của nó có thể được hình dung như sau: ba tam giác đều ABC, A’B’C’, A’‘B’‘C’’ nằm song song với nhau, các đỉnh tương ứng phía trên các đỉnh tương ứng; các cạnh AB và A’B’, B’C’ và B’‘C’’, C’‘A’’ và CA được nối với nhau bằng cầu. Đường dán chạy dọc theo đường trung tuyến của một trong các hình tam giác.

Trong bài thực hành 2. Vẽ cho dải Möbius xây dựng trong chứng minh Định lý 2 một sơ đồ các phần tử tạo thẳng và các điểm mặt phẳng (tương tự như Hình 7).

Tại sao chúng ta không thể tìm λ chính xác hơn?

Trong khi bài toán không được giải quyết, thật khó để nói tại sao nó không được giải quyết. Tuy nhiên, đôi khi trong các vấn đề chưa được giải quyết khác nhau, có thể vạch ra những khó khăn chung, có thể nói là đánh dấu những chỗ khó trên bản đồ toán học, điều này đôi khi cho phép chúng ta tưởng tượng thành công hay thất bại với lời giải cái này hoặc cái kia bài toán.

Trong phần trước chúng ta đã chứng minh rằng λ là một trong các điểm của đoạn [π/2; √3] . Cái nào? Có lẽ có thể hình thành ít nhất một giả thuyết hợp lý về điểm này? Tôi nghĩ rằng λ = √3, và tôi không ngạc nhiên khi điều này không thể được chứng minh.

Vấn đề là thế này. Chứng minh Định lý 1 không sử dụng một tính chất quan trọng của dải Möbius - nó không có giao điểm. Sự tự giao của một cuộn băng không thể làm bằng giấy, nhưng có thể hình dung: giống như sự tự giao của một đường thẳng trên một mặt phẳng, nó “đi xuyên qua chính nó” và có thể chia thành nhiều phần, mỗi phần không có phần tự giao.

Giả sử rằng, nói về các dải giấy Mobius, ngay từ đầu chúng ta đã cho phép chúng có các giao điểm tự. Khi đó λ mang một ý nghĩa mới - giá trị mới của λ sẽ nhỏ hơn hoặc bằng giá trị trước đó. Trong trường hợp này, Định lý 1 sẽ vẫn đúng và không một từ nào phải thay đổi trong chứng minh của nó: sự vắng mặt của tự giao không được sử dụng trong chứng minh này. Đối với Định lý 2, nếu cho phép tự giao nhau thì nó có thể đúng. Chính xác:

Định lý 3. Một dải Mobius có các giao điểm tự có thể được dán lại với nhau từ một dải có chiều dài bất kỳ lớn hơn λ/2.

Nó được thực hiện như thế này. Lấy n lẻ đủ lớn và xây dựng

Một $n$ -giác đều nội tiếp trong một đường tròn có đường kính 1. Khoảng cách xa hơn là $n$ chứa tâm của đường tròn gồm các hình tam giác, mỗi hình được giới hạn bởi một cạnh và hai đường chéo của $n$ -giác (Hình 16; ở đây $n=7$ ). Những hình tam giác này bao phủ $n$ -gon của chúng ta, một số vị trí của nó - nhiều lần. Bây giờ chúng ta hãy áp dụng các $n$ -giác này cho nhau như trong Hình 17, sau đó chúng ta cắt một nửa hình tam giác dọc theo chiều dài của đường trung tuyến và áp dụng nó cho tam giác ngoài cùng bên phải (Hình 17). Kết quả là một dải hình chữ nhật có tỷ lệ chiều dài và chiều rộng lớn hơn $\pi/2$ và có xu hướng $\pi/2$ với $n$ có xu hướng $\infty$ (chiều rộng của dải có xu hướng là 1 và chiều dài là $\pi/2$ ). Nếu bạn tuần tự uốn dải này dọc theo tất cả các đường vẽ trên đó, thông qua các hướng gấp (Hình 18), thì các hình tam giác sẽ được sắp xếp như trong Hình 16 (lấy lại phần đáy và giấy và thực hiện việc này). Các đoạn $AB$ và $CD$ sẽ gần như trùng khớp—chỉ có một vài lớp giấy gấp giữa chúng. Trong điểm “gần như căn chỉnh” này, điểm $A$ sẽ căn chỉnh với $D$ và điểm $B$ với $C$ , vì vậy nếu chúng ta có thể “chuyển băng qua chính mình” và hợp nhất $|AB|$ với $|CD|$ , thì chúng ta sẽ có được một dải Möbius. Nếu bạn kéo băng lâu hơn một chút, bạn có thể tránh được các nếp gấp, giống như chúng tôi đã làm.

Lee trong chứng minh Định lý 2. Tôi đã cố gắng mô tả những gì xảy ra trong Hình 19.

Ở bên phải 3. Đối với dải Mobius như hình 19, hãy vẽ sơ đồ các điểm phẳng và đường thẳng.

Vì vậy, nếu chúng ta muốn (đối với các băng không có tự giao) chứng minh rằng $\lambda \geq \mu$ , trong đó $\mu > \sqrt{3}$ , chúng ta sẽ phải tính đến sự vắng mặt của tự giao trong chứng minh. Sự bắt đầu hoặc vắng mặt của các giao điểm tự của một hình cụ thể trong không gian ba chiều là bài toán “hình học sắp xếp ba chiều”. Mọi kinh nghiệm về toán học đều cho thấy rằng bài toán về vị trí trong không gian ba chiều là rất khó. Xét cho cùng, hình học này bao gồm lý thuyết về nút thắt và bánh răng, được biết đến là không thể tiếp cận được («Kvant», 1975, Số 7, trang 6); trong đó đã nảy sinh những hiện tượng như “quả cầu có sừng của Alexander” («Kvant», 1977, số 7, trang 22); Ví dụ, những câu hỏi đơn giản nhất là liệu có thể quay một hình xuyến từ trong ra ngoài qua một lỗ nhỏ hay không, khiến trực giác của chúng ta bối rối. Và đây là điều tuyệt vời. Có vẻ như trong một không gian có kích thước lớn hơn ba chiều, các vấn đề về vị trí thậm chí còn trở nên gay gắt hơn. Nhưng không: với chiều hướng ngày càng tăng, những khó khăn này sẽ được giải quyết. Tuy nhiên, việc “làm mịn” bắt đầu từ chiều thứ 5; không gian bốn chiều trong

Hình 18.

theo một nghĩa nào đó, nó không đơn giản hơn ba chiều. Thật không may, tôi không thể biện minh cho những gì tôi vừa nói ở đây, vì vậy tôi yêu cầu bạn hãy tin lời tôi.

Nhưng hãy quay lại dải Mobius. Định lý 1, như chúng ta đã thấy, thực sự áp dụng cho các dải tự giao nhau. Có lẽ điều kiện không tự giao nhau sẽ không xảy ra trong không gian ba chiều. Ví dụ, người ta hoàn toàn tin rằng Định lý 2 không thể trả lời được. Suy cho cùng, nghe nó có nghĩa là nghĩ ra một thiết kế mới cho cuốn băng. Kinh nghiệm cho thấy rằng các cách xây dựng tối ưu là đơn giản và hài hòa, đó chính là cách xây dựng trong chứng minh Định lý 2. Thật tự nhiên khi cho rằng nếu công trình xây dựng tốt nhất tồn tại thì nó sẽ được tìm thấy—trong vòng rất nhiều năm!

Đây là lý do tại sao người ta mong đợi $\lambda = \sqrt{3}$ .

Kết luận: về một cái tương tự bài toán

Chúng ta hãy dán lại với nhau từ một dải giấy không phải dải Mobius mà là một hình trụ (dải giấy có thể có kích thước bất kỳ). Có thể lộn hình trụ từ trong ra ngoài mà không làm nhăn giấy không?

từ trong ra ngoài? Nếu hình trụ rộng và thấp thì tất nhiên là có thể, còn nếu hẹp và cao thì không thể được. Chúng ta hãy biểu thị bằng σ một số sao cho nếu tỷ lệ giữa chiều dài của dải và chiều rộng lớn hơn σ thì có thể quay được hình trụ, còn nếu nhỏ hơn thì không thể. Tôi để lại cho bạn cách chứng minh ba định lý sau (khó hơn Định lý 1, 2, 3) là bài toán:

Định lý 1’. $\sigma \geq \pi$ .

Định lý 2’. $\sigma \leq \pi + 2$ .

Định lý 3’. Chúng ta hãy giả sử rằng việc tự giao cắt được cho phép trong quá trình đảo ngược. Sau đó, bất kỳ hình trụ nào được làm từ một dải có tỷ lệ chiều dài và chiều rộng lớn hơn π đều có thể được lộn từ trong ra ngoài (mà không làm giấy bị nhăn).

Một số lượng lớn không nhận thức được điều này.

Tóm lại, tôi muốn nói rằng ý tưởng viết bài này nảy sinh trong tôi khi đọc một bài báo của B. Halperin và K. Weaver trên tạp chí “Giao dịch của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ” (1977, tập 230), từ đó tôi biết được thực trạng các vấn đề được thảo luận.