Почему висит кольцо?

22

Почему висит колъю?

«Почему повисает алиминиевое колъю, свободно надето на незамкнутый сердечник трансформатора?» — такой вопрос был предложен участником III Московского турира юных физиков. Наверное, любой девятиклассик, не задумываясь, ответил бы примерно следующее: «В колъце индуриются токи, которые взанмодействуют с внешним магнитным полем. Согласно правилам Ленца, индурионный ток всегда направлен так, чтобы своим действием мешать причине, его породившей. В данном случае индурионные токи имеют такое направление, что сила Ампера как бы отталкивает колъю от катушки трансформатора. В некоторых эта сила уравновешивает силу тяжестки колъца, и оно повисает в воздухе».

В том, что такое поведение колъца обусловлено именно индурионными токами, убедиться нетрудно. Для этого достаточно просто разрезать колъю поперек — оно не будет висеть ни при каких условиях. Однако в приведенном обьясении есть два момента, на которых мы хотели бы обратить внимание. Во-первых, не ясно, какое именно сопротивление колъца — активное или индуктивное — играет решающего роль. Во-вторых, требуется обьясенная существование лишь одного положения равновесия колъца. Попытаемся разобраться в этих вопросах.

1. Покажем, что эфекта повисания колъца не было бы, если бы колъю обладало только активным сопротивлением. Проведем некоторые вычисления.

Сила Ампера, действующая на тонкое колъю длиной l, по которым течет ток I, равна

$$F = B_r I l,$$

где $B_r$ — горизонтальная проекция вектора магнитной индукции внешнего поля (рис. 1). Индукционный ток I определяется законом Ома:

$$I = \frac{\varepsilon}{R}.$$

Здесь $\varepsilon$ — электродвижущая сила индукции, $R$ — активное сопротивление колъца. Согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции равна скорости изменения магнитного потока, взятой с противоположным знаком:

$$\varepsilon = -\Phi' = -(B_B S)'$$

($B_B$ — вертикальная проекция вектора магнитной индукции, $S$ — площадь, ограниченная колъюм). Пусть магнитное поле изменяется по гармоничскому закону с частотой $\omega$, тогда

$$B_r = B_{rm} \cos \omega t,$$

$$B_B = B_{bm} \cos \omega t,$$

$$\varepsilon = -(B_B S)' = B_{bm} S \omega \sin \omega t.$$

$$I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{B_{bm} S \omega}{R} \sin \omega t,$$

и

$$F = B_r I l = \frac{B_{rm} B_{bm} S \omega}{2 R} \sin 2 \omega t,$$

где $B_{rm}$ и $B_{bm}$ — максимальные значения горизонтальной и вертикальной проекции вектора индукции.

Так как среднее за период значение синуса равно нулю, среднее значение сила Ампера тоже равно нулю. Следовательно, колъю всеット не сможет.

Это противоречие устраняется, если предположить, что колъю обладает не только активным, но и ин-

23

дуктивным сопротивлением тоже, которое и играет первостепенно роль. В таком случае ток в колце будет изменяться со сдигром по фазе относительно ЭДС, и для мгновенного значения силы Ампера получится другое выражение:

$$I = \frac{B_{\text{BM}} S \omega}{Z} \sin(\omega t + \varphi),$$

и

$$F = B_{\text{r}} I l = \frac{B_{\text{GM}} B_{\text{BM}} S \omega l}{Z} \cos \omega t \times \sin(\omega t + \varphi) = \frac{B_{\text{GM}} B_{\text{BM}} S \omega l}{2 Z} \times (\sin(2 \omega t + \varphi) + \sin \varphi)$$

(здесь $Z$ — полное сопротивление колца, $\varphi$ — сдигром по фазе между током и электродвижущей силой). Среднее значение силы за период будет равно

$$F_{\text{cp}} = \frac{B_{\text{GM}} B_{\text{BM}} S \omega l}{2 Z} \sin \varphi,$$

что, безусловно, не равно нулю.

В наших опытах использовались колца, изготовленные из нескольких слоев алюминовой фольги общей толщиной около 1 мм. Внутренний радиус колц был равен 15 мм, а внешний — 30 мм. По оценкам на частоте 50 Гц активное сопротивление таких колц составляет миллиомы, а индуктивное — десяти миллиом. При таких параметрах сила Ампера получалась порядка $10^{-2}$ Н, что вплане достагоно для удержания колца массой в несколько граммов. Это и наблюдается на опыте.

2. Почему же колцо находится в равновесии только в одном положении, на одной определенной высоте? Ответ на этот вопрос мы получили из опыта.

В выражение для силы Ампера входят амплитудные значения вертикальной и горизонтальной проекций вектора магнитной индукции. Необходимо было выяснить, как эти значения изменяются с высотой.

Мы работали на установке, фотография которой представлена на рисунке 2. В катушку (ее внутренний радиус 10 мм, радиус 40 мм, высота 70 мм) с обмоткой из медного эмалированного провода (диаметром 1,2 мм)ставлен цилиндрический сердечник, набранный из железных стержней (длина 200 мм, диаметром 2 мм). На катушку подавалось напряжение (100—120 В)отлабораторного автотрансформатора. Нам удалось изменить вертикальную и горизонтальную проекции магнитного поля в непосредственной близости от сердечника на различных расстояниях от катушки. В качестве датчика мы использовали катушку (из 300 витков медного эмалированного провода диаметром 0,2 мм), в которой наводилась ЭДС индукции. Для измерения этой ЭДС катушка подключалась ко входу осциллографа.

Оказалось, что вертикальная проекция вектора магнитной индукции практически не меняется с высотой, а горизонтальная проекция изменяется так, как показано на рисунке 3. Здесь по оси абсцисс отложена высота $H$ над катушкой (измеренная в сантиметрах), а по оси ординат — амплитудное значение $B_{\text{GM}}$ горизонтальной проекции магнитного поля (в миллисекла). Полученный график и позволяет объяснить существенные единственного положения установки колца.

24

Пусть колъю имеет такую массу, что для компенсации силы тяжести, действующей на колъю, необходимо горизонтальная проекция поля, равная приблизительно 0,9 мТл. На графике лишь одна точка A соответствует этому значению; значит, колъю повиснет на высоте 4 см над катушкой. Это положение равновесия устойчиво, так как при случайном опускании колъца оно попадет в более сильное магнитное поле, сила Ампера уvelчится и поднимет колъю до прежней высоты.

А что, если для равновесия колъца потребуется горизонтальная проекция, равная приблизительно 0,75 мТл? Этому значению соответствует две точки на графике — C и D. Однако и в этом случае устойчивое равновесие только одно — в точке C, то есть на высоте 6 см над катушкой. А в точке D равновесие — неустойчивое. Действительно, если колъю опустится чуть ниже высоты 11,5 см, сила Ампера уменышится и не сможет уравновесить силу тяжести; следовательно, колъю опустится еще ниже (до точки C).

Заметим, что опытным путем положение неустойчивого равновесия обнаружить довольно трудно. Это связано с наличием различных внешних воздействий, выводящих колъю из этого положения.

Можно ли услышать рев мамонта?
(Начало см. на c. 20)

Леонид Мартынов, поэтому, внимательно следивший за развитием физической науки, в такой форме отображил соответствие звука и света:

Это почти неподвижности мука.
Мчаться куда-то со скоростью звука,
Зная прекрасно, что есть уже где-то
Некто,
Летящий
Со скоростью
Света!

А вот стихотворение Михаила Светлова «Голоса», наталкивающее на мысль, что человек со временем, благодаря космическим полетам, может услышать голоса ранее живших людей и животных:

И возможно, что за небосклоном
Он живет среди звездных миров —
Не записанный магнитофоном
Околевшего мамонтарев.
Мы — живущие вместе на свете —
Разгадали не все чудеса.
И бедут от планеты к планете
Крепость мужков голоса.
И быть может, на всех небосклонах
Повторяется снова сейчас
Несмолкающий шепот влюбленных
И густой Маяковского вас.

Пусть звезда не одна расколлась,
Но понятный и вечно живой
С хрипотцой Циолковского голос
Не замолк на волне звуковой.
С детства не был сilenя я в науке;
Не вступая с учеными в спор,
Я простер постарившие руки
В нестареющий синий простор.

Небо полнится головами
Тех, кто жил и любил на Земле.

Если Светлов прав, то нетрудно расчитать, с какой сверхзвуковой скорость должен удалять космосовтот от Земли, чтобы, скажем, за десять лет полета догната уsedший в космос рев мамонтов. Как известно, мамоны исчезли примерно десять тысяч лет назад.

Дорогой читатель, сделай прикидку и оцени трудности запуска ракеты, летящей с соответствующей скоростью.

К сожалению, самокритика позта, имеющая в данной стихотворении, не лишена основания. Помня оpusкинской прице, не будем строги к позту, но, все же, в чем основная физическая ошибка Светлова? Ответ на вопрос настоящего простого, что не стоит присылать его к нам в журнал. Подумайте о том, насолько усложналась бы жизнь на Земле, если бы Светлов был прав.