Thiên văn học: khoa học và những người tạo ra nó

58

Thiên văn học: khoa học và những người sáng tạo ra nó

“Đối với tôi, những con đường mà con người đi vào số phận của các hiện tượng thiên thể dường như cũng đáng kinh ngạc như chính những hiện tượng này” - những lời này, thuộc về một trong những nhà thiên văn học vĩ đại nhất Johannes Kepler, được dùng làm lời nhắc trong cuốn sách “Những người khám phá bầu trời” của D. Herrmann *). Cuốn sách đề cập đến lịch sử tích lũy và phát triển kiến ​​thức thiên văn; nó nói về những khám phá và quan niệm sai lầm, về những đấu tranh và đấu tranh giữa các ý tưởng, về số phận hạnh phúc và cay đắng của những người sáng tạo ra khoa học.

Chiêm tinh học là một trong những ngành khoa học lâu đời nhất, có lẽ là cổ xưa nhất. Nguồn gốc của nó bắt nguồn từ thời xa xưa, khi một người lần đầu tiên tự hỏi mình câu hỏi: nó là gì - bầu trời đầy sao trải rộng trên đầu anh ta? Và một điều nữa: buổi sáng mặt trời đến từ đâu và đi đâu? Tại sao mặt trăng lại thay đổi hình dáng từ đêm này sang đêm khác, dần dần từ một trái tim khó nhận thấy thành một chiếc đĩa bạc sáng ngời, rồi lại bị hư hỏng như bị một phép lạ nào đó nuốt chửng? Có lẽ những sinh vật phi thường và các thế lực chưa biết thực sự có liên quan đến việc này? Và thế là huyền thoại nảy sinh, các vị thần sinh ra đòi hỏi sự tôn thờ và phải bị nghiền nát, hoặc những người khỏe mạnh và mùa màng bội thu, một cuộc đi săn thành công và sự trở về an toàn sau một chiến dịch phụ thuộc vào họ. Đổi lại, thần thoại đặt tên cho nhiều ngôi sao, chòm sao và tinh vân.

Đây là một lời kêu gọi ngây thơ hướng tới các vì sao, giống như nỗ lực của các linh mục nhằm giải thích

*)D. Herrmann. Những cái mở của bầu trời. Bản dịch từ tiếng Đức. M., “Mir”, 1981.

các hiện tượng thiên thể nhằm mục đích dự đoán các sự kiện lớn thậm chí không phải là điềm báo trước của thiên văn học. Nhưng điều gì nên được coi là sự khởi đầu của nó? Tác giả cuốn sách coi bước đầu tiên và quan trọng nhất hướng tới việc xác lập thiên văn học như một khoa học là việc tổng hợp một cách có hệ thống danh sách các chòm sao có thể nhìn thấy vào ban đêm; danh sách này cũng xuất hiện ở Ai Cập cổ đại vào khoảng năm 2000 trước Công nguyên. đ. Như vậy, lịch sử phát triển của thiên văn học đã có gần bốn nghìn năm. Những ý tưởng đã được thiết lập và thông lệ kéo dài hàng thế kỷ đã được thay thế bằng những thời kỳ thay thế nhanh chóng, những biến động mang tính cách mạng và sự phá vỡ các quan điểm và khái niệm quen thuộc đã được thiết lập. Khoa học này vẫn đang trải qua một sự gia tăng như vậy ngày nay. Ông nổi tiếng với việc thâm nhập vào độ sâu xa xôi của Vũ trụ, khám phá các xung, chuẩn tinh và các vật thể kỳ lạ khác, đồng thời đưa các thiết bị thiên văn ra ngoài Trái đất - tới các vệ tinh và trạm vũ trụ.

Tất nhiên, trong 200 trang cuốn sách của mình, tác giả có thể bao quát toàn bộ lịch sử thiên văn học thế kỷ 40 một cách đầy đủ, nhưng ông đã làm hết sức có thể, vẽ nên một bức tranh logic, mạch lạc về việc cải thiện các ý tưởng về thế giới, thể hiện mối quan hệ của những ý tưởng này với sự phát triển kinh tế xã hội của con người. Đối với người Smichtian, “những người khám phá bầu trời”, mục lục tên của cuốn sách chứa hơn 250 tên của các nhà khoa học có đóng góp đáng kể cho thiên văn học. Danh sách này có thể không đầy đủ, nhưng nó khá đầy đủ. Và quan trọng nhất, lời kể được thực hiện theo kiểu kể chuyện tự nhiên, trò chuyện với người đọc. Cuốn sách thậm chí còn không có số chương và phần, bản thân tựa đề cũng không chuẩn mực, lôi cuốn và hấp dẫn. Ví dụ, trong cuốn sách “Otgaroni of the World to the Universal Law” có các phần sau: “Nhà nghiên cứu từ Uraniborg” (về Tycho Brahe), “Brage tìm kiếm sự thỏa hiệp lời giải”, “Thế giới hình học” (về các công trình của Kepler), “Cuộc gặp ở Praha”, “Trước ngưỡng cửa của cơ học thiên thể”, “Kẻ dị giáo” (về Giordano Bruno), “Xung đột giữa lý trí và quyền lực” (về Galilee).

Rất khó để kể lại nội dung của một cuốn sách như vậy, vì vậy chúng tôi sẽ giới hạn ở mức tổng quan ngắn gọn về nó và chỉ đi sâu vào chi tiết hơn ở một số điểm.

Cuốn sách mở đầu, “Những ngôi sao trên Babylon”, nói về thời tiền sử của thiên văn học: về những quan sát Mặt trời, Mặt trăng và các ngôi sao ở Babylon và Ai Cập, về lịch cổ và những lời tiên tri của các linh mục, về những đài quan sát đầu tiên và các công trình kiến ​​trúc đồ sộ như “Máy tính thời đồ đá”, giúp dự đoán chuyển động của Mặt trời và Mặt trăng, và thậm chí, theo các nhà khoa học, cả nhật thực của chúng.

Trong chương “Cuốn sách có hình ảnh và hệ thống bánh xe”, ông nói về sự xuất hiện của thiên văn học như một môn khoa học, nguồn gốc của nó là những quan sát có hệ thống về vị trí và chuyển động của các ngôi sao được thực hiện ở Hy Lạp cổ đại, việc nhóm các ngôi sao trong một chòm sao, biên soạn danh mục các ngôi sao và bản đồ bầu trời đầy sao, v.v. - cho đến nỗ lực xây dựng một bức tranh thống nhất về thế giới. Vương miện của thiên văn học Hy Lạp cổ đại là hệ thống địa tâm của Ptolemy, theo đó ở trung tâm thế giới có các dụng cụ cố định và con mắt của chính mình. Người ta chỉ có thể ngưỡng mộ sự uyên thâm và trí tuệ của các nhà khoa học cổ đại - Eudoxus, Aristotle, Hipparchus và cùng Ptolemy, những người đã xây dựng các quỹ đạo phức tạp về chuyển động của các thiên thể dưới dạng epiicles, lệch tâm, hình cầu địa tâm, v.v.

Nhiều nhà khoa học đã nhận thức được những hạn chế của hệ địa tâm và nó sẽ không tồn tại được lâu nếu

60

Đáp số, gợi ý, lời giải

Đại học bang Yerevan

Toán học
Tùy chọn 1

1. $$\frac{5-3\sqrt{5}}{10}; 2$$.
2. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} k (k \in \mathbb{Z})$.
3. Điểm tối thiểu $x = 0$ và $x = 4$, điểm tối đa $x = 2$.
4. $$\frac{\pi\sqrt{2}}{4}$$.
5. $$\frac{(h-r)^2}{2(h-2r)}$$.
   Tùy chọn 2
6. $x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, x_2 = 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.
7. $[1; 2 [\cup] 2; 5]$.
8. $$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$$.
9. $x = 1, y = 1$.
10. Góc ở đáy bằng arccos $$\frac{3+\sqrt{3}}{6}$$ hoặc arccos $$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$$.
    Tùy chọn 3
11. $\{-1\}$.
12. $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} k (k \in \mathbb{Z})$.
13. $]4; +\infty[$.
14. $$\frac{2}{5}$$.

Vật lý

1. $a_1 = 2g \frac{m_2-2m_1}{4m_1+m_2} \approx 2,8 \text{ m/c}^2$;
   $a_2 = g \frac{m_2-2m_1}{4m_1+m_2} \approx 1,4 \text{ m/c}^2$;
   $T_1 = \frac{3m_1m_2g}{4m_1+m_2} \approx 1,3 \text{ H}$;
   $T_2 = 2T_1 = \frac{6m_1m_2g}{4m_1+m_2} \approx 2,6 \text{ H}$.
2. $h = 5R/3$.
3. $r_2 = r_1 \sqrt[3]{\frac{p}{p+\rho g h} \frac{T_2}{T_1}} \approx 1,4 \text{ cm}$
   $(p = 10^5 \text{ Pa} - \text{ нормальное атмосферное давление}, \rho = 10^3 \text{ kg/m}^3 - \text{ плотность воды})$.
4. $Q = \frac{m_1m_2(v_1+v_2)^2}{2(m_1+m_2)} = 15 \text{ Дж}$.
5. Đối với bất kỳ điểm nào trên trục của vòng, hướng của trường điện tử được hướng dọc theo trục đến tâm của vòng và mô hình định hướng bằng

$$E = \frac{|q|L}{4\pi\varepsilon_0(R^2+L^2)^{3/2}}.$$
Đối với ba giá trị đã cho của $L$, chúng ta lần lượt thu được $E = 0; 1600; 1150 \text{ B/m}$.
6. $I = \frac{\varepsilon_0 Uv \sqrt{S}}{d} \approx 3,2 \cdot 10^{-8} \text{ A}$.
7. $F = I \sqrt{\frac{2U}{e/m}}$.
8. $\mathcal{E} = B\omega l^2/2 = 0,5 \text{ B}$.
Viện thép và hợp kim Moscow
Toán học
Tùy chọn 1

1. $\{(-1; 2)\}$.
2. $\left\{\frac{5}{4}\right\}$.
3. $x = \pi k (k \in \mathbb{Z})$.
4. $]-\infty; 1[ \cup ]3; 5[$.
5. Các mặt phẳng chứa các đáy của hình trụ cần thiết được đặt cách tâm quả bóng khoảng $$\frac{\sqrt{3}}{3} R$$.
   Tùy chọn 2
6. $\{1\}$.
7. $]-\infty; -1] \cup ]5; 6]$.
8. $x = \frac{\pi}{2} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$.
9. $\{(6; 0)\}$.
10. $(0; 0), (2; 2\sqrt{3}), (6; 2\sqrt{3}), (8; 0) \text{ и } (0; 0), (2; -2\sqrt{3}), (6; -2\sqrt{3}), (8; 0); 12\sqrt{3}$.

Vật lý

1. $t = \sqrt{\frac{2l}{g+F/m}} \approx 0,28 \text{ c}$.
2. $E/E' = 169/121$.
3. $p_2 = T_2 \left(\frac{p_1}{T_1} - \frac{mR}{\mu V}\right) \approx 3,6 \cdot 10^5 \text{ Pa}$.
4. $E = (\varrho - \varrho_0) \frac{\pi d^3 g}{6q} \approx 4 \cdot 10^4 \text{ B/m}$.
5. $U_1 = U \frac{\varepsilon_2 d_1}{\varepsilon_2 d_1 + \varepsilon_1 d_2} \approx 47 \text{ B}$;
   $U_2 = U \frac{\varepsilon_1 d_2}{\varepsilon_2 d_1 + \varepsilon_1 d_2} \approx 253 \text{ B}$.
6. $Q = \varrho j^2 \approx 1,54 \cdot 10^3 \text{ Bt/m}^3$.
7. $R = \frac{E l}{v_0 B} \approx 5 \cdot 10^{-3} \text{ M}$.
8. $\varepsilon = \frac{\lambda^2 d}{4\pi^2 c^2 L\varepsilon_0 S} \approx 6$ (ở đây $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/c}$ là tốc độ ánh sáng).
9. $v = c \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} \approx 1,7 \cdot 10^8 \text{ m/c}$.
10. $q_2 = \frac{2\pi\varepsilon_0 Rmv_0^2}{q_1} \approx 2 \cdot 10^{-6} \text{ KJ}$.

Viện thủy văn Moscow
Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. $$\frac{6}{7}, -\frac{2}{7}, -\frac{3}{7}$$.

61

2. $\left\{-\frac{3}{2}, -1\right\}$.
3. $x = 2\pi k (k \in \mathbb{Z})$.
4. $\frac{\pi}{6}$.
5. $\sqrt[3]{4V}$.

Tùy chọn 2

1. $\pm \sqrt{2} (4i + 3j)$.
2. $\{2\}$.
3. $\max_{[-2; 2]} y = y(2) = 4, \min_{[-2; 2]} y = y(-2) = -24$.
4. $x = (-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$.
5. $4 \ln 3 - 2$.

Bài toán thi vấn đáp

1. $2^{x^2}, 2^{2x}$.
2. $y = -\frac{5}{3} x + \frac{1}{3}$.
3. $y = \frac{7}{6} x^2 - \frac{13}{6} x + 1$.
4. a) $y = \frac{1}{2} x + 2$; 6) $y = 2 \cdot 10^x$; b) $y = -\sqrt{x+1}$.
5. a) Chẵn; 6) và b) Lẻ.
6. a) $] -\infty; \frac{1}{2} [; 6) [1; 5]; \text{b)} ] -1; 1 [\bigcup] 2; +\infty [; \text{г}) ] -\infty; -5 [\bigcup] -5; -4 [\bigcup] 4; 5 [\bigcup] 5; +\infty [; \text{д}) ] -\infty; 0]$. 8. a) $-7$; 6) 3; b) 1.
7. a) $6(\sin 2x + 8)^2 \cdot \cos 2x$; 6) $\frac{1}{2x \cdot \sqrt{\ln x}}$;
   b) $\frac{\cos 2x}{\sqrt{\sin 2x}}$.
8. $y = -5x + 2$.
9. $-\cos x + x + C$.
10. $] 0; \frac{1}{6} [$.
11. $\{-1; 3\}$. Tại $a = -1 (0; -1)$, tại $a = 3 (-2; 1)$.
12. $\frac{\sqrt{14}}{2}$.
13. 1. Lời giải. Hãy vẽ đường kính $AO$ (Hình 1). Vì $|AO|^2 + |CO|^2 = |AC|^2$, $(AO) \perp (CD)$. Chúng ta hãy giới thiệu một hệ tọa độ có gốc tọa độ ở tâm hình cầu $O$, trục x $[OD]$, trục tọa độ $[OA]$ và vuông góc với

Hình 1.

Tôi sẽ xem qua đơn đăng ký. Vì $\overrightarrow{OD} = (1; 0; 0)$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Vì vậy, $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = \cos \widehat{BOD} = \frac{1}{2}$. Do đó, $\widehat{BOD} = \frac{\pi}{3}$ và $\triangle BOD$ là bằng nhau.

Vật lý

1. $h_{\max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} = 4,5$ km; $t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} = 60$ tr.
2. $F_1 = mg; F_2 = m(g-v^2/R); F_3 = m(g+v^2/R)$.
3. $s = \frac{m^2 v^2}{2 \mu g M^2} \approx 0,3$ m.
4. $p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2} \approx 1,9$ mPa.
5. $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 + |q_2|}{(r/2)^2} \approx 5 \cdot 10^4$ V/m.
6. $r = \frac{R_1 R_2 (U_2 - U_1)}{U_1 R_2 - U_2 R_1} = 0,5$ Ôm.
7. $P = \frac{c \varrho V(t_k - t)}{\eta \tau} = 800$ W (ở đây $t_k = 100^\circ C$ là nhiệt độ sôi của nước; $\eta = 0,7$).
8. $F = IlB \sin \alpha \approx 0,04$ H.
9. $l = h tg \alpha + (H - h) tg \beta = h + \frac{(H - h) \sin \alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}} \approx 2,9$ m.
10. Ảnh của vật sẽ nhỏ đi nếu vật ở sau tâm gương.

Viện kỹ thuật công nghiệp thực phẩm Moscow

Matematika
Tùy chọn 1

1. 2,52. 2. 32. 3. 64. 4. {0}. 5. -1. 6. {-3}.
2. 4. 8. 135°. 9. 1. 10. 4,5.
         Tùy chọn 2
3. 48. 2. 36. 3. 13. 4. $\frac{1}{2}$. 5. 1. 6. 25°. 7. 5.

Tùy chọn 3

1. 15. 2. 3,75. 3. {1}. 4. {16}. 5. 2. 6. 0.
2. 60°. 8. 4,5. 9. 160. 10. 0.

Vật lý

1. $a = g \frac{m_2}{2m_1 + m_2} = 2$ m/s².
2. $v = \sqrt{g l/2} = 10$ m/s.
3. $T = \pi d/v = 0,3$ tr.
4. $\eta = \frac{cm_2 \Delta T}{qm_1} = 100\% = 34\%$.
5. $U = \frac{(\varepsilon_1 + \varepsilon_2) R}{r_1 + r_2 + R} = 2,5$ V.
6. $B = \frac{U}{vl} = 0,04$ Tl.

62

7. $f = -\frac{Rd}{R+2d} = -0,65$ m (dấu trừ cho biết ảnh của vật là nhỏ nhất).
8. $n_{cT} = n_B \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 1,5$.

Trường Kỹ thuật Hàng hải Cao cấp Muranna được đặt theo tên. Lênin Komsomol

Toán học
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. $\frac{1}{ab^5\sqrt{a^3}}$.
2. {9}.
3. $[-1; \frac{7}{3}]$.
4. $x_1 = (-1)^k \arcsin \frac{-2+3\sqrt{6}}{10} + \pi k,$
   $x_2 = (-1)^{l+1} \arcsin \frac{2+3\sqrt{6}}{10} + \pi l$ ($k, l \in \mathbb{Z}$).
5. $\frac{\pi n^2 \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$.
   Tùy chọn 2
6. $-12^3\sqrt{x^2}$.
7. {2, 9}.
8. [2; 3].
9. $x = -\arctg \frac{1}{3} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
10. $64\pi dm^3$.

Bài thi vấn đáp
2. —. 3. ]-1; 0] $\bigcup\{1\}$. 4. $\left[\frac{1}{4}; \frac{3}{2}\right]$.
5. $[-2; 4]$. 6. $\frac{8}{3}$. 7. $90^\circ$. Gợi ý. Áp dụng định lý ba đường vuông góc.

Vật lý

1. $v_{21} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} - 2v_1v_2 \cos (\alpha_2 - \alpha_1) \approx 6,2$kt.
2. $\frac{P_1}{P_2} = \frac{gT^2 - 4\pi^2R \cos \varphi}{gT^2 - 4\pi^2R} \approx 1,002$ (ở đây $T = 24$ h là chu kỳ quay của Trái đất; $R = 6400$ km là bán kính Trái đất).
3. Mực nước sẽ giữ nguyên.
4. $N_1 = N_A \frac{\rho_B V}{\mu_B} \approx 3,3 \cdot 10^{22}$;
   $N_2 = N_A \frac{p_0 V}{RT_0} \approx 2,7 \cdot 10^{19}$ (ở đây $\rho_B = 1$ g/cm$^3$ là mật độ của nước ngọt, $\mu_B = 18$ g/mol là khối lượng mol của nó, $p_0 = 10^5$ Pa và $T_0 = 273$ K là áp suất và nhiệt độ trong điều kiện bình thường, $R = 8,31$ J/(mol K) là hằng số khí phổ quát).
5. $A = \frac{q^2}{2\pi\varepsilon_0 r} \approx 0,09$ J.
6. $q = (r_1 + r_2) \sqrt{\frac{8\pi\varepsilon_0 W}{r_2}} \approx 1,7 \cdot 10^{-6}$Cl.
7. $N = \frac{mgh}{\eta t} \approx 4,5$ kW; $I = \frac{N}{U} \approx 35,8$ A.
8. Điện dung của tụ điện phải tăng lên $(\lambda f/c)^2 = 2,25$ lần (ở đây $c = 3 \cdot 10^8$ m/s là tốc độ ánh sáng).

Matematika
Tùy chọn 1

1. $S = \frac{\sqrt{3}}{48} \cos \alpha a^2$, $V = \frac{tg \alpha}{48} a^3$.
2. $x_1 = \pi k$, $x_2 = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} l$ ($k, l \in \mathbb{Z}$).
3. {2, 3}.
4. {2}. Gợi ý. Gắn nhãn $\sqrt{x+7}$ bởi $t$.
5. $\frac{1}{4}$.
   Tùy chọn 2
6. 2 arctg $(2\sqrt{3} k)$.
7. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
8. ] 0; $\frac{2}{7}$ [.
9. $\frac{3(1-a)}{1+b}$.
10. π.

Vật lý
Tùy chọn 1
2. Không, nó sẽ không.
3. $v = \sqrt{Rg} = 42$ m/c.
4. $E_{k\max} = hc/\lambda = 6,62 \cdot 10^{-15}$ J ≈ 41 keV;
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2hc}{\lambda m}} \approx 1,2 \cdot 10^8$ m/c.

Tùy chọn 2
2. Chu kỳ bánh xe sẽ tăng lên.
3. $\frac{m_{pac} m}{m} = \frac{2c(t-t_0) + v^2 - v_0^2}{v^2 - 2\lambda} \approx 0,14$.
4. $R = \frac{mv}{eB} \approx 0,13$ m.

Tùy chọn 3
2. Xem hình. 1.
3. $v = \frac{m_1 v_0 \sin \alpha}{m_1 + m_2} \approx 1,2$ m/c.
4. Electron đã chuyển sang mức năng lượng thứ ba. Có thể tăng ba vạch trong phổ phát xạ.

Nhiệm vụ của độc giả của chúng tôi
(xem «Kvant» số 1, trang 39)

1. Vì $22...2 = 2 \cdot \frac{100^{991}-1}{9}, 100^{991}-1 = 1$ chia hết cho 991 theo Định lý nhỏ Fermat và các số 9 và 991 là số nguyên tố chung nên số 22…2 chia hết cho 2 • 991 = 1982.
   1980 “Hai”
2. Đặt $q$ là một số nguyên tố và $t$ là số mũ của mức mà $q$ đưa vào phân tích thành thừa số nguyên tố của $l! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot l$. Chính xác thì mức trung bình không vượt quá $l$

63

Chia hết cho $q$; trong số các số là bội số của $q$ thì $\left[\frac{l}{q^2}\right]$ chia hết cho $q^2$; của các số là bội số của $q^2$, chính xác là $\left[\frac{l}{q^3}\right]$ chia hết cho $q^3$, v.v.; Vì vậy

$$t = \left( \left[\frac{l}{q}\right] - \left[\frac{l}{q^2}\right] \right) + 2 \left( \left[\frac{l}{q^2}\right] - \left[\frac{l}{q^3}\right] \right) + 3 \left( \left[\frac{l}{q^3}\right] - \left[\frac{l}{q^4}\right] \right) + \ldots = \left[\frac{l}{q}\right] + \left[\frac{l}{q^2}\right] + \left[\frac{l}{q^3}\right] + \ldots$$

(rõ ràng, tất cả các thuật ngữ ở đây, bắt đầu bằng một số, đều là số không). Do đó, nếu $s$ là số mũ trong đó $p$ được bao gồm trong $\frac{m!}{n!(m-n)!}$ thì $s = \sum_k \left( \left[\frac{m}{p^k}\right] - \left[\frac{n}{p^k}\right] - \left[\frac{m-n}{p^k}\right] \right)$ và tại $k > \log_p m$ các số hạng biến mất và tại $k \leq \log_p m$ chúng không vượt quá 1 hoặc là số nguyên nhỏ hơn 2:

$$\left[\frac{m}{p^k}\right] - \left[\frac{n}{p^k}\right] - \left[\frac{m-n}{p^k}\right] = \left\{ \frac{n}{p^k} \right\} + \left\{ \frac{m-n}{p^k} \right\} - \left\{ \frac{m}{p^k} \right\} < 2.$$

Do đó, $s$ không vượt quá số lượng số hạng, tức là $s \leq \log_p m$. Vì vậy $r \leq s \leq \log_p m$, tức là $p^r \leq m$.

Đẳng thức $p^r = m$ đạt được đối với tất cả $m$ là lũy thừa của một số nguyên tố.

Nhiệm vụ của độc giả của chúng tôi

(xem Lượng tử số 3, trang 58)

1. Chứng minh dựa trên bất đẳng thức $(a+b)^n > a^n + nba^{n-1}$, và trong trường hợp $x=5$, ngoài ra, còn dựa trên một tìm kiếm nhỏ.
2. $x^8 + 4x^2 + 4 = (x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 2) (x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2)$.
3. Đẳng thức $\frac{m}{S(m)} = \frac{n}{S(n)}$ đúng cho $m=69=1000101_2$ và $n=92=1011100_2$. Do đó, tập $A$ gồm các số tự nhiên $k$ thỏa mãn $\frac{3k}{S(3k)} = \frac{4k}{S(4k)}$ không trống (đẳng thức cuối cùng đúng cho $k=23$). Hãy chứng minh rằng tập $A$ là vô hạn.
   Nếu $k \in A$, $k=a_1a_2...a_p$ là biểu diễn kép của số $k$ và tương tự, $3k=b_1b_2...b_q$ ($q=p+1$ hoặc $p+2$), thì

$$\frac{a_1...a_p}{b_1b_2...b_q} = \frac{a_1...a_p}{b_1b_2...b_q}$$

Hãy lấy $l \geq 0$ và xét các số $N = (2^{p+l+2}+1)k = a_1...a_p 0 \ldots 0 0 a_1...a_p$.

Khai triển nhị phân của số $3N$ thu được bằng phép cộng

$$+ a_1a_2...a_p 0 \ldots 00 a_1...a_p 0 \ldots 00 a_1...a_p$$

$$b_1...b_q 0 \ldots 0b_1...b_q$$

Hình 2.

ở đâu $i=l$ hoặc $l+1$. Do đó $S(3N)=2S(3k)$. Ngoài ra, $S(4N)=2S(4k)$. Vì vậy $N \in A$.

4. $\sqrt{m^4-2n^4}$.

5. a) Nếu hướng của tất cả các dòng trong Hình 1 (xem “Quant”, Số 3, trang 58) được thay thế bằng các hướng ngược nhau, bạn sẽ có được một hình trùng với ảnh phản chiếu của trục thẳng đứng tương đối này. Do đó, mỗi lời giải tương ứng với một đối xứng. Sáu lời giải được hiển thị trong Hình 2 (sáu cái nữa đối xứng với chúng).

6. Theo điều kiện thì phải có $c=d+h$, $h=e+f+g$, tức là $c=d+e+f+g$. Nhưng thậm chí $1+2+3+4>8$. Vì vậy sự sắp xếp cần thiết là không thể.

7. Chúng ta hãy chứng minh năng lượng sau đây của một vật quay quanh một trục vuông góc với trục của vật đó bằng tổng động năng quay ($c$ bằng vận tốc góc) xung quanh các trục giao nhau vuông góc với nhau nằm trong trục của vật đó.

Bằng chứng. Động năng của một vật quay với vận tốc góc $\omega$ bằng

$$K = \frac{1}{2} \sum_i m_i \omega^2 r_i^2 = \frac{\omega^2}{2} \sum_i m_i r_i^2,$$

trong đó $m_i$ là khối lượng của điểm thứ $i$ của vật thể, $r_i$ là khoảng cách từ điểm thứ $i$ đến trục quay. Nếu xảy ra chuyển động quay quanh trục $l_1$ (Hình 3), thì

$$K_{l_1} = \frac{\omega^2}{2} \sum_i m_i r_{il_1}^2.$$

Nhưng $r_{il_1}^2 = r_{il_2}^2 + r_{il_3}^2$. Vì thế

$$K_{l_1} = \frac{\omega^2}{2} \sum_i m_i r_{il_2}^2 + \frac{\omega^2}{2} \sum_i m_i r_{il_3}^2,$$

hình 3.

64

Hình 4.

đó là
$$K_{l_1} = K_{l_2} + K_{l_3},$$
Q.E.D.
Bây giờ chúng ta hãy quay trở lại chiếc nhẫn. Động năng của vòng quay quanh trục của nó (trục $l_1$; Hình 4) bằng $K_{l_1} = \frac{m\omega^2 r^2}{2}$ (vòng có khối lượng đồng nhất và tất cả các điểm của nó đều cách trục $l_1$ một khoảng bằng nhau, do đó $\sum_i m_i r_i^2 = mr^2$). Khi biểu thị xung quanh $l_2$ và $l_3$, động năng rõ ràng là như nhau. Vì thế
$$K_{l_2} = K_{l_3} = \frac{K_{l_1}}{2} = \frac{m\omega^2 r^2}{4}.$$

Điều này không bao gồm động năng.
8. a) Xét hai đa thức bậc $p$ có hệ số nguyên: đa thức $x(x+1)(x+2) \cdots (x+(p-1))$ và đa thức $x^p-x$. Đa thức thứ nhất hiển nhiên chia hết cho $p$ đối với tất cả các số nguyên $x$, đa thức thứ hai chia hết cho $p$ đối với tất cả các số nguyên $x$, đa thức thứ hai chia hết cho $p$.

Trang cờ vua
(xem «Kvant» số 1)

Nhiệm vụ 1. 1. La2! b4 2. Ra5! d4 3. Kd7! K:f6 4. B:d4×.

Nhiệm vụ 2. 1. e8С! Kr:d6 2. c8Л! Kp6 3. Rlc6 × (1…K:f6 2. g8R! Kp6 3. Rg6×).

Tổng biên tập - Viện sĩ I. K. Kionn
Phó Tổng biên tập thứ nhất - Viện sĩ A. N. Kolmogorov
Phó tổng biên tập: M. N. Danilcheva, V. A. Leshkovtsev, Yu. P. Solovyov

Tuyển tập biên tập: L. G. Aslamazov, M. I. Bashmkov, V. E. Belonuchkin, V. G. Boltyansky, A. A. Borovoy, Yu. M. Bruk, V. V. Vavilov, N. B. Vasilyev, S. I. Voronin, B. V. Gnedenko, V. L. Gutenmacher, N. P. Dolbilin, V. N. Dubrovsky, A. N. Zemlykov; A. R. Zilberman, A. I. Klimanov, S. M. Kozel, S. S. Krotov, L. D. Kudryavtsev, A. A. Mikhailov, E. M. Nikshin, S. P. Novikov, M. K. Potapov, V. G. Razumovsky, N. A. Rodina, N. H. Rozov, A. P. Savin, Ya. A. Smorodinsky, A. B. Sosinsky, V. M. Uroev, V. A. Fabrikant

Ban biên tập: A. M. Baldin, S. T. Belev, B. B. Bukhovtsev, E. P. Velikhov, I. Ya. Verchenko, B. V. Vozdizhensky, G. V. Dorofeev, N. A. Erpmolaeva, A. P. Ershov, V. G. Zubov, Yu. B. Ivanov, L. V. Kantorovich, P. L. Kapitsa, V. A. Kirillin, G. L. Kotkin, R. N. Kuzmin, A. A. Logunov, V. V. Mozhaev, V. A. Orlov, N. A. Patrikheva, A. V. Peryshkin, R. Z. Sagdeev, S. L. Sobolev, A. L. Stasenko, I. K. Surin, E. L. Surkov, L. D. Faddeev, V. V. Firsov, G. N. Ykovlev

Số đã được chuẩn bị:
A. Vilenkin, A. Egorov, I. Klumova, T. Petrova,
A. Sosinsky, V. Tikhomirova, Y. Shikhanovich

Số đã được phát hành:
M. Dubach, G. Krasnikov, N. Kuzmin, S. Lukhin,
A. Ponomareva, I. Smirnova

Trưởng biên tập L. Chernova

Biên tập nghệ thuật T. Makarova

Người hiệu đính M. Medvedskaya

cho mọi số nguyên $x$ theo Định lý nhỏ Fermat (xem trang 39 trong «Kvant» Số 1). Hiệu của các đa thức này là đa thức có hệ số nguyên bậc $p$ chia hết cho $p$ đối với tất cả các số nguyên $x$. Do đó các hệ số của nó được chia cho $p$. Nhưng những hệ số này là số tiền mà chúng tôi quan tâm.

6. Số tiền
   $$\sum_{1 \le k_1 < k_2 < \dots < k_q \le p-1} \prod_i k_i$$
   Và
   $$\sum_{1 \le k_1 < k_2 < \dots < k_q \le p-1} \prod_i (p^-k_i)$$ sẽ khác

chỉ theo thứ tự của các số hạng (nếu $k<p$ thì cũng $p-k-p$). Do đó, đối với số lẻ $q$ (3<q<2)

$$S_q = \sum_{1 \le k_1 < k_2 < \dots < k_q \le p-1} \prod_i k_i =$$
$$= \sum_{1 \le k_1 k_2 < \dots < k_q \le p-1} \prod_i (p^-k_i) =$$
$$= C_q^{p-1} p^q + \sum_{i=1}^{q-1} (-1)^i C_q^{q-i-j} p^{q-j} S_j - S_q,$$

đó là
$$2S_q = C_q^{q-1} p^q + \sum_{j=1}^{q-1} (-1)^j C_q^{q-i-j} p^{q-j} S_j,$$
từ đó, xét rằng tất cả $S_j$ đều chia hết cho $p$, chúng ta thu được rằng $S_q$ chia hết cho $p^2$.

Trang cờ vua
(xem «Kvant» số 1)

Nhiệm vụ 1. 1. La2! b4 2. Ra5! d4 3. Kd7! K:f6 4. B:d4×.

Nhiệm vụ 2. 1. e8С! Kr:d6 2. c8Л! Kp6 3. Rlc6 × (1…K:f6 2. g8R! Kp6 3. Rg6×).

Trang cờ vua

Tư vấn là nhà vô địch cờ vua thế giới, kiện tướng quốc tế A. Karpov. Trang này được điều hành bởi E. Gik, Thạc sĩ Thể thao Cờ vua Liên Xô, Ứng viên Khoa học Kỹ thuật.