Trường Đại học Vật lý và Công nghệ

59

Bài kiểm tra đầu vào tại VZMSH năm 1979

1. Gọi các điểm A, B, C là các đỉnh của một tam giác vuông không bằng nhau. Có bao nhiêu cách đặt điểm D trên mặt phẳng sao cho tập hợp điểm {A, B, C, D} bất kỳ có: a) tâm đối xứng? b) trục đối xứng? c) đáp số có chuyển sang câu hỏi a) và 6), nếu trong điều kiện của bài tập chúng ta thay từ “hình chữ nhật” bằng từ “không phải hình chữ nhật”?

2. Chúng ta hãy xem xét tất cả các số có chín chữ số có thể có trong đó mỗi chữ số 1, 2, 3, …, 9 xuất hiện một lần. Xác định ước số chung nhất của các số này.

3. Có thể tô màu 25 ô vuông trên giấy ca-rô sao cho mỗi ô có số lẻ ô lân cận được tô bóng không? (Các ô được gọi là lân cận nếu chúng có một cạnh chung.)

4. Andrey chạy nhanh hơn Viti, nhưng chậm hơn Zhenya. Họ đồng thời chạy dọc theo một con đường tròn từ một nơi theo một hướng và tiếp tục cho đến khi cả ba lại chạy đến cùng một nơi. Trong thời gian này, Zhenya đã vượt qua Vitya 13 lần. Có bao nhiêu lần vượt trong thời gian này?

5. 25 số được viết trên một dòng. Tổng của ba số liền kề bất kỳ đều dương. Tổng của 25 số có thể âm không?

6. Tìm tất cả các cặp số nguyên (m; n) thỏa mãn đẳng thức $m^2+1=2^n$.

7. Chúng ta hãy xem xét một đa giác trên mặt phẳng, là sự kết hợp của ba hình bình hành: OAHB, OBKC và OCMA. a) Đa giác này có nhất thiết phải lồi không? b) Đa giác này có thể có bao nhiêu cạnh? b) Đa giác này có thể có chu vi bao nhiêu nếu $|OA|+|OB|+|OC|=1$?

8. Hai số nguyên dương được đoán. Nhà toán học A được cho biết tổng của họ, và nhà toán học B được biết tổng bình phương của họ. Nếu A và B kết hợp kiến ​​thức của họ thì tất nhiên họ sẽ xác định được tổng số. Nhưng họ đã học được những con số này trong cuộc trò chuyện sau:

B. - Tôi không biết đây là những con số gì.
A. — Tổng của họ lớn hơn mười.
B. - Vậy thì tôi biết những con số này là gì rồi. Hãy tìm những con số này nữa.

9. Có thể vẽ hình chữ nhật ABCD và một điểm M trên mặt phẳng sao cho các khoảng cách từ điểm M đến các điểm A, B, C, D bằng nhau, tương ứng với a) 1, 2, 3, 4; b) 1, 4, 8, 7?

10. Có hai máy. Nếu bạn ném 5 kopecks vào cái đầu tiên, thì anh ta sẽ nhân số được đưa cho anh ta với 3. Nếu bạn ném 2 kopecks vào cái thứ hai, thì anh ta sẽ cộng số 4 vào số được đưa cho mình. Số tiền tối thiểu bạn cần có để sử dụng những chiếc máy này là nhận được 1 số 1979 từ một số cho trước là bao nhiêu?

J. Rabb

Trường Đại học Vật lý và Công nghệ

Trường Vật lý và Công nghệ Tương ứng (3FTSH) thuộc Huân chương Cờ đỏ của Viện Vật lý và Công nghệ Lao động (MIPT) ở Moscow đang tuyển sinh học sinh 8 tuổi và học sinh trung học nằm trên lãnh thổ RSFSR vào lớp 8, 9 và 10 cho năm học 1979/80. (Trong một số trường hợp, được phép nhập học từ các nguồn liên minh khác.) Giáo dục tương ứng rèn luyện các kỹ năng độc lập, dạy cách làm việc với tài liệu bổ sung và bày tỏ suy nghĩ của một người một cách ngắn gọn.

ZFTS cung cấp kiến ​​thức bổ sung tốt về vật lý và toán học cho sinh viên tốt nghiệp, nhiều người trong số họ trở thành sinh viên của những thách thức hàng đầu của đất nước chúng ta.

Khi đăng ký nhập học vào ZFTS, học sinh phải sống ở các vùng nông thôn và khu định cư của công nhân, nơi trường chúng tôi đặc biệt cần được giúp đỡ.

Giáo dục ở trường là miễn phí.

Ngoài các học sinh cá nhân, ZFTS còn chấp nhận các nhóm vật lý và công nghệ, có thể được tổ chức tại chỗ theo sáng kiến ​​của hai giáo viên - vật lý và toán học. Những người đứng đầu vòng tròn tuyển dụng và ghi danh những sinh viên đã hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ giới thiệu của ZFTS. Vòng tròn được chấp nhận vào ZFTS nếu giám đốc trường thông báo cho ZFTS tên của người đứng đầu vòng tròn và danh sách được đăng của vòng tròn theo lớp (cho biết điểm cuối cùng của nhiệm vụ giới thiệu).

Học sinh được nhận vào ZFTSH và những người đứng đầu giới vật lý và công nghệ sẽ được quy định nhận các nhiệm vụ về vật lý và toán học theo chương trình ZFTSH, cũng như ZFTSH lời giải được đề xuất của các nhiệm vụ này. Nhiệm vụ ZFTSH chứa tài liệu lý thuyết và phân tích các nhiệm vụ và ví dụ điển hình về chủ đề này, cũng như 10-14 bài toán cho lời giải độc lập. Đây đều là những bài toán đơn giản và phức tạp hơn (ở mức độ cạnh tranh bài toán tại MIPT). Công việc của học sinh giáo dục động vật được ZFTSH hoặc các chi nhánh của nó kiểm tra, và các thành viên trong vòng tròn được lãnh đạo của họ kiểm tra.

60

Hai lần một tuần, học sinh Moscow nhận được nhiều bài học về vật lý và toán học theo chương trình ZFTSH tại các trung tâm tư vấn buổi tối (ở một số trường học ở Moscow). Việc tuyển dụng vào các điểm này diễn ra dựa trên kết quả của nhiệm vụ giới thiệu của ZFTSH hoặc trên cơ sở cuộc phỏng vấn cuối cùng về vật lý và toán học (cuộc phỏng vấn sẽ được tổ chức vào tháng 9; yêu cầu qua điện thoại 216-00-05, máy lẻ 2-59).

Bài kiểm tra đầu vào về vật lý và toán học, mỗi học sinh thực hiện bài làm độc lập bằng tiếng Nga và viết lại cẩn thận trên sân thượng của trường. Thứ tự bài toán phải giống như trong nhiệm vụ. Ruộng bậc thang được chuyển vào một phong bì lớn, được nhìn thấy bởi một Balderol. Cùng với quyết định, bạn phải nộp giấy chứng nhận của trường nơi bạn là giáo viên, cho biết lớp học của bạn. Giấy chứng nhận được đặt ở bìa bên trong của terradi. Nếu không có chứng chỉ này lời giải sẽ không được xem xét. Ở bên ngoài của terradi, dán một tờ giấy điền vào theo mẫu sau:

1. Vùng (khu vực hoặc ASSR)
2. Họ, tên, chữ viết tắt
3. Lớp học
4. Số lượng và địa chỉ các trường học
5. Nghề nghiệp cha mẹ và chức vụ cha
6. Địa chỉ nhà chi tiết

Ngày khởi hành lời giải - chậm nhất là ngày 1/3/1979 (theo dấu bưu điện nơi khởi hành). Giấy tờ dự thi sẽ không được gửi lại.

Việc tuyển sinh vào trường được thực hiện bởi hội đồng tuyển sinh của Viện Vật lý và Công nghệ Moscow. Lời giải sẽ được thông báo tới hội đồng tuyển sinh chậm nhất là ngày 1 tháng 8 năm 1979.

Gửi bài kiểm tra đã giải của bài kiểm tra cơ bản (bắt buộc trong môn vật lý và toán học) đến địa chỉ: 141700, Dolgoprudny, khu vực Moscow, Viện Vật lý và Công nghệ Moscow, cho ZFTSH.

Sinh viên của các vùng Arkhangelsk, Vologda, Kalinin, Kirov, Leningrad, Murmansk, Novgorod, Pskov, Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Xô viết tự trị Karelian và Komi gửi tác phẩm đến địa chỉ: 198904, Old Peterhof, st. Ngày 1 tháng 5. 100, Đại học bang Leningrad, ZFTSH hiếu thảo tại MIPT.

Sinh viên của các vùng Amur, Irkutsk, Kamchatka, Sakhalin, Chita, Krasnoyarsk, Primorsky, Khabarovsk, Buryat, Tuva, Yakut ASSR và Chukotka gửi tác phẩm đến địa chỉ: 660607, Krasnoyarsk, st. Peresona, 7 tuổi, Học viện sư phạm, chi nhánh ZFTSH tại MIPT.

Dưới đây là bài toán đề thi đầu vào môn Vật lý và Toán. Trong bài tập vật lý bài toán 1–5 dành cho học sinh lớp bảy, bài tập 5–11 dành cho học sinh lớp tám và bài tập 7–13 dành cho học sinh lớp chín. Trong bài tập toán cơ bản bài toán 1-5 cho lớp bảy, 4-10 cho lớp tám và 7-13 cho lớp chín.

Bài tập cho bài kiểm tra đầu vào tại ZFTSH năm 1979

Vật lý

1. Đường đi trong vườn rộng 2m. Con đường có thể được phủ một lớp cát dày 2 cm trong bao lâu nếu cát được vận chuyển bằng xe tải 10 tấn chở đến giới hạn? Tự xác định mật độ của cát.

2. Xác định độ sâu của trục, ở phía dưới phong vũ biểu hiển thị áp suất 860 mm Hg. Nghệ thuật. Lấy áp suất ở bề mặt trái đất bằng 760 mm Hg. Nghệ thuật. Mật độ không khí 1,29 kg/m³. Sự thay đổi mật độ không khí theo độ sâu trong tiền tenberi.

3. Chia que diêm thành những mảnh nhỏ nhất có thể. Tại sao miếng nhỏ khó vỡ hơn miếng lớn?

4. Cần bao nhiêu than củi để biến 3 kg nước đá thành hơi nước ở áp suất bình thường? Nhiệt độ ban đầu của nước đá là 5°C. Hiệu suất gia nhiệt là 20%.

5. Động cơ điện điều khiển máy bơm được kết nối với mạng 220 V. Máy bơm cung cấp 500 m³ nước lên độ cao 20 m. Bao nhiêu dòng điện chạy qua cuộn dây của động cơ điện nếu hiệu suất lắp đặt (di chuyển bằng máy bơm) là 40%?

6. MotoshikLIST đo khoảng cách giữa hai điểm với tốc độ 40 km/h. Sau khi tăng tốc độ lên 80 km/h, motoshikLIST sau đó đã đi được một nửa quãng đường. Xác định vận tốc trung bình của DANH MỤC xe máy trong toàn bộ thời gian chuyển động.

7. Nước được đổ vào bình hình trụ. Khi thả một chiếc cốc nhôm rỗng vào bình sao cho nó nổi lên thì nước dâng lên 2,7 cm. Mực nước trong bình sẽ thay đổi bao nhiêu nếu chiếc cốc bị chìm trong đó? Mật độ nhôm 2,7 g/cm³.

61

8. Một người thả một hòn đá xuống giếng sâu và sau 8 s thì nghe thấy tiếng nó rơi. Tìm độ sâu của boong. Gia tốc rơi tự do được coi là 10 m/s2. Tốc độ âm thanh 330 m/s.

9. Một người phát triển sức mạnh như thế nào khi đẩy một chiếc xe trượt tuyết có tải trọng có tổng khối lượng 40 kg dọc theo một con đường nằm ngang? Hệ số ma sát của người chạy trên đường là 0,1. Xe trượt được kéo với vận tốc không đổi 3 m/s bằng một sợi dây nghiêng một góc 30° so với phương ngang.

10. Một người trượt tuyết trượt xuống từ một bàn đạp cao 50 m, ở chân có một đường cong bán kính 10 m. Tìm sự quá tải mà người trượt tuyết gặp phải khi đi vào đoạn đường nằm ngang.

11. Một quả bóng có khối lượng $M$ bay lơ lửng trong không khí ở độ cao $H$. Trên cầu thang, khi đang đi thuyền gondola khinh khí cầu, có một người có khối lượng $m$. Quả bóng bay cao bao nhiêu nếu một người leo $n$ bước lên cầu thang? Khoảng cách giữa các bước $h$.

12. Trong một căn phòng có thể tích 60 m³, một giọt hai chứa 10⁻⁴ g chất thơm có trọng lượng phân tử tương đối là 1000 đã bay hơi. Có bao nhiêu phân tử chất thơm sẽ đi vào phổi con người trong mỗi hơi thở? Thể tích phổi được giả định là 2,2 lít.

13. Ở trạng thái kín, thể tích 11,2 lít chứa không khí dưới áp suất 0,1 MPa. Cần phải truyền thêm nhiệt lượng bao nhiêu vào không khí để áp suất trong bình tăng gấp 3 lần? Nhiệt lượng mol của không khí ở thể tích không đổi được lấy là 21 J/(mol K).

Matematika

1. Có 35 học sinh trong lớp. Trong số này, 20 học sinh tham dự vòng tròn toán học, 11 em tham dự vòng tròn thể chất, 10 học sinh không tham gia bất kỳ vòng tròn nào trong số này. Có bao nhiêu học sinh tham dự cả hai vòng tròn?

2. Để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì điều cần thiết và đủ là nó có tâm đối xứng. Chứng minh điều đó.

3. Xác định tất cả các giá trị của $a$ mà tập lời giải của bất đẳng thức $x^2 - a (1 + a) x + a^3 < 0$ chứa khoảng [0; 1].

4. Chứng minh hoặc bác bỏ các nhận định sau: a) để số $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n - 1)) - 1$ chia hết cho $n$ thì $n$ là số nguyên tố là đủ; b) để số $(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot (n - 1)) - 1$ chia hết cho $n$ thì $n$ phải là số nguyên tố.

5. Một tứ giác nằm bên trong một tứ giác khác. Tổng độ dài các đường chéo bên trong một tứ giác có thể lớn hơn tổng độ dài các đường chéo bên trong một tứ giác không?

6. Ở một giữa có ba bài toán: $A, B, C$. 25 học sinh đã giải được ít nhất một bài toán. Trong số học sinh không giải được bài toán $A$, số học sinh giải được bài toán $B$ nhiều gấp đôi số học sinh giải được bài toán $C$. Có thêm một học sinh chỉ giải được bài toán $A$ so với những học sinh khác chỉ giải được bài toán $A$. Có bao nhiêu học sinh chỉ giải được bài toán $B$, nếu trong số học sinh chỉ giải được một bài toán thì một nửa không giải được bài toán $A$?

7. Các điểm $D$ và $E$ là trung điểm của các cạnh $[AB]$ và $[CD]$ của tứ giác $ABCD$. Chứng minh rằng

$$\overrightarrow{DE} = \frac{\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AD}}{2}.$$

8. Hai tuyên bố được đưa ra:
   a) Hệ thống
   $$\begin{cases} (a + 4) x + 3y = a + 1, \\ ax + (a - 1) y = a - 1 \end{cases}$$

có vô số lời giải;

6. Các đường được xác định bởi các phương trình $5x + 4y = 6$ và $ax + 6y = 10$ giao nhau ở đường Descartes thứ tư thứ hai của hệ tọa độ.

Với giá trị nào của $a$ thì một trong các câu sau là sai và câu còn lại đúng?

9. Chứng minh rằng nếu một tứ giác tùy ý $ABCD$ chứa các đường phân giác bên trong thì bốn giao điểm của các đường phân giác của các góc $A$ và $C$ với các đường phân giác của các góc $B$ và $D$ cùng nằm trên một đường tròn.

10. Một cậu học sinh chuyển tất cả tem của mình sang một cuốn album mới. Nếu anh ta dán 20 con tem vào một tờ thì anh ta sẽ không đủ album, còn nếu anh ta dán 23 con tem vào một tờ thì ít nhất một tờ sẽ trống. Nếu một học sinh đưa ra cùng một cuốn album, mỗi tờ dán 21 con tem thì học sinh đó sẽ có tổng cộng 500 con tem. Một album có bao nhiêu tờ?

11. Trên mỗi hành tinh của một số hệ thống có một nhà thiên văn học đang quan sát một hành tinh ở gần. Khoảng cách giữa các mặt phẳng khác nhau theo cặp. Chứng minh rằng nếu có số phao lẻ thì không ai quan sát thấy phao nào.

12. Cho $k$ số $a_1, a_2, \dots, a_k$, với $a_1 + a_2 + \dots + a_k = 0$.

Tính giới hạn của dãy $(S_n)$:

$$S_n = a_1 \sqrt{n + 1} + a_2 \sqrt{n + 2} + \dots + a_k \sqrt{n + k}.$$

13. Các hàm $f$ và $g$ không tùy ý tại điểm $x = x_0$. Có thể nói hàm số $F_1(x) = f(x) + g(x)$ cũng không có hàm số tùy ý tại điểm $x = x_0$?

V. Aslayann, S. Korshunov, T. Chugunova