Астрономия: наука и её творцы

58

Астроомия: наука и ее творцы

«Пути, которые люди проникают в судьбе небесных явлений, представляют мне почти столь же удивительные, как и сами эти явления» — эти слова, принадлежшие одному из величайших астрономов Иоганну Кеплеру, служат как бы эпиграфом в книге Д. Херрмана «Открыватели неба»*). Книга посвязываена историю накопления и развития астрономических знаний; в ней расссказывает об открытиях и заблудениях, о стольновениях и борбе идей, о частливых и горьких судьбах творцов науки.

Астроомия — одна из древнейших, едва ли не самая древняя наука. Своими истоками она уходит в те незапамятные времена, когда человека впервые задал себе вопрос: а что это такое — раскинувшееся над ним звездное небо? И еще: откуда по утрам приходит и куда причеется солнце? Почему луна ночь от ночи меняет свой облик, постепенно превращается из едва заметного сердца в яркий серебряный диск, а затем вновь становится ушербной, будто пожираем каким-то чудовшем? Может, и впрямь в этом участют неземные существа, неведомые силы? И вот возникают мифы, рождаются божества, которые требуют поклонения и которых надо задавить, либо от них зависят здоровые люди и хороший урожай, удачная охота и благополучное возврашение из похода. В свою очередь мифы дают названня многим звездам, созвездиям, туманностям.

Это наивное обращение к звездам, как и попытки жрецов интерпретировать не

*)Д. Херрман. Открыватели неба. Перевод с немецкого. М., «Мир», 1981.

бесные явления с целью предсказания грудуших событий, еще даже не предюдия астрономии. А что же следует принять за ее начало? Автор книги считает первым, принималально важным шагом на пути становления астрономии как науки систематически составление списков созвездий, видимых вночное время; также списк повливись в Древнем Египте около 2000 г. до н. э. Таким образом, история развития астрономии насчитывает почти четыре тысяче лет. Долгие века рутины сложившихся представления смелились перiodами бурного подмена,революционных потрясений,ломки привченных,устовшихся взглядов и концепций. Такой подем эта наука переживает и сегодня. Он знаменится проникновением в далекие глубины Вселенной, открытем пульсаров, квазаров и других экзотических объектов, выведением астрономических инструментов за пределы Земли — на спутники и космические станции.

Разумеется, на 200 страницах своей книги автор мог осветь всю 40-вековую историю астрономии с исчерпывающей полотой, но он сделал максимум возможного, нарисовав логическую стройную картину совершенствования представления о мире, показав взаимосвязь этих представлений с общественно-экономическим развитием человека. Что же касается смихтовов, «открыватели неба», то в пределно-именном указателе к книге фигурирует более 250 имени ученных, внесших заметный вклад в астрономию. Список, возможно, не исчерпывающий, но достаточно полный. И что самое главное — повествавание ведется в стиле непринуженного рассказа, беседы с читателем. В книге даже отсутствует номера глав и разделов, а сами заголовки — нестандартные, броские, завлекательные. Например, в книге «Отгарони мира к всемирному закону» есть такие разделы: «Исследователь из Ураниборга» (о Тихо Браге), «Браге ищет компромиссное решение», «Геометрический мир» (о построениях Кеплера), «Встреча в Праге», «На пороге небесной механики», «Еретик» (о Джордано Бруно), «Конфликт разума и силы» (о Галиlee).

Очень сложно пересказать содержание такой книги, поэтому мы ограничимся кратким обзором ее и лишь на некоторых моментах оставимся подробнее.

В открывающей книге «Звезды над Вавилоном» речь идет о предистории астрономии: о наблюденизае Солнцем, Луной и звездами в Вавилоне и Египте, о древних календарях и проречестах жрецов, о первых обсерватrios и монументальных сооружениях вроде «вычислительной машины каменного века», позвольшей предсказывать движение Солнца и Луны и даже, по предположении ученых,— их затмения.

В главе «Книга с картинами и системе колес» рассказывает о возникновении астрономии как науки, источником для которого послужили систематические наблюдения за положением и перемещением звезд, проводившиеся в Древней Греции, группировка звезд в созвездии, составление каталогов звезд и карт звездного неба и т.п.— вплоть до попыток построения единой картины мира. Венцом дневнегреческий астрономии является геоентрическая система Птолемея, согласно которой в центре мира назначена ухлоперные приборы да собственные глаза, можно только восхититься глубокомыслем и мудрость древних учены — Евдокса, Аристotelя, Гиппарха и того же Птолемея, строивших сложные траектории движения небесных тел в виде эпииклов, эксцентров, геоентрических сфера и т.п.

Недостатки геоентрической системы сознавали многие учены, и она не продолжалась бы столдго,

60

Ответы, указания, решения

Ереванский государственный университет

Математика
Вариант 1

1. $$\frac{5-3\sqrt{5}}{10}; 2$$.
2. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} k (k \in \mathbb{Z})$.
3. Точки минимума $x = 0$ и $x = 4$, точка максимума $x = 2$.
4. $$\frac{\pi\sqrt{2}}{4}$$.
5. $$\frac{(h-r)^2}{2(h-2r)}$$.
   Вариант 2
6. $x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi k, x_2 = 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.
7. $[1; 2 [\cup] 2; 5]$.
8. $$\left(\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$$.
9. $x = 1, y = 1$.
10. Угол при основании равен агссos $$\frac{3+\sqrt{3}}{6}$$ или агссos $$\frac{3-\sqrt{3}}{6}$$.
    Вариант 3
11. $\{-1\}$.
12. $x = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{\pi}{3} k (k \in \mathbb{Z})$.
13. $]4; +\infty[$.
14. $$\frac{2}{5}$$.

Физика

1. $a_1 = 2g \frac{m_2-2m_1}{4m_1+m_2} \approx 2,8 \text{ m/c}^2$;
   $a_2 = g \frac{m_2-2m_1}{4m_1+m_2} \approx 1,4 \text{ m/c}^2$;
   $T_1 = \frac{3m_1m_2g}{4m_1+m_2} \approx 1,3 \text{ H}$;
   $T_2 = 2T_1 = \frac{6m_1m_2g}{4m_1+m_2} \approx 2,6 \text{ H}$.
2. $h = 5R/3$.
3. $r_2 = r_1 \sqrt[3]{\frac{p}{p+\rho g h} \frac{T_2}{T_1}} \approx 1,4 \text{ cm}$
   $(p = 10^5 \text{ Pa} - \text{ нормальное атмосферное давление}, \rho = 10^3 \text{ kg/m}^3 - \text{ плотность воды})$.
4. $Q = \frac{m_1m_2(v_1+v_2)^2}{2(m_1+m_2)} = 15 \text{ Дж}$.
5. Для любой точки на оси колца направлено электронческого поля направлена вдоль оси к центру колца, а модель направности равен

$$E = \frac{|q|L}{4\pi\varepsilon_0(R^2+L^2)^{3/2}}.$$
Для трех данных значений $L$ получим, соответственно, $E = 0; 1600; 1150 \text{ B/m}$.
6. $I = \frac{\varepsilon_0 Uv \sqrt{S}}{d} \approx 3,2 \cdot 10^{-8} \text{ A}$.
7. $F = I \sqrt{\frac{2U}{e/m}}$.
8. $\mathcal{E} = B\omega l^2/2 = 0,5 \text{ B}$.
Московский институт стали и сплавов
Математика
Вариант 1

1. $\{(-1; 2)\}$.
2. $\left\{\frac{5}{4}\right\}$.
3. $x = \pi k (k \in \mathbb{Z})$.
4. $]-\infty; 1[ \cup ]3; 5[$.
5. Плоскости, в которых расположены основания искомого цилиндра, удалены от центра шара на $$\frac{\sqrt{3}}{3} R$$.
   Вариант 2
6. $\{1\}$.
7. $]-\infty; -1] \cup ]5; 6]$.
8. $x = \frac{\pi}{2} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$.
9. $\{(6; 0)\}$.
10. $(0; 0), (2; 2\sqrt{3}), (6; 2\sqrt{3}), (8; 0) \text{ и } (0; 0), (2; -2\sqrt{3}), (6; -2\sqrt{3}), (8; 0); 12\sqrt{3}$.

Физика

1. $t = \sqrt{\frac{2l}{g+F/m}} \approx 0,28 \text{ c}$.
2. $E/E' = 169/121$.
3. $p_2 = T_2 \left(\frac{p_1}{T_1} - \frac{mR}{\mu V}\right) \approx 3,6 \cdot 10^5 \text{ Pa}$.
4. $E = (\varrho - \varrho_0) \frac{\pi d^3 g}{6q} \approx 4 \cdot 10^4 \text{ B/m}$.
5. $U_1 = U \frac{\varepsilon_2 d_1}{\varepsilon_2 d_1 + \varepsilon_1 d_2} \approx 47 \text{ B}$;
   $U_2 = U \frac{\varepsilon_1 d_2}{\varepsilon_2 d_1 + \varepsilon_1 d_2} \approx 253 \text{ B}$.
6. $Q = \varrho j^2 \approx 1,54 \cdot 10^3 \text{ Bt/m}^3$.
7. $R = \frac{E l}{v_0 B} \approx 5 \cdot 10^{-3} \text{ M}$.
8. $\varepsilon = \frac{\lambda^2 d}{4\pi^2 c^2 L\varepsilon_0 S} \approx 6$ (здесть $c = 3 \cdot 10^8 \text{ m/c}$ — скорость света).
9. $v = c \frac{\sin \beta}{\sin \gamma} \approx 1,7 \cdot 10^8 \text{ m/c}$.
10. $q_2 = \frac{2\pi\varepsilon_0 Rmv_0^2}{q_1} \approx 2 \cdot 10^{-6} \text{ KJ}$.

Московский гидромелоративный институт
Математика
Писыменный экзамен
Вариант 1

1. $$\frac{6}{7}, -\frac{2}{7}, -\frac{3}{7}$$.

61

2. $\left\{-\frac{3}{2}, -1\right\}$.
3. $x = 2\pi k (k \in \mathbb{Z})$.
4. $\frac{\pi}{6}$.
5. $\sqrt[3]{4V}$.

Вариант 2

1. $\pm \sqrt{2} (4i + 3j)$.
2. $\{2\}$.
3. $\max_{[-2; 2]} y = y(2) = 4, \min_{[-2; 2]} y = y(-2) = -24$.
4. $x = (-1)^{k+1} \arcsin \frac{1}{3} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$.
5. $4 \ln 3 - 2$.

Задачи устного экзамена

1. $2^{x^2}, 2^{2x}$.
2. $y = -\frac{5}{3} x + \frac{1}{3}$.
3. $y = \frac{7}{6} x^2 - \frac{13}{6} x + 1$.
4. a) $y = \frac{1}{2} x + 2$; 6) $y = 2 \cdot 10^x$; b) $y = -\sqrt{x+1}$.
5. a) Четная; 6) и b) Нечетная.
6. a) $] -\infty; \frac{1}{2} [; 6) [1; 5]; \text{b)} ] -1; 1 [\bigcup] 2; +\infty [; \text{г}) ] -\infty; -5 [\bigcup] -5; -4 [\bigcup] 4; 5 [\bigcup] 5; +\infty [; \text{д}) ] -\infty; 0]$. 8. a) $-7$; 6) 3; b) 1.
7. a) $6(\sin 2x + 8)^2 \cdot \cos 2x$; 6) $\frac{1}{2x \cdot \sqrt{\ln x}}$;
   b) $\frac{\cos 2x}{\sqrt{\sin 2x}}$.
8. $y = -5x + 2$.
9. $-\cos x + x + C$.
10. $] 0; \frac{1}{6} [$.
11. $\{-1; 3\}$. При $a = -1 (0; -1)$, при $a = 3 (-2; 1)$.
12. $\frac{\sqrt{14}}{2}$.
13. 1. Решение. Проведем диаметр $AO$ (рис. 1). Поскольку $|AO|^2 + |CO|^2 = |AC|^2$, $(AO) \perp (CD)$. Введем систему координат с началом в центре сферы $O$, осью абсцисс $[OD]$, осью ordinат $[OA]$ и перпендикулярной к

Рис. 1.

ним освью аппликат. Поскольку $\overrightarrow{OD} = (1; 0; 0)$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Значить, $\overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = \cos \widehat{BOD} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\widehat{BOD} = \frac{\pi}{3}$ и $\triangle BOD$ – равносторонний.

Физика

1. $h_{\max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} = 4,5$ км; $t = \frac{2v_0 \sin \alpha}{g} = 60$ с.
2. $F_1 = mg; F_2 = m(g-v^2/R); F_3 = m(g+v^2/R)$.
3. $s = \frac{m^2 v^2}{2 \mu g M^2} \approx 0,3$ м.
4. $p = \frac{p_1 V_1 + p_2 V_2}{V_1 + V_2} \approx 1,9$ мПа.
5. $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q_1 + |q_2|}{(r/2)^2} \approx 5 \cdot 10^4$ В/м.
6. $r = \frac{R_1 R_2 (U_2 - U_1)}{U_1 R_2 - U_2 R_1} = 0,5$ Ом.
7. $P = \frac{c \varrho V(t_k - t)}{\eta \tau} = 800$ Вт (здесть $t_k = 100^\circ C$ – температура кипения воды; $\eta = 0,7$).
8. $F = IlB \sin \alpha \approx 0,04$ H.
9. $l = h tg \alpha + (H - h) tg \beta = h + \frac{(H - h) \sin \alpha}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}} \approx 2,9$ м.
10. Изображение будет уменьшенным, если предмет находится за центром зеркала.

Московский технический институт пищевой промышленности

Matematika
Вариант 1

1. 2,52. 2. 32. 3. 64. 4. {0}. 5. -1. 6. {-3}.
2. 4. 8. 135°. 9. 1. 10. 4,5.
         Вариант 2
3. 48. 2. 36. 3. 13. 4. $\frac{1}{2}$. 5. 1. 6. 25°. 7. 5.

Вариант 3

1. 15. 2. 3,75. 3. {1}. 4. {16}. 5. 2. 6. 0.
2. 60°. 8. 4,5. 9. 160. 10. 0.

Физика

1. $a = g \frac{m_2}{2m_1 + m_2} = 2$ м/с².
2. $v = \sqrt{g l/2} = 10$ м/с.
3. $T = \pi d/v = 0,3$ с.
4. $\eta = \frac{cm_2 \Delta T}{qm_1} = 100\% = 34\%$.
5. $U = \frac{(\varepsilon_1 + \varepsilon_2) R}{r_1 + r_2 + R} = 2,5$ В.
6. $B = \frac{U}{vl} = 0,04$ Тл.

62

7. $f = -\frac{Rd}{R+2d} = -0,65$ м (знак «минус» говорит о том, что изображение предмета минимое).
8. $n_{cT} = n_B \frac{\sin \beta}{\sin \alpha} = 1,5$.

Мураннское высшее инженерное морское училище им. Ленинского комсомола

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. $\frac{1}{ab^5\sqrt{a^3}}$.
2. {9}.
3. $[-1; \frac{7}{3}]$.
4. $x_1 = (-1)^k \arcsin \frac{-2+3\sqrt{6}}{10} + \pi k,$
   $x_2 = (-1)^{l+1} \arcsin \frac{2+3\sqrt{6}}{10} + \pi l$ ($k, l \in \mathbb{Z}$).
5. $\frac{\pi n^2 \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}$.
   Вариант 2
6. $-12^3\sqrt{x^2}$.
7. {2, 9}.
8. [2; 3].
9. $x = -\arctg \frac{1}{3} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
10. $64\pi dm^3$.

Задание устного экзамена
2. —. 3. ]-1; 0] $\bigcup\{1\}$. 4. $\left[\frac{1}{4}; \frac{3}{2}\right]$.
5. $[-2; 4]$. 6. $\frac{8}{3}$. 7. $90^\circ$. Указание. Использовайте теорему о трех перпендикулярах.

Физика

1. $v_{21} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2} - 2v_1v_2 \cos (\alpha_2 - \alpha_1) \approx 6,2$ уз.
2. $\frac{P_1}{P_2} = \frac{gT^2 - 4\pi^2R \cos \varphi}{gT^2 - 4\pi^2R} \approx 1,002$ (здесь $T = 24$ ч — перiod обращения Земли; $R = 6400$ км — радиус Земли).
3. Уровень воды останется прежним.
4. $N_1 = N_A \frac{\rho_B V}{\mu_B} \approx 3,3 \cdot 10^{22}$;
   $N_2 = N_A \frac{p_0 V}{RT_0} \approx 2,7 \cdot 10^{19}$ (здесь $\rho_B = 1$ г/cm$^3$ — плотность пресной воды, $\mu_B = 18$ г/mоль — ее молярная масса, $p_0 = 10^5$ Па и $T_0 = 273$ К — давление и температура при нормальных условиях, $R = 8,31$ Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная).
5. $A = \frac{q^2}{2\pi\varepsilon_0 r} \approx 0,09$ Дж.
6. $q = (r_1 + r_2) \sqrt{\frac{8\pi\varepsilon_0 W}{r_2}} \approx 1,7 \cdot 10^{-6}$ Кл.
7. $N = \frac{mgh}{\eta t} \approx 4,5$ кВт; $I = \frac{N}{U} \approx 35,8$ А.
8. Емкость конденсатора надо увеличить в $(\lambda f/c)^2 = 2,25$ раз (здесь $c = 3 \cdot 10^8$ м/c — скорость света).

Matematika
Вариант 1

1. $S = \frac{\sqrt{3}}{48} \cos \alpha a^2$, $V = \frac{tg \alpha}{48} a^3$.
2. $x_1 = \pi k$, $x_2 = \pm \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi}{3} l$ ($k, l \in \mathbb{Z}$).
3. {2, 3}.
4. {2}. Указание. Обозначьте $\sqrt{x+7}$ через $t$.
5. $\frac{1}{4}$.
   Вариант 2
6. 2 arctg $(2\sqrt{3} k)$.
7. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$ ($k \in \mathbb{Z}$).
8. ] 0; $\frac{2}{7}$ [.
9. $\frac{3(1-a)}{1+b}$.
10. π.

Физика
Вариант 1
2. Нет, не будет.
3. $v = \sqrt{Rg} = 42$ м/c.
4. $E_{k\max} = hc/\lambda = 6,62 \cdot 10^{-15}$ Дж ≈ 41 кэВ;
$v_{\max} = \sqrt{\frac{2hc}{\lambda m}} \approx 1,2 \cdot 10^8$ м/c.

Вариант 2
2. Перiod колесный будет увеличивать.
3. $\frac{m_{pac} m}{m} = \frac{2c(t-t_0) + v^2 - v_0^2}{v^2 - 2\lambda} \approx 0,14$.
4. $R = \frac{mv}{eB} \approx 0,13$ м.

Вариант 3
2. См. рис. 1.
3. $v = \frac{m_1 v_0 \sin \alpha}{m_1 + m_2} \approx 1,2$ м/c.
4. Электрон перешел на третий энергетический уровень. В спектре излучения можно будет увеличить три линей.

Задание наших читателей
(см. «Квант» № 1, с. 39)

1. Поскольку $22...2 = 2 \cdot \frac{100^{991}-1}{9}, 100^{991}-1 = 1$ по Малой теореме Ферма делится на 991 и числа 9 и 991 взaimно просты, число 22…2 делится на 2 • 991 = 1982.
   1980 «Двоек»
2. Пусть $q$ — простое число и $t$ — показатель степени, с которой $q$ входит в разложение числа $l! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot l$ на простые множители. Средние, не превозходящие $l$,ровно

63

Делится на $q$; из чисел, кратных $q$,ровно $\left[\frac{l}{q^2}\right]$ делится на $q^2$; из чисел, кратных $q^2$,ровно $\left[\frac{l}{q^3}\right]$ делится на $q^3$ и т. д.;позтому

$$t = \left( \left[\frac{l}{q}\right] - \left[\frac{l}{q^2}\right] \right) + 2 \left( \left[\frac{l}{q^2}\right] - \left[\frac{l}{q^3}\right] \right) + 3 \left( \left[\frac{l}{q^3}\right] - \left[\frac{l}{q^4}\right] \right) + \ldots = \left[\frac{l}{q}\right] + \left[\frac{l}{q^2}\right] + \left[\frac{l}{q^3}\right] + \ldots$$

(очевидно, здесь все слагаемые, начная с неокоторого, — нули). Поэтому, если $s$ — показатель степени, в котором $p$ входит в $\frac{m!}{n!(m-n)!}$, то $s = \sum_k \left( \left[\frac{m}{p^k}\right] - \left[\frac{n}{p^k}\right] - \left[\frac{m-n}{p^k}\right] \right)$,причем при $k > \log_p m$ слагаемые обращаются в нуль, а при $k \leq \log_p m$ — не превозходят 1, либо являются целыми числами, меньшими 2:

$$\left[\frac{m}{p^k}\right] - \left[\frac{n}{p^k}\right] - \left[\frac{m-n}{p^k}\right] = \left\{ \frac{n}{p^k} \right\} + \left\{ \frac{m-n}{p^k} \right\} - \left\{ \frac{m}{p^k} \right\} < 2.$$

В силу этого $s$ не превозходит числа слагаемых, то есть $s \leq \log_p m$. Поэтому $r \leq s \leq \log_p m$, то есть $p^r \leq m$.

Равенство $p^r = m$ достигается для всех $m$, являющихся степенью простого числа.

Задание наших читателей

(см. «Кваант» № 3, с. 58)

1. Доказательство основано на неравенстве $(a+b)^n > a^n + nba^{n-1}$, а в случае $x=5$, кроме того, на небольшом переборе.
2. $x^8 + 4x^2 + 4 = (x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 2x + 2) (x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 2)$.
3. Равенство $\frac{m}{S(m)} = \frac{n}{S(n)}$ выполено при $m=69=1000101_2$ и $n=92=1011100_2$. Поэтому множество $A$ натуральных чисел $k$, удовлетворяющих $\frac{3k}{S(3k)} = \frac{4k}{S(4k)}$, не пусто (последнее равенство выполено при $k=23$). Показем, что множество $A$ бесконечно.
   Если $k \in A$, $k=a_1a_2...a_p$ — двойная запись числа $k$, а аналогично, $3k=b_1b_2...b_q$ ($q=p+1$ или $p+2$), то

$$\frac{a_1...a_p}{b_1b_2...b_q} = \frac{a_1...a_p}{b_1b_2...b_q}$$

Возьем $l \geq 0$ и рассмотрим числа $N = (2^{p+l+2}+1)k = a_1...a_p 0 \ldots 0 0 a_1...a_p$.

Двоичное разложение числа $3N$ получается как результат сложения

$$+ a_1a_2...a_p 0 \ldots 00 a_1...a_p 0 \ldots 00 a_1...a_p$$

$$b_1...b_q 0 \ldots 0b_1...b_q$$

Рис. 2.

где $i=l$ или $l+1$. Отсюда $S(3N)=2S(3k)$. Кроме того, $S(4N)=2S(4k)$. Поэтому $N \in A$.

4. $\sqrt{m^4-2n^4}$.

5. а) Если направления всех потоков на рисунке 1 (см. «Кваант», № 3, с. 58) заменить на противоположные, получится фигура, совпадающая с зеркальным отражением данной относительной вертикальной оси. Поэтому каждому решению соответствует симметричное. ШестЬ решений показаны на рисунке 2 (еще шесть им симметричны).

6. По условию должно быть $c=d+h$, $h=e+f+g$, то есть $c=d+e+f+g$. Но даже $1+2+3+4>8$. Поэтому требуемая расстановка невозможно.

7. Доказем следующая энергия локкого тела, вращающегося вокруг оси, перпендикулярной локкости тела, равна сумме кинетических энергий вращения ($c$ то же угловой скоростью) вокруг взaimного перпендикулярных пересекающих осей, лежащих в локости тела.

Доказательство. Кинетическая энергия тела, вращающегося с угловой скоростью $\omega$, равна

$$K = \frac{1}{2} \sum_i m_i \omega^2 r_i^2 = \frac{\omega^2}{2} \sum_i m_i r_i^2,$$

где $m_i$ — масса $i$-й точки тела, $r_i$ — расстояние от $i$-й точки до оси вращения. Если вращение происходит вокруг оси $l_1$ (рис. 3), то

$$K_{l_1} = \frac{\omega^2}{2} \sum_i m_i r_{il_1}^2.$$

Но $r_{il_1}^2 = r_{il_2}^2 + r_{il_3}^2$. Так что

$$K_{l_1} = \frac{\omega^2}{2} \sum_i m_i r_{il_2}^2 + \frac{\omega^2}{2} \sum_i m_i r_{il_3}^2,$$

рис. 3.

64

Рис. 4.

то есть
$$K_{l_1} = K_{l_2} + K_{l_3},$$
что и требовалось доказать.
Тепер ввернемся к колыцу. Кинетическая энергия колыца, врашающего вокруг своей оси (оси $l_1$; рис. 4), равна $K_{l_1} = \frac{m\omega^2 r^2}{2}$ (кольцо однородно по массе и все его точки находится на одном и том же расстоянии от оси $l_1$, поэтому $\sum_i m_i r_i^2 = mr^2$). При выражении же вокруг $l_2$ и $l_3$ кинетические энергии, очевидно, одинаковы. Так что
$$K_{l_2} = K_{l_3} = \frac{K_{l_1}}{2} = \frac{m\omega^2 r^2}{4}.$$

Это и есть исключая кинетическая энергия.
8. а) Расмотрим два многочлена степени $p$ с целыми коэффициентами: многочлен $x(x+1)(x+2) \cdots (x+(p-1))$ и многочлен $x^p-x$. Первый многочлен, очевидно, делится на $p$ при всех целых $x$, второй делится на $p$ при всех целых $x$, второй делится на $p$.

Шахматная страница
(см. «Квант» № 1)

Задание 1. 1. Ла2! b4 2. Ла5! d4 3. Крd7! Кр:f6 4. С:d4×.

Задание 2. 1. e8С! Кр:d6 2. c8Л! Кр6 3. Лlc6 × (1…Кр:f6 2. g8Л! Кр6 3. Лg6×).

Главный редактор — академик И. К. Кионн
Первый заместитель главного редактора — академик А. Н. Колмогоров
Заместители главного редактора: М. Н. Данильчева, В. А. Лешковцев, Ю. П. Соловьев

Редакционная коллекция: Л. Г. Асламазов, М. И. Башмаков, В. Е. Белонучкин, В. Г. Болтянский, А. А. Боровой, Ю. М. Брук, В. В. Вавилов, Н. Б. Васильев, С. И. Воронин, Б. В. Гнеденко, В. Л. Гутенмахер, Н. П. Долбилин, В. Н. Дубровский, А. Н. Земляков; А. Р. Зильберман, А. И. Климанов, С. М. Козел, С. С. Кротов, Л. Д. Кудрявцев, А. А. Михайлов, Е. М. Никшин, С. П. Новиков, М. К. Потапов, В. Г. Разумовский, Н. А. Родина, Н. Х. Розов, А. П. Савин, Я. А. Смородинский, А. Б. Сосинский, В. М. Уроев, В. А. Фабрикант

Редакционный совет: А. М. Балдин, С. Т. Белев, Б. Б. Буховцев, Е. П. Велихов, И. Я. Верченко, Б. В. Воздиженский, Г. В. Дорофеев, Н. А. Erpmолаева, А. П. Erшов, В. Г. Зубов, Ю. Б. Иванов, Л. В. Канторович, П. Л. Капица, В. А. Кириллин, Г. Л. Коткин, Р. Н. Кузьмин, А. А. Логунов, В. В. Можаев, В. А. Орлов, Н. А. Патрикева, А. В. Перышкин, Р. З. Сагдеев, С. Л. Соболев, А. Л. Стасенко, И. К. Сурин, Е. Л. Сурков, Л. Д. Фаддеев, В. В. Фирсов, Г. Н. Яковлев

Номер подготовили:
А. Виленкин, А. Егоров, И. Клумова, Т. Петрова,
А. Сосинский, В. Тихомирова, Ю. Шиханович

Номер оформили:
М. Дубах, Г. Красников, Н. Кузьмин, С. Лухин,
А. Пономарева, И. Смирнова

Заведующая редактор Л. Чернова

Художственный редактор Т. Макарова

Корректор М. Медведская

при всех целых $x$ согласно Малой теореме Ферма (см. с. 39 в «Квант» № 1). Разность этих многочленов — многочлен с целыми коэффициентами степени $p$, делящейся на $p$ при всех целых $x$. Поэтому его коэффициенты делятся на $p$. Но эти коэффициенты — интересующие нас суммы.

6. Суммы
   $$\sum_{1 \le k_1 < k_2 < \dots < k_q \le p-1} \prod_i k_i$$
   и
   $$\sum_{1 \le k_1 < k_2 < \dots < k_q \le p-1} \prod_i (p^-k_i)$$ отличются

только порядком слагаемых (если $k<p$, то и $p-k-p$). Поэтому при нечетном $q$ (3≤q≤2)

$$S_q = \sum_{1 \le k_1 < k_2 < \dots < k_q \le p-1} \prod_i k_i =$$
$$= \sum_{1 \le k_1 k_2 < \dots < k_q \le p-1} \prod_i (p^-k_i) =$$
$$= C_q^{p-1} p^q + \sum_{i=1}^{q-1} (-1)^i C_q^{q-i-j} p^{q-j} S_j - S_q,$$

то есть
$$2S_q = C_q^{q-1} p^q + \sum_{j=1}^{q-1} (-1)^j C_q^{q-i-j} p^{q-j} S_j,$$
откуда, учитывая, что все $S_j$ делятся на $p$, получаем, что $S_q$ делится на $p^2$.

Шахматная страница
(см. «Квант» № 1)

Задание 1. 1. Ла2! b4 2. Ла5! d4 3. Крd7! Кр:f6 4. С:d4×.

Задание 2. 1. e8С! Кр:d6 2. c8Л! Кр6 3. Лlc6 × (1…Кр:f6 2. g8Л! Кр6 3. Лg6×).