Động vật trên... máy bay

28

Động vật
trên… Độ phẳng

Ở lớp 5, trong giờ học toán, bạn bắt đầu học mặt phẳng tọa độ. Giáo viên mời các em sử dụng tọa độ của một điểm để tìm nó trên mặt phẳng, xác định tọa độ của điểm, xây dựng đồ thị của từng hàm số… Để làm cho các nhiệm vụ trở nên thú vị hơn, «Kvant» ba năm trước đã tổ chức một “cuộc thi nghệ sĩ”. Tọa độ của một số điểm được xác định trên mặt phẳng tọa độ. Các điểm lân cận được kết nối bằng các đoạn. Nếu tìm đúng các điểm thì kết quả sẽ là một loại hình vẽ nào đó: ví dụ: con voi, con chó, con mèo, con chuột, con sóc, con cáo Bắc Cực, con chim cánh cụt, con vịt con, con nai sừng tấm, con ngựa đang chạy, con cáo con, con hải cẩu (những bức vẽ này được học sinh trường cấp 5 ở Sredneuralsk, vùng Sverdlovsk, giáo viên toán - T. N. Sergeeva gửi đến biên tập viên). Hôm nay chúng tôi đề xuất “viết ra” những con vật này “theo tọa độ” và ngoài ra, hãy vẽ những bức tranh sau:

1. (3; 3), (0; 3), (−3; 2), (−5; 2), (−7; 4), (−8; 3), (−7; 1), (−8; −1), (−7; −2), (−5; 0), (−1; −2), (0; −4), (2; −4), (3; −2), (5; −2), (7; 0), (5; 2), (3; 3), (2; 4), (−3; 4), (−4; 2); mắt (5; 0).

2. (−9; 7), (−7; 8), (−6; 10), (−3; 10), (−1; 7), (8; 1), (15; −2), (13; −4), (6; 0), (4; −1), (3; −1), (1; −7), (−1; −7), (1; −6), (2; −1),

(0; −1), (−2; −7), (−4; −7), (−2; −6), (−1; −1), (−5; 2), (−6; 5), (−7; 6), (−9; 7); mắt (−5; 8).

3. (1; 7), (0; 10), (−1; 11), (−2; 10), (0; 7), (−2; 5), (−7; 3), (−8; 0), (−9; 1), (−9; 0), (−7; −2), (−2; −2), (−3; −1), (−4; −1), (−1; 3), (0; −2), (1; −2), (0; 0), (0; 3), (1; 4), (2; 4), (3; 5), (2; 6), (1; 9), (0; 10); mắt (1; 6).

4. (−5; 1), (−6; 3), (−6; 6), (−3; 8), (−1; 10), (2; 11), (3; 10), (3; 9), (6; 10), (7; 9), (7; 7), (4; 4), (4; 1), (2; −1), (2; −4), (5; −4), (6; −7), (5; −8), (1; −10), (1; −12), (−4; −12), (−7; −9), (−7; −7), (−6; −6), (−4; −7), (−4; −5), (−6; −4), (−6; −2), (−4; −2), (−3; −1), (−5; 0), (−5; 1); mắt (−3; 4), (−2; 4), (−2,5; 3), (−3; 4).

5. (−9; 4), (−5; 4), (−3; 5), (−7; 7), (−8; 7), (−10; 8), (−9; 8), (−10; 10), (−8; 9), (−10; 11), (−8; 10), (−9; 12), (−7; 10), (−5; 9), (−2; 8), (−1; 5), (0; 5), (−1; 7), (−1; 8), (1; 10), (2; 10), (2; 9,5), (3; 9), (1; 9), (0; 8), (0; 7), (1; 4), (−1; 3), (−3; 2), (−6; 2), (−6; 3), (−9; 4); mắt (1,5; 9,5).

(Nhiệm vụ 1-5 được biên soạn bởi những người đến từ Sredneuralsk.)

6. (7; 0), (7; −1), (6,5; −2,5), (7; −5,5), (6; −6,5), (5; −6,5), (6; −5,5), (5; −2), (3,5; −0,5), (1; −1), (−2; −1), (−2; −2), (−3; −3), (−3; −5,5), (−4; 6,5), (−5; −6,5), (−4; −5,5), (−4; −2), (−5; 0); (−5; 2), (−7; 4), (−9,5; 4,5), (−10; 5,5), (−7,5; 5,5), (−7; 6), (−6; 6), (−5; 7), (−5; 6), (−3; 4), (−1; 3), (2; −2), (5; 3), (7; 2), (8; −2), (7; −3) và (5,5; −4,5), (5,5; −5,5), (4,5; −6,5), (4,5; −5,5), (5; −2) và (−2; −2), (−1,5; −5,5), (−2,5; −6,5), (−3,5; −6,5), (−2,5; −5,5), (−3; −3); mắt (−7; 5,5).

7. (2; 12), (2; 13), (3; 13.5), (4; 13.5), (5; 13), (3; 4), (8; 4), (6; 1), (3; 1), (2; 2), (2; 4), (4; 11), (4; 12.5), (3.5; 12.5), (2; 11), (2; 12), (3; 12) và (3; 3), (4; 2), (6; 2); mắt (2,5; 12,5).

(Trong bài đọc đã cho và bảy độc giả của A. Naimov đến từ Tajikistan, các điểm được phân tách bằng liên từ “và” không cần phải nối với nhau.)
Bạn đã có được ai?

31

Theo quy luật, chúng ta đến từ khoảng cách xa hơn đáng kể (thường là từ khoảng cách nhìn thấy được là 25 cm), do đó, một chùm tia rất hẹp, có góc nghiêng xấp xỉ bằng nhau, ngay lập tức chiếu vào chúng ta. (Hãy tự kiểm tra xem đối với các tia đi tới tâm và các cạnh của nó, hệ phương trình tương tự như phương trình (1) - (3) sẽ nhất quán, nghĩa là phần kéo dài của tia khúc xạ sẽ cắt nhau tại một điểm.)

Như vậy, chúng ta có thể nhìn thấy các vật thể dưới nước do mắt chúng ta ngay lập tức giới hạn độ rộng của chùm sáng do ảnh tạo ra.

Bài toán 2. Dưới đáy bình chứa đầy nước có một tấm gương phẳng. Một người cúi xuống một chiếc bình, nhìn thấy ảnh của mắt mình trong gương ở khoảng cách $d = 25$ cm (Hình 2). Khoảng cách từ mắt đến mặt nước là $h = 5$ cm. Chiết suất của nước là $n = 4/3$. Xác định độ sâu $H$ của tàu.

Điều quan trọng nhất với lời giải bài toán loại này là việc xây dựng các tia một cách cẩn thận. Giả sử điểm $A$ là một điểm nào đó của mắt người. Để dựng ảnh của một điểm, bạn cần sử dụng ít nhất hai tia.

Hình 2.

Một tia thường được coi là tia vuông góc với mặt phân cách giữa các môi trường khác nhau—trong Hình 2 đây là tia $AB$. Nó đi qua mặt phân cách mà không bị khúc xạ và được phản chiếu từ gương mà không làm thay đổi góc nghiêng.

Tia thứ hai của khoảng trống sẽ là tia tùy ý $AC$. Tại mặt phân cách giữa không khí và nước (tại điểm $C$), nó sẽ bị khúc xạ, nó sẽ chạm tới gương, tại điểm $D$ nó sẽ bị phản xạ khỏi gương, sẽ bị khúc xạ lại tại mặt phân cách (tại điểm $E$) và sẽ được thả vào không khí theo hướng $EF$.

Tại giao điểm của sự tiếp nối của các tia $BA$ và $EF$ sẽ có hình ảnh $A'$ của điểm đã chọn $A$.

Bây giờ chúng ta hãy thực hiện các phép tính. Vì kích thước đồng tử của mắt (chúng nhỏ hơn đáng kể so với khoảng cách $d$, $h$ và $H$), nên tất cả các góc của mắt mà chúng ta quan tâm và các tiếp tuyến của chúng đều có thể được thay thế bằng snuses hoặc chính các góc đó. (Lưu ý rằng trong Hình 2, để rõ ràng, tỷ lệ ngang tăng lên rất nhiều.) Như sau trong Hình 2,

$$|BC| = h \mathrm{tg} \alpha_1 = h \sin \alpha_1,$$
$$|CE| = 2H \mathrm{tg} \alpha_2 = 2H \mathrm{tg} \beta_1 = 2H \sin \beta_1/n,$$
$$d = h + |BA'| = h + |BE|/\mathrm{tg} \beta_3 = h + |BE|/\mathrm{tg} \alpha_1 = h + (|BC| + |CE|)/\sin \alpha_1 = 2h + 2H/n.$$

Từ đây

$$H = n (d/2 - h) = 10\text{ см.}$$

Bạn đã thấy rằng trong bài toán này, mắt vừa là nguồn bức xạ ánh sáng vừa là nơi tiếp nhận nó. Các tình huống tương tự có thể xảy ra khi xét các hệ quang học chứa gương phẳng hoặc gương cầu.

---

Một lớp đặc biệt và rất chung là bài toán, liên quan đến việc điều chỉnh các khuyết tật về mắt với sự trợ giúp của kính. Như đã biết, mắt người có khả năng điều tiết, tức là “thích nghi” với tầm nhìn sắc nét của các vật thể nằm ở những khoảng cách khác nhau với nó. Do những nguyên tắc nhất định, việc xác định acc-

32

các cách điều chế không giống nhau đối với mọi mắt.

Nếu một người nhìn rõ các vật ở khoảng cách không xa hơn một khoảng nhất định thì khiếm khuyết về thị lực như vậy được gọi là cận thị. Nếu một người nhìn rõ các vật ở không gần hơn một khoảng cách nhất định thì đó là viễn thị. Các khuyết tật như cận thị, viễn thị có thể được khắc phục ít nhiều thành công nhờ sự trợ giúp của kính (chính là dấu phẩy bị đảo ngược chứ không thể chữa khỏi).

Kính có vai trò gì? Rõ ràng, thấu kính của họ sẽ tạo ra hình ảnh của các vật thể được chiếu ở những khoảng cách thuận tiện cho một mắt nhất định. Điều này có nghĩa là một trong những yêu cầu đối với thấu kính đeo mắt là hình ảnh của vật thể phải nằm trong tầm nhìn rõ ràng của mắt. Yêu cầu thứ hai là hình ảnh thu được tất nhiên phải thẳng. Và hình ảnh trực tiếp được tạo ra bởi thấu kính mỏng luôn ở mức tối thiểu. Vì vậy, thấu kính của kính phải tạo ra hình ảnh trực tiếp tối thiểu ở khoảng cách trong giới hạn điều chỉnh của mắt.

Chúng ta hãy xem xét hai bài toán cụ thể.

Bài toán 3. Một người cận thị nhìn thấy các vật cách mình không quá 0,5 m. Người này nên kê loại kính nào để được các vì sao yêu mến?

Như chúng tôi đã nói, thấu kính quang học phải tạo ra một ảnh tối thiểu nằm ở khoảng cách mà mắt nhìn thấy ảnh này, trong trường hợp của chúng tôi - ở khoảng cách 0,5 m tính từ mắt.

Vì ảnh của một vật ở xa (và các ngôi sao thực sự ở xa người quan sát) nằm trong mặt phẳng tiêu cự của thấu kính nên người này phải đeo kính với thấu kính có tiêu cự 0,5 m. Trong trường hợp này, các thấu kính phải phân kỳ để hình ảnh là tối thiểu.

Vì vậy, người cận thị nên được kê kính có thấu kính phân kỳ có công suất quang $D = -2$ diop.

Bài toán 4. Một người viễn thị nhìn rõ các vật ở cách mình không quá $d = 1$ m. Anh ta cần chiếc kính nào để trích dẫn gazema khi giữ nó cách mắt $d_0 = 25$ cm?

Chúng ta hãy trình bày rõ ràng những yêu cầu đối với một ống kính đeo mắt trong trường hợp này. Thấu kính này phải tạo ra ảnh tối thiểu của một vật nằm ở khoảng cách $d_0 = 25$ cm (có thể yêu cầu một khoảng cách nhỏ giữa mắt và thấu kính), ở khoảng cách $f = d = 1$ m. Có đủ dữ liệu để sử dụng công thức thấu kính:

$$D = \frac{1}{d_0} - \frac{1}{f} = 3 \text{ дитр}$$

(dấu trừ nằm trong công thức vì hình ảnh phải ở mức tối thiểu).

Như vậy, người viễn thị cần đeo kính có thấu kính hội tụ có công suất quang $D = +3$ diop.

Bài tập

1. Một người cận thị nhìn thấy các vật ở xa mình với khoảng cách từ $d_1 = 10$ đến $d_2 = 50$ cm. Khi viết đơn thuốc cho kính, bác sĩ chỉ chính xác giá trị tuyệt đối của công suất quang của tròng kính mà quên chỉ ra rằng tròng kính là âm. Người này sẽ có thể nhìn thấy ở mức độ nào với kính được chỉ định?

2. Một người quan sát sự phản xạ của các vật thể trong một quả cầu thủy tinh ở giữa có đường kính $2R = 32$ cm. Từ khoảng cách tối đa mà anh ta có thể nhìn thấy các vật không đeo kính, nếu anh ta thường sử dụng kính có cường độ quang học $D = 5$ ditr?

3. Một người nhìn ảnh của mắt mình trong một gương phẳng cách $a = 20$ cm. Nếu đặt một thấu kính hội tụ trên đường đi của tia sáng gần gương thì góc của ảnh sẽ tăng lên 1,5 lần. Trong trường hợp này, hình ảnh vẫn ở mức tối thiểu. Công thức tính khoảng cách thấu kính là gì?

4. Một người quan sát thấu kính của mình trong một chiếc gương lượn sóng đặt cách người đó $a = 15$ cm. Nếu anh ta đeo kính thì gương đó được đặt cách anh ta $b = 10$ cm. Anh ấy đeo kính gì? Khoảng cách ở tầm nhìn tốt nhất của một người có tầm nhìn bình thường được lấy bằng $d_0 = 30$ cm.