Không chuẩn bài toán trong phép đo lập thể

33

Không chuẩn bài toán trong phép đo lập thể

Bất cứ ai đang chuẩn bị cho kỳ thi viết môn toán và nghiên cứu các lựa chọn của Đại học Quốc gia Moscow từ những năm trước về vấn đề này sẽ chú ý đến thực tế là, theo quy định, mỗi lựa chọn được chia khá rõ ràng thành hai phần: ba hoặc bốn phần tương đối dễ bài toán và một hoặc hai phần khó hơn đáng kể. “Cứng” bao gồm đại số (hoặc lượng giác) không chuẩn bài toán hoặc bài toán trong hình học rắn.

Để tin tưởng vào một bài kiểm tra viết bài toán thành công, bạn cần loại bỏ một lượng đủ lớn sự chú ý lời giải không chuẩn bài toán. Về các bài toán không chuẩn trong phép đo lập thể *), được hiển thị từ các biến thể của Đại học quốc gia Moscow, các chi tiết khác trong bài viết này.

Trước hết, chúng tôi nhấn mạnh tầm quan trọng của việc xây dựng một bản vẽ thành công. Khi xây dựng, chúng ta phải nhớ rằng phép chiếu vi phạm nhiều sự tương ứng giữa các phần tử của hình được xây dựng. Cần phải luôn “ghi nhớ” các góc và độ dài thực sự. Không cần phải làm lộn xộn bản vẽ với những chi tiết khó miêu tả. Ví dụ, theo quy định, không cần thiết phải mô tả hình cầu hoặc mặt phẳng phân giác trong bản vẽ. Mặt khác, việc xây dựng bổ sung thành công không chỉ có thể làm rõ cấu trúc của cấu hình không gian mà còn đưa ra ý tưởng hay lời giải bài toán. Sẽ rất hữu ích khi mô tả các phần tử mặt phẳng quan trọng của một hình lập thể nhất định, chẳng hạn như các mặt, mặt cắt hoặc hình chiếu, trong một bản vẽ riêng biệt.

Nhiệm vụ 1 (BMK, 1974). Trong cặp tam giác IDE SABC, tổng ba góc phẳng tại mỗi đỉnh B và C bằng 180° và |SA| = |BC|. Tìm thể tích của paramit nếu diện tích mặt SBC là 100 cm2 và khoảng cách từ tâm của hình cầu ngoại tiếp đến mặt phẳng của đế là 3 cm.

Lời giải. Điều kiện đầu tiên bài toán là điều kiện “bất tiện” nhất khi sử dụng. Để làm cho nó trực quan hơn, hãy xem xét cách mở ra $S_1S_2S_3$ ABC của paramid SABC (Hình 1). Từ điều kiện đầu tiên, các điểm $S_1$, $B$, $S_3$ nằm trên cùng một đường thẳng, cũng như các điểm $S_1$, $C$, $S_2$. Vì BC là đường trung bình của tam giác $S_1S_2S_3$, $|S_2S_3| = 2 |BC|$. Mặt khác, theo điều kiện bài toán, $|AS_3| = |AS_2| = |BC|$. Do đó, tam giác $AS_2S_3$ hóa ra là và sự phát triển đúng là sự phát triển được mô tả trong Hình 2. Ngay sau đó, tất cả các mặt đều là hình tam giác tắc nghẽn. Điều này có nghĩa là (hãy chứng minh điều đó!), khoảng cách từ tâm của quả bóng ngoại tiếp đến tất cả các mặt đều bằng nhau. Nếu chúng ta nối tâm của hình cầu ngoại tiếp với tất cả các đỉnh, thì paramit của chúng ta được chia thành bốn paramit có kích thước bằng nhau, thể tích của mỗi paramit bằng $\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 100 \text{ см}^3 = 100 \text{ см}^3$.

*) Về các bầu cử sơ bộ tiêu chuẩn hơn lời giải lập thể bài toán (đặc biệt, về việc sử dụng vectơ và tọa độ), bạn có thể đọc trong «Kvant» - 1978, số 11, tr. 42 và 1979, không. 1, tr. 45.

34

Thể tích của paramida ban đầu là 400 cm³.

Bài toán 2 (Mekhmat, 1975).
Một quả cầu có bán kính đơn vị nội tiếp tam giác đều paramid SABC có đỉnh S và đáy ABC; góc nhị diện giữa đáy của paramid và mặt bên là 60°. Chứng minh rằng tồn tại một mặt phẳng duy nhất cắt các cạnh đáy AB và BC tại M và N sao cho |MN| = 5, chạm bóng tại một điểm cách đều hai điểm M và N và cắt đường nối tiếp của đường cao SK ngoài điểm K tại một điểm D nào đó. Tìm độ dài đoạn SD.

Lời giải (Hình 3). Chúng ta hãy lưu ý ngay rằng dữ liệu ban đầu hoàn toàn xác định paramida của chúng ta.

Hình 3.

Hình 4.

Hình 5.

Ví dụ, hãy tính chiều dài cạnh của đế. Với mục đích này, chúng ta hãy xem xét một phần đi qua chiều cao của paramidus SK và cạnh bên SB. (Phần như vậy thường được sử dụng trong lời giải bài toán trên một paramid thông thường.) Phần này giao với mặt ASC dọc theo trung điểm SL (Hình 4a); điểm O trên đó là tâm của quả cầu nội tiếp. Vì bây giờ điểm M và N được xác định duy nhất bởi các điều kiện bài toán. Vì mặt phẳng của đế cũng chạm vào quả bóng nên điều kiện bài toán là |MK| = |KN| (bằng chứng!). Hãy |AM| = x. Vậy thì 尼 trước là |CN| = x, hoặc |BN| = x (chứng minh!).

Hãy xem xét trường hợp đầu tiên (Hình 5a). Vì đường thẳng MN song song với cạnh đáy AC nên $\frac{|MB|}{|AB|} = \frac{|MN|}{|AC|} = \frac{5}{6}$ nên x = 1. Đặc biệt, lưu ý rằng |PK| = |KL| — $|PL| = \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$. Do đó, mặt phẳng đi qua (MN) và chạm vào quả bóng cắt phần kéo dài của [SK] ngoài điểm K.

Chuyển sang trường hợp thứ hai (Hình 5b), chúng ta tính giá trị x bằng định lý cosin cho tam giác MBN. Ta được x = $\frac{9 - 4\sqrt{3}}{3}$. (Hãy tự mình tính toán và chứng minh tại sao chỉ giới hạn ở giá trị này của x là đủ.) Bây giờ chúng ta hãy xác định khoảng cách từ điểm K đến đoạn MN. Để làm điều này, hãy tính diện tích của tam giác MKN:

$$S_{MKN} = S_{MBK} + S_{KBN} - S_{MBN} = \frac{1}{2} (6 - x) 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} x\sqrt{3} - \frac{1}{2} (6 - x) x \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{12}.$$

Kể từ đây,

$$KP = \left(2 \cdot \frac{25\sqrt{3}}{12}\right); 5 = \frac{5\sqrt{3}}{6} > 1.$$

Điều này có nghĩa là mặt phẳng đi qua (MN) và tiếp tuyến với quả bóng được chuyển

35

cắt (SK) “trên” điểm $K$, mâu thuẫn với điều kiện bài toán. Như vậy trường hợp thứ hai là không thể được. Sự tồn tại và duy nhất của mặt phẳng mong muốn đã được chứng minh.

Hãy chuyển sang tính độ dài của đoạn $SD$. Hình 6 lại hiển thị phần tương tự như trong Hình 4, $a$. Từ sự giống nhau của tam giác $PKD$ và $QOD$ ta dễ dàng tìm được $|KD| = 6$. Do đó $|SD| = |KD| + |SK| = 9$.

Bài toán 3 (BMK, 1975). Cho một paramida hình tam giác $ABCD$. Các cạnh $AC$ và $BD$ và $AD$ và $BC$ của paramda này được cắt chéo, các cạnh $AB$ và $CD$ bằng nhau, tất cả các cạnh của paramda chạm vào quả bóng có bán kính $r$. Khía cạnh ngụ ý nhất là $ABC$.

Lời giải e. Chúng ta vẽ một mặt phẳng qua cạnh $AD$ vuông góc với cạnh $BC$ (Hình 7). Rõ ràng (tại sao?), mặt phẳng này chứa chiều cao của paramda và $(DE) \perp (BC)$. $|BE|^2 = |AB|^2 - |AE|^2 = |BD|^2 - |DE|^2$; $|EC|^2 = |AC|^2 - |AE|^2 = |CD|^2 - |DE|^2$.

Từ đây
$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BD|^2 + |AC|^2.$$ (1)

Tương tự như vậy
$$|AB|^2 + |CD|^2 = |BC|^2 + |AD|^2.$$ (2)

Bây giờ chúng ta hãy lợi dụng thực tế là tổng chiều dài các cạnh lồi của một tứ giác chuyên dụng, tất cả các cạnh đều chạm bóng, đều bằng nhau. (Bạn hãy tự chứng minh tính chất tương tự của tính chất rút ra của tứ giác đã mô tả.) Áp dụng nhận định này cho tứ giác không gian

Hình 6. Hình 7.

$ABCD$ từ phía $AB, BC, CD$ và $DA$, chúng ta nhận được
$$|AB| + |CD| = |BC| + |AD|.$$ (3)
Mặt khác, chúng ta có thể giả sử rằng $ABCD$ là một tứ giác không gian có cạnh $AB, BD, DC, CA$. Đó là lý do tại sao
$$|AB| + |CD| = |BD| + |AC|.$$ (4)
So sánh các đẳng thức (1) - (4) và đặt $|AB| = a$, ta thu được hai hệ phương trình
$$\begin{cases} |BD|^2 + |AC|^2 = 2a^2, \\ |BD| + |AC| = 2a \end{cases}$$
Và
$$\begin{cases} |BC|^2 + |AD|^2 = 2a^2, \\ |BC| + |AD| = 2a \end{cases}$$
Từ các hệ thống này, dễ dàng suy ra rằng độ dài của tất cả các cạnh của paramda của chúng ta bằng $a$. Rõ ràng, tâm $O$ của quả bóng, chạm vào tất cả các cạnh, trùng với tâm của tứ giác đều $ABCD$. Nhưng $r^2 = r_1^2 + r_2^2$, trong đó $r_1$ là bán kính của quả cầu nội tiếp và $r_2$ là bán kính của hình tròn nội tiếp ở đáy. Vì $r_1 = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{2}{3}}a$ và $r_2 = \frac{\sqrt{3}}{6}a$, $r^2 = \frac{1}{8}a^2$. Do đó $S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = 2\sqrt{3}r^2$.

Bài toán 4 (Khoa Vật lý, 1976). Tất cả các mặt cười phẳng của hình tam giác $SABC$ ($S$ là đỉnh) đều thẳng. Trên mặt ASC, một điểm $D$ được lấy cách đỉnh $S$ 5 cm và cách cạnh $SC$ 3 cm. Từ một điểm $M$ nào đó, nằm bên trong tam giác $SABC$, một tia sáng hướng tới điểm $D$. Chùm tia tạo thành một góc $\frac{\pi}{4}$ với cạnh $SB$ và một góc $\frac{\pi}{3}$ với cạnh $SC$. Chùm tia bị phản xạ đặc biệt từ các mặt của vật $SABC$, đầu tiên là tại điểm $D$, sau đó tại điểm $E$, sau đó tại điểm $F$. Hàm ý nhất của phân đoạn $EF$.

Lời giải e. Ý tưởng hình học của lời giải là “làm thẳng” quỹ đạo của tia dựa trên định luật phản xạ. Lưu ý rằng nếu một tia bị phản xạ từ một mặt phẳng thì tia đối xứng với mặt phẳng này với sự phản xạ của tia đó là sự tiếp tục của tia tới. Hình 8 cho thấy quỹ đạo “làm thẳng” của chúng ta

36

Lucha. Ví dụ: đoạn $E'F'$ có được bằng cách phản ánh lặp lại đoạn $EF$ so với các mặt phẳng của góc tam diện. Từ điều kiện bài toán suy ra điểm $D$ nằm cách cạnh $SA$ 4 cm. Vì chiều dài hình chiếu của đoạn $F'D$ lên cạnh $SC$ là 4 cm và góc giữa chúng là $\frac{\pi}{3}$, $|F'D| = 8\text{cm}$. Điều này có nghĩa là độ dài hình chiếu của đoạn $F'D$ lên cạnh $SB$ bằng $4\sqrt{2}\text{cm}$. Vì tổng bình phương chiều dài của các hình chiếu của một đoạn lên ba trục vuông góc với nhau bằng bình phương chiều dài của nó (“Hình học 10”, § 49), nên hình chiếu của đoạn $F'D$ lên cạnh $SA$ có chiều dài 4 cm. Từ đó, chúng ta có thể thấy rằng tia của chúng ta đầu tiên chạm vào mặt $BSC$, sau đó là mặt $ASB$. Điểm $S$ chia hình chiếu này theo tỷ lệ 1:3. Rõ ràng, điểm $E'$ chia đoạn $F'D$ theo cùng một tỷ lệ. Vì vậy, $|E'F'| = 2\text{cm}$.

Nhiệm vụ 5 (BMK, 1977). Trong tham số $SABC$, một đường thẳng cắt các cạnh $AC$ và $BS$ và vuông góc với chúng, chúng ta đi qua giữa cạnh $BS$. Mặt $ASB$ có kích thước bằng mặt $BSC$ và diện tích mặt $ASC$ gấp đôi diện tích mặt $BSC$. Bên trong tham số có một điểm $M$, tổng khoảng cách từ các thành phần của các đỉnh $B$ và $S$ bằng tổng khoảng cách đến tất cả các mặt của tham số. Tìm khoảng cách từ điểm $M$ đến đỉnh $B$, nếu $|AC| = \sqrt{6}, |BS| = 1$.

Lời giải. Chúng ta hãy biểu thị bằng $K$ và $N$ giao điểm của đường vuông góc chung với các cạnh $AC$ và $SB$ với các cạnh này (Hình 9).

Hình 8.

Hình 9.

Rõ ràng là lời giải bài toán phải bắt đầu bằng việc phân tích những điều kiện không liên quan đến vị trí của điểm $M$. Từ kích thước bằng nhau của các mặt $ASB$ và $BSC$, suy ra rằng các điểm $A$ và $C$ có cùng khoảng cách tính từ cạnh $SB$.

Chúng ta xét tổng quát bài toán về việc tính khoảng cách từ điểm $A$ nằm trên đường thẳng (I) đến đường thẳng (II) (Hình 10). Ta ký hiệu bằng $O_1$ và $O_2$ các đáy của đường vuông góc chung các đường thẳng (I) và (II), $a = |AO_1|$, $d = |O_1O_2|$, $\varphi$ - góc giữa các đường thẳng (I) và (II), $h$ - khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng (II). Từ Hình 10 chúng ta dễ dàng thấy rằng

$$h = \sqrt{a^2\sin^2\varphi + d^2}.$$ (5)

Suy ra rằng hai điểm bất kỳ của một đường thẳng (I), nằm cách một đường thẳng (II) những khoảng cách bằng nhau, thì cách đều một khoảng cách bằng nhau tính từ đáy của một đường vuông góc chung với các đường thẳng này. Do đó, điểm $K$ là trung điểm của đoạn $AC$. Hơn nữa, các điểm $S$ và $B$, theo công thức (5), hóa ra có khoảng cách bằng nhau so với cạnh $AC$, có nghĩa là các mặt $ASC$ và $ABC$ có kích thước bằng nhau. Công thức (5) mà chúng tôi rút ra cũng cho phép chúng tôi viết ra diện tích của các mặt $ASC$ và $BSC$:

$$S_{ASC} = p = \frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{\frac{1}{4}\sin^2\varphi + d^2},$$

$$S_{BSC} = q = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{2}\sin^2\varphi + d^2}.$$ (6)

Từ điều kiện bài toán $p = 2q$ hoặc

$$\frac{\sqrt{6}}{2} \sqrt{\frac{1}{4}\sin^2\varphi + d^2} = \sqrt{\frac{3}{2}\sin^2\varphi + d^2},$$ (7)

37

Ở đâu
$$d = \frac{3}{2} |\sin \varphi|.$$ (8)

Vì vậy, việc xác định góc φ giữa các cạnh AC và SB xác định hoàn toàn tham số thỏa mãn tất cả các điều kiện bài toán, ngoại trừ những điều kiện mà chúng ta đang nói về điểm M.

Lưu ý rằng trong phần xem xét tiếp theo của chúng ta, đoạn KN cũng thuộc các mặt phẳng phân giác của các tham số góc nhị diện có cạnh AC và SB.

Bây giờ chúng ta chuyển sang phân tích vị trí của điểm M. Vai trò đặc biệt của đoạn KN, được xác định trong phân tích trước, cho phép chúng ta giả sử rằng điểm M, thỏa mãn các điều kiện về góc nhị diện, có các tham số với các cạnh AC và SB. Nếu mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng phân giác của một góc nhị diện thì tổng khoảng cách từ bất kỳ điểm nào của nó bên trong góc này đến các mặt là không đổi. (Hãy tự chứng minh điều này bằng cách sử dụng thực tế là tổng khoảng cách từ điểm đáy của tam giác đùi đến các cạnh bên của nó là một giá trị không đổi.)

Như vậy, tổng khoảng cách đến cả 4 mặt, các thông số từ điểm M và L đều bằng nhau. Hãy biểu thị số tiền này bằng l và tính toán nó. Đặt $x = |KL|$ và $V$ là tham số âm lượng. Rõ ràng, tổng khoảng cách từ điểm N đến các mặt ABC và ASC bằng $\frac{3V}{p}$. Điều này có nghĩa là tổng khoảng cách từ điểm L đến các mặt giống nhau bằng $\frac{x}{d} \cdot \frac{3V}{p}$. Tổng khoảng cách từ điểm L đến các mặt BSC và ASB được tính tương tự: bằng $\frac{d-x}{d} \cdot \frac{3V}{q}$.

Vì vậy, $l = \frac{x}{d} \cdot \frac{3V}{p} + \frac{d-x}{d} \cdot \frac{3V}{q}$. Sử dụng công thức $V = \frac{1}{6} \times |AC| \cdot |BS| \cdot |KN| \cdot |sin \varphi|$ (tự rút ra công thức hữu ích này) và công thức (6) và (8), chúng ta thu được $l = 2\sqrt{\frac{2}{5}}(d-x/2)$.

Mặt khác, $|SM| + |BM| \geqslant |SL| + |BL|$ (chứng minh điều đó!) và do đó $l \geqslant |SL| + |BL|$.

Không $|SL| + |BL| = 2\sqrt{1/4 + (d-x)^2}$, từ
$$2\sqrt{\frac{2}{5}}(d-x) \geqslant 2\sqrt{1/4 + (d-x)^2}$$

hoặc
$$0.9x^2 - 1.6dx + 0.6d^2 + 0.25 \leqslant 0.$$ (9)

Theo (8) $d \leqslant 3/2$, do đó phân biệt D của tam thức bình phương trong (9) không vượt quá 0 và do đó, $D = 0$, $d = \frac{3}{2}$, $x = \frac{4}{3}$, điểm M trùng với điểm L và

$$|MB| = \sqrt{1/4 + (d-x)^2} = \frac{\sqrt{10}}{6}$$.

Tóm lại, chúng tôi lưu ý rằng lời giải bài toán mà chúng tôi đã đưa ra không thể được coi là ví dụ về thiết kế của tác phẩm viết. Chúng tôi chỉ tìm cách trình bày những ý chính và ví dụ lời giải, đôi khi để lại cho người đọc những chi tiết quan trọng để sàng lọc độc lập.

Y sắp kết hôn
1 (BMK, 1974). Trong tam giác paramid SABC, tổng ba góc phẳng tại mỗi đỉnh A, B và C bằng 180°. Tìm khoảng cách giữa hai cạnh SA và BC, biết BC=4 cm, AC=5 cm, AB=6 cm.
2 (BMK, 1975). Tất cả các cạnh của một paramit hình tam giác đều chạm vào một quả bóng nào đó. Đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh AB và CD, AC và BD, AD và BC thì chúng bằng nhau. Góc DBC bằng 50° và góc BCD lớn hơn góc BDC. Tìm tỉ số diện tích các mặt ABD và ABC.
3 (Mekhmat, 1976). Bên trong hình nón hình chữ nhật, chạm vào đáy, nằm