Hyperboloid tờ đơn

26

Hyperbole tờ đơn

Trên trang đầu tiên của trang bìa, bạn sẽ thấy mô hình giấy của một tờ hyperbolide. Đây là tên của bề mặt được xác định trong không gian của phương trình

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1.$$

Hyperbolide trên bìa có cùng tham số $a$ và $b$ ($a = b$), và nó là vật thể xoay với trục $Oz$ (giải thích điều này). Cách dễ nhất để tạo mô hình hyperbole xoay một tờ như sau. Hãy lấy hai bánh xe có cùng đường kính với các bề mặt cách đều nhau dọc theo vành. Hãy đặt các bánh xe trên một trục chung và chèn các dây cao su mỏng vào bề mặt song song với trục (xem Hình 1). Nếu bây giờ chúng ta buộc chặt các dây cao su này vào các lỗ và quay bánh xe phía trên một góc $\alpha$, thay đổi $180^\circ$, thì các dây cao su sẽ nằm trên bề mặt của một tấm hyperbol. Chứng minh rằng khi quay một góc $-\alpha$ thì các dây thun sẽ nằm dọc theo cùng một mặt phẳng.

Từ mô hình cao su của chúng ta, chúng ta có thể thấy rằng trên bề mặt của hyperbol có hai họ đường thẳng giao nhau. Suy ra cấu trúc này từ phương trình bề mặt.

Chiếc TV đầu tiên ở Moscow, do kiến ​​trúc sư Shukhy thiết kế, được làm từ những “mô hình” như vậy (dây thép được sử dụng thay vì dây cao su).

Có thể thu được một hyperbol một tờ của vòng quay bằng cách xoay đường cong $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$ quanh trục $Oz$. Đường cong này là một hyperbol. Đó là lý do tại sao bề mặt đó được gọi là hyperbolit. Nó được gọi là một tờ vì cũng có một tờ hai, thu được bằng cách xoay hyperbola quanh trục $Ox$. Phương trình $$\frac{x^2}{a^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$$ khác với phương trình hyperbol quen thuộc $xy=1$. Nhưng điều này không làm bạn bối rối - sự khác biệt không phải là cơ bản. Tại sao điều này thực sự như vậy, bạn sẽ hiểu khi đọc bài viết về cường điệu ở «Kvant» số 3, 1975. Trên trang đầu tiên của trang bìa, cả hai dòng đường giao nhau và hyperbol đều được nhìn thấy rõ ràng. Trang bìa thứ tư cung cấp một số hướng dẫn gợi ý về cách dán mô hình giấy giống như trang đầu tiên.