Viện thép và hợp kim Moscow

39

Tùy chọn
kỳ thi tuyển sinh
trong thử thách năm 1978

Viện Mátxcơva
thép và hợp kim

Vào năm «Kvant», 1979, số 5, các phiên bản đề thi đầu vào môn vật lý đã được xuất bản. Dưới đây chúng tôi đã xuất bản các lựa chọn cho Kỳ thi tuyển sinh Toán học (thi viết) năm 1978. Ngoài bản thân các phương án lời giải và đáp số, đây là bản phân tích chi tiết về một trong các phương án, chỉ ra những sai lầm điển hình của học sinh.

Toán học

Năm 1978, MISIS tổ chức kỳ thi tuyển sinh môn toán theo chương trình mới cho năm thứ hai. Thay vì ổn định giá trị của người nộp đơn mà chúng tôi mong đợi trong năm nay, chúng tôi buộc phải lưu ý rằng không có sự cải thiện đáng chú ý nào về mức độ sẵn sàng của họ và thậm chí có sự giảm nhẹ về mức độ đó. Điều này đặc biệt áp dụng cho các phần của khóa học ở trường dành cho sự khác biệt và hội nhập. Bài toán đặc biệt khó với hình học: hầu như không ai có khả năng áp dụng đại số vectơ vào lời giải hình học bài toán.

Để tăng độ khó cho các lựa chọn, các khoa của MISIS có thể được sắp xếp như sau: Khoa Kỹ thuật, Khoa Luyện kim Kim loại đen và Hợp kim, Khoa Luyện kim Kim loại và Hợp kim phi kim và hiếm, Khoa Vật liệu và Thiết bị Bán dẫn, Khoa Vật lý và Hóa học.

Khoa Vật liệu bán dẫn

1. Tìm miền hàm

$$y = \sqrt{\log_{0.5}(3x - 8) - \log_{0.5}(x^2 + 4)}$$

bài toán này bao gồm một hệ bất đẳng thức lời giải. Nhiều người trong số những người nộp đơn không thể hiểu chính xác hệ bất đẳng thức này vì Plyugo có kiến ​​thức về hàm tuyến tính và hàm logarit. Hệ bất đẳng thức có dạng

$$\begin{cases} 3x - 8 > 0 \\ \frac{3x - 8}{x^2 + 4} \leq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3x - 8 > 0 \\ x^2 - 3x + 12 \geq 0. \end{cases}$$

Một số người nộp đơn không thể giải hệ này một cách chính xác, mặc dù từ thực tế là bất đẳng thức thứ hai được thỏa mãn với tất cả $x \in \mathbb{R}$ người ta ngay lập tức nhận được đáp số: $x > \frac{8}{3}$.

2. Giải phương trình lượng giác

$$\frac{1}{1 + \text{ctg}x} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1 - \text{ctg}x}{2(1 + \text{ctg}x)}$$

Những lỗi điển hình ở đây như sau: sự vô nghĩa của các công thức cơ bản của lượng giác chẳng hạn

$$\cos \left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos x \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sin x \cdot \sin \frac{\pi}{4},$$

$$\text{ctg}x = \frac{\cos x}{\sin x};$$

có được rễ được xây dựng.

Ví dụ, phương trình này có thể được giải như sau.

$$\sin x \neq 0, 1 + \text{ctg}x \neq 0 \Rightarrow x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi.$$

$k \in \mathbb{Z}$, $x \neq m\pi$, $m \in \mathbb{Z}$.

Hãy biến đổi phương trình

$$1 + \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right) \times \left(1 + \frac{\cos x}{\sin x}\right) = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{\cos x}{\sin x}\right) \Rightarrow (1 + \text{ctg}x) \left(\cos x + \sin x + 1\right) = 0.$$

1. $1 + \text{ctg}x = 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$

không nằm trong phạm vi định nghĩa.

2. $\cos x + \sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x + \frac{\pi}{4} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{4} + k\pi \Rightarrow x = \left[(-1)^{k+1} - 1\right] \frac{\pi}{4} + k\pi = \left(2\pi + 1\right) \pi, k = 2n + 1$

$-\frac{\pi}{2} + 2n\pi, k = 2n$

40

$x = (2n + 1)\pi$ nằm ngoài phạm vi. Đáp số $x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}$.

3. Tìm phương trình tiếp tuyến chung của đường cong

$y = x^2 + 4x + 8$ và $y = x^2 + 8x + 4$. Hầu hết những người nộp đơn trượt bài toán đều không thể viết chính xác phương trình tiếp tuyến của một đường cong. Lời giải bài toán sau: phương trình tiếp tuyến của đường cong thứ nhất và thứ hai

$$\begin{cases} y = f'(x_1)(x - x_1) + f(x_1), \\ y = g'(x_2)(x - x_2) + g(x_2). \end{cases}$$

Điều kiện để tiếp tuyến phổ biến là

$$\begin{cases} f'(x_1) = g'(x_2) \\ f(x_1) - f'(x_1) \cdot x_1 = g(x_2) - g'(x_2) \cdot x_2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x_1 + 4 = 2x_2 + 8 \\ -x_1^2 + 8 = -x_2^2 + 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 0. \end{cases}$$

Ta thu được phương trình tiếp tuyến chung

$y = 8x + 4$.

4. Tìm giới hạn của dãy

$x_n = \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} + \dots + \frac{1}{n(n+1)(n+2)(n+3)}$

$= \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$.

Một sai lầm điển hình: mọi người đi đến kết luận rằng số hạng cuối cùng trong tổng có xu hướng bằng 0 và trên cơ sở đó họ quyết định rằng giới hạn bằng số hạng đầu tiên hoặc tổng của một số số hạng đầu tiên, tùy thuộc vào sở thích cá nhân. Đồng thời, họ quên rằng số lượng số hạng trong tổng tăng khi tăng $n$. Bạn có thể giải bài toán một cách chính xác, chẳng hạn như thế này. Hãy mở rộng số hạng chung $\frac{1}{k(k+1)(k+2)(k+3)}$ thành tổng của các phân số đơn giản và cộng các phân số này như sau:

$$x_n = \sum_{k=2}^{n} \left[ \frac{1}{6} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k+2} - \frac{1}{k+1} \right) \right] = \frac{1}{6} \left[ \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+3} \right) \right] + \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{4} \right) + \dots + \left( \frac{1}{6} - \frac{1}{5} \right) \right] + \dots +$$

$$+ \left( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+1} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) - \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+3} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3}$$

Từ đây

$$\lim_{n \to \infty} x_n = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) - \frac{1}{6} + \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{2(n+2)} - \frac{1}{6} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3} \right) \right] = \frac{1}{6} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{4} - 1 + 0 = \frac{1}{72}$$

5. Điểm $A(1; 2; 3), B(1; 5; 3), C(3; 3; 3)$ nằm trên đường tròn đáy dưới của hình trụ và điểm $D(2; 3; 7)$ nằm trên đáy trên của nó. Tìm tọa độ tâm của các đáy và thể tích của hình trụ.

Lấy vsterometry làm ví dụ, hầu hết người nộp đơn đều không thể giải quyết được nhiệm vụ này. Ví dụ: bạn có thể đề xuất lời giải này:

1. Ta hãy lập phương trình mặt phẳng đi qua các điểm $A, B$ và $C$ (rõ ràng là đi qua tâm $O$ của đáy dưới)

$$ax + by + cz + d = 0.$$

Để xác định $a, b, c$ và $d$, chúng ta thu được một hệ (tọa độ của điểm $A, B, C$ thỏa mãn phương trình mặt phẳng).

2. Hãy để $O(x; y; z)$. Khi đó để xác định $(x; y; z)$ ta có hệ phương trình

$$\begin{cases} z = 3 \\ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 3)^2 = \\ = (x - 1)^2 + (y - 5)^2 + (z - 3)^2 = \\ = (x - 3)^2 + (y - 3)^2 + (z - 3)^2 \end{cases}$$

$$\Rightarrow \begin{cases} z = 3 \\ y^2 - 4y + 4 = y^2 - 10y + 25 \\ x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = \\ = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 6y + 9 \end{cases}$$