Задачи М736—М740; Ф748—Ф752

25

Задачи

M736—M740; Ф748—Ф752

M736. Медиана ВК и бискетриса CL треугольника ABC пересекаются в точке P. Докажите равенство
$$\frac{|PC|}{|PL|} - \frac{|AC|}{|BC|} = 1.$$
З. Анджапаридзе

M737. Обозначим через $d_k$ количество таких домов в вашем городе, в которых живет не меньше $k$ жителей ($d_1 \geq d_2 \geq d_3 \geq \dots$), и через $c_m$ — количество жителей в $m$-м по величине населения дома ($c_1 \geq c_2 \geq c_3 \geq \dots$). Докажите равенства
a) $c_1 + c_2 + c_3 + \dots = d_1 + d_2 + d_3 + \dots$;
b) $c_1^2 + c_2^2 + c_3^2 + \dots = d_1 + 3d_2 + 5d_3 + \dots + (2k-1)d_k + \dots$;
c) $d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + \dots = c_1 + 3c_2 + 5c_3 + \dots$;
… + $(2m-1)c_m + \dots$,
A. Зелевинский

M738*. Докажите, что a) количество прямых различных направлений, на которые данные $n$-угольник дает одинаковые по величине проекции, не превыходит $2n$; б) максимальное число таких прямых для любого многоугольника четно; в) для треугольника это число больше 3 тогда и только тогда, когда он остроугольный.

B. Прасолов

M739. Докажите, что при любом значении $x$, для которого права часть имеет смысл, выполены равенства
$$\frac{tg x + tg \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + tg \left(x + \frac{2\pi}{3}\right)}{tg x \cdot tg \left(x + \frac{\pi}{3}\right) \cdot tg \left(x + \frac{2\pi}{3}\right)} = 3;$$
$$\frac{tg x + tg \left(x + \frac{\pi}{n}\right) + \dots + tg \left(x + \frac{(n-1)\pi}{n}\right)}{tg x \cdot tg \left(x + \frac{\pi}{n}\right) \cdot \dots \cdot tg \left(x + \frac{(n-1)\pi}{n}\right)} = c_n,$$
где $n$ — нечетное число, $c_n$ — константа (зависшая от $n$).
b) $^*$ Найдите $c_n$ для каждой нечетного $n=5, 7, \dots$.

M740. Сережа насыпал в цилиндрическую картию немного шена и просил соседку тетю

26

Люду: «Сколько нужно налить воды, чтобы получалась вкусная каша?» — «Это очень просто, отвечала соседка. — Наклони кастрюлю — вот так; постучи, чтобы крупа пересыпалась и закрыларовно половину дна. Тепер заметь точку на стенке кастрюли, близжайшую к краю, до которой поднялась крупа — и зажми ее пальцем! До этого уровня и надо налить воду» (рис. 1). — «Так ведь пшена можно насыпать побольше и поменше, да и кастрюли бывают разные — широкие и узкие», — усомнился Сережа. — «Все равно, мой способ годится в любом случае!» — гордо ответила тетя Люда.
a) Докажите, что тетя Люда права: относение объемов воды и пшена по ее рецепту всегда получится одинаковым.
b) Чему равно это относение?

В. Семенова

Ф748. По винтообразному желобу с прямоугодным профиlem, вырезанному на внутренней поверхности беконечного длиного полого цилиндра, скользит маленький кубик (рис. 2). Радиус основания цилиндра равен R, шаг винта —h, коэффициент треня скольжения —μ. Найти установившуюся скорость движения кубика. (Размер кубика и глубина желоба много меньше R.)

Р. Энфиджян

Ф749. Массивный диск вращается вокруг кальной оси с угловой скоростью Ω. На него сверху опускают диск радиуса r массы m, ось которого направлена строго вертикально (рис. 3). Расстояние между осями дисков равно d (d>r). Коэффициент треня между поверхностями дисков равен μ. Определить установившуюся угловую скорость малого диска. Какой момент сил необходимо приложить к оси большого диска, чтобы скорость его вращения оставалась неизменной? Трене в осях отсутствует.

С. Кротов

Ф750*. При изменении направления на элементе Э ток через него меняется так, как показано на рисунке 4. Как будет меняться со временем направление на элементе Э, если его включить в схему, приведенную на рисунке 5 (параметры схемы указаны на рисунке)? Какого минимального сопротивления резистор можно подключить паралельно элементу Э, чтобы направление на элемент не оставалось постоянным?

З. Рафаилов

Ф751. На очень шероховатый цилиндр радиуса r, расположенный горизонтально, надет тонкий обруч радиуса R (рис. 6). Найти перiod колбаный обруч в вертикальной плоскости.

К. Сергеев

Ф752. На расстоянии L1=5 м от тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием F=10 см расположена равномерно освещенная вертикаль-

29

М697. Наозовем пузатостью прямогольника отношение его меньшей стороны к большей (пузатость квадрата равна 1). Докажите, что, как бы ни разрезать квадрат на прямогольники, сумма их пузатостей будет не меньше 1.

Будем считать, что длина стороны квадрата равна 1. Пусть $a_k \times b_k$ — размеры прямогольников разбиения, причем $a_k \geq b_k$ ($k=1, 2, \dots, n$). Поскольку $a_k \leq 1$ при всех $k$,
$$\frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \dots + \frac{b_n}{a_n} \geq a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = 1$$
(в правой части стоппадь квадрата).

Отметим, что равенство в написанном неравенстве возможно лишь, если все $a_k = 1$ ($k=1, 2, \dots, n$), то есть если квадрат разбит на полосы отрезками, параллельными его сторонам.

Интересно выяснить, какую оценку суммы пузатостей прямогольников разбиения можно дать для данного прямогольника площади 1 и пузатости $k$.

С. Фомин

М698. На сторонах $a, b, c, d$ вписанно в окружность четырехугольника «наружу» построены прямогольники размерами $a \times c, b \times d, c \times a, d \times b$. Докажите, что центры этих прямогольников являются вершинами $a$) параллельрамма, $b$) прямогольника.

Будем считать, что длина стороны квадрата равна 1. Пусть $a_k \times b_k$ — размеры прямогольников разбиения, причем $a_k \geq b_k$ ($k=1, 2, \dots, n$). Поскольку $a_k \leq 1$ при всех $k$,
$$\frac{b_1}{a_1} + \frac{b_2}{a_2} + \dots + \frac{b_n}{a_n} \geq a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n = 1$$
(в правой части стоппадь квадрата).

Отметим, что равенство в написанном неравенстве можно дать для данного прямогольника площади 1 и пузатости $k$.

С. Фомин

М699. Полукруе с диаметром $AB$ разрезан отрезком $CD$, перпендикулярным $AB$, на два кривolineных треугольника $ACD$ и $BCD$, в которых выса-

a) Пусть $M, P, N, Q$ — центры прямогольников, построенных на сторонах $AB, BC, CD$ и $DA$ вписанно четырехугольника $ABCD$ (см. рисунок).

Поскольку в четырехугольнике, вписанном в окружность, суммы противоположных углов равны $180^\circ$, а прямогольники, построенные на противоположных сторонах, конгруэнтны, то $MBP = NDQ$ и $NCP = MAQ$ (мы рассматриваем углы, меньшие $180^\circ$). Таким образом, $\triangle MBP \cong \triangle NDC$ и $\triangle NCP \cong \triangle MAQ$. Отсюда $|MP| = |NQ|$ и $|NP| = |MQ|$, а это означает, что четырехугольник $MPNQ$ — параллельгам.

6. Можно считать, что сторона $MQ$ параллельграма видна из точки $A$ изнутри параллельграма, сторона $PN$ видна из точки $C$ снаружи и, аналогично, сторона $MP$ видна из точки $B$ изнутри, а сторона $NQ$ из точки $D$ видна снаружи. Тогда расположение всех отрезков и треугольников будет таким, как показано на рисунке.

Докажем, что $MPN + NQM = 180^\circ$ (отсюда будет следовать, что $MPN = NQM = 90^\circ$). Эта сумма, очень/no, равна $BPC + DQA = 180^\circ$, поскольку $BPM = DQN$, а $CPN = AQM$.

О. Пенкин

a) Пусть $O$ — центр данного полукруга. Будем считать, что $|AO| = 1$. Пусть, для определения, точка $C$ лежит между точками $B$ и $O$ и $|OC| = a$ (см. рисунок).

Применяя теорему Пифагора к треугольникам $ADC$ и $ODC$, получаем $|AD|^2 - |AC|^2 = |OD|^2 - |OC|^2$, то есть

30

ны окружности, касающиеся AB в точках E и F (см. рисунок). Доказите, что $|AD| = |AF|$, $|DF| = |BC|$, величина уела EDF не зависит от выбора точки C и AB.

M700. Можно ли множество всех конечных десятичных дробей разить на a) два, b) три класса так, чтобы в один класс не попали два числа с разностью $10^m$ (ни при каком целом m=0, ±1, ±2…)?

Ф708. Для исследования свойств неплинойо резистора был произведен ряд экспериментов. Вначале была исследована зависимость сопротивления резистора от температуры. При повышении температуры до значения $t_1 = 100^\circ C$ менялось сопротивление от величины $R_1 = 50$ Ом до величины $R_2 = 100$ Ом; при охлаждении обратный скалок просходил при температуре $t_2 = 99^\circ C$ (пис. 1).

Во втором опите к резистору приложили постоянное напряжение $U_1 = 60$ В, при котором его температура оказалась равной $t_3 = 80^\circ C$.

Наконец, когда к резистору приложили постоянное напряжение $U_2 = 80$ В, в цепи возникли самопротивление колбания тока. Определите период этих колбаний, а также максимальное значение тока. Температура воздуха в laboratorии постоянная и равна $t_0 = 20^\circ C$. Теплоотдача от резистора пропорциональна разности температур и окружающей воздуха. Темперакость резистора $c = 3\Delta J/K$.

$|AD|^2 = |AC|^2 + |OD|^2 - |OC|^2$, или $|AD|^2 = (1+a)^2 + 1-a^2 = 2+2a$.

Пусть $O_1$ — центр окружности, вписанной в кривойный треугольник BDC, $r$ — ее радиус. Из прямогольного треугольника $OO_1F$ находим $(1-r)^2 = r^2 + (a+r)^2$, или $(a+r)^2 + 2r = 1$. Поскольку $|AF|^2 = (1+a+r)^2 = 1+2a+2r + (a+r)^2 = 2+2a$, получаем $|AF| = |AD|$. (Аналогично доказывается $|BD| = |BE|$).

6. Треугольник ADF — равноведенный, так что $AFD = ADF$. Далее, $AFD = BDF + DBF$, $ADF = ADC + CDF$ и $ADC = DBF$; поэтому $CDF = BDF$.

в) из решения пункта 6) следует, что $EDF = EDC + CDF = \frac{1}{2} ADB = \frac{\pi}{4}$.

В. Сендеров

6. Ответ: можно. Разобем множество всех конечных десятичных дробей на 3 класса, объединив в один класс те дроби, суммы цифр которых дают одинаковые остатки при делении на 3. Легко видеть, что разность двух любых дробей, принадлежащих одному классу, имеет сумму цифр, делушися на 3, и поэтому не равна $10^k$ ни при каком $k \in \mathbb{Z}$.

А. Лейдерман

Телловая мощность, выделяющая при прохождения тока через резistor, частную идет на нагревание резистора, частную рассеивания в окружающей пространство. В состоянии теплового равновесия (когда температура резистора остается постоянной) все выделяющая мощность рассеивания.

Обозначим через α коэффициент пропорциональности между рассеиваемой на резисторе мощностью и разностью температур резистора и окружающей воздуха.

При температуре $t_3 = 80^\circ C$ сопротивление резистора равно $R_1 = 50$ Ом (см. рис. 1), и $U_1^2/R_1 = \alpha(t_3 - t_0)$ (где $U_1 = 60$ В), откуда

$$\alpha = U_1^2/R_1(t_3 - t_0) = 1,2 \ B^2/(\Omega \cdot \text{град}).$$

Самопротивление колбания тока при напряжении на резисторе $U_2 = 80$ В произойдет в результате колбаний значения сопротивления резистора. Когда температура резистора становится равной $t_1 = 100^\circ C$, сопротивление его скалком увеличивается от $R_1 = 50$ Ом до $R_2 = 100$ Ом. В результате уменьшается тепловая мощность, выделяющая на резисторе, резistor начинает охлаждаться, чем отвод. При температуре $t_1 = 100^\circ C$ вновь произойдет скалком сопротивления, и процесс повторяется.

Перiod колбаний тока в цепи равен $T = t_1 + t_2$, где $t_1$ — время нагрева резистора от $99^\circ C$ до $100^\circ C$, $t_2$ — время охлаждения от $100^\circ C$ до $99^\circ C$.

Запишем уравнение теплового баланса:

$$\frac{U_2^2}{R_1} \tau_1 = \tau_1 \alpha(t_1 - t_0) + c(t_1 - t_2),$$

$$\frac{U_2^2}{R_2} \tau_2 = \tau_2 \alpha(t_1 - t_0) - c'(t_1 - t_2)$$

31

Рис. 1.
(поскольку температура резистора меняется очень низначительно, можно считать, что отводная тепловая мощность постоянна и равна $\alpha(t_1 - t_0))$.

Подставляя числовые данные, находим:
$$\bar{\tau}_1 = \bar{\tau}_2 \approx 0,1 \quad c \Rightarrow T \approx 0,2 \quad c.$$
Максимальное значение тока равно, очевидно,
$$I_{\max} = U_2/R_1 = 1,6 \quad A.$$
Minimalное значение —
$$I_{\min} = U_2/R_2 = 0,8 \quad A.$$
На рисунке 2 приведен график изменения тока в цепи со временем.

А. Буздин

Ф710.*) При наблюдении в области за пределем капли, которая увеличивается в размерах, положая мелчайшие капельки, встречаются на ее пути, было установлено, что капля движется все время с постояннымускорением. Определите этоускорение, считая начальный размер капли малым. Сторотивлением воздуха при движении капли пренебрежь.

Изменение импульса padаюшей капли переменной массы за малое время $\Delta t$ равно
$$\Delta(mv) = mg \cdot \Delta t.$$ (1)

По условию задан изменение массы капли за время $\Delta t$ равно
$$\Delta m = a\varrho v_{\text{cp}} s \cdot \Delta t,$$ (2)

где $\varrho$ — плотность воды, $v_{\text{cp}}$ — средняя скорость капли за время $\Delta t$, $s = 4\pi r^2$ — площадь поверхности капли, $\alpha$ — безразмерный коэффициент пропорциональности. С другой стороны, поскольку $m = 4/3\pi r^3 \varrho$ ($r$ — радиус капли),
$$\Delta m = 4\pi r^2 \varrho \cdot \Delta r = s\varrho \cdot \Delta r.$$

Если за время $\Delta t$ капля проходит расстояние $\Delta y$, то $\Delta t = \Delta y/v_{\text{cp}}$. Подставив выражения для $\Delta m$ и $\Delta t$ в (2), получим
$$\Delta r = \alpha \cdot \Delta y \sim \Delta y.$$

Следовательно, радиус капли растет пропорционально проиденному пути, то есть $r \sim y$.

Поскольку капля движется с постояннымускорением $a$, $y = at^2/2 \sim t^2$. Значит, $r \sim t^2$, $m \sim r^3 \sim t^6$. Учитывая эти соотношения, из (1) получаем
$$\Delta(t^6 at) \sim t^6 g \cdot \Delta t.$$

Выполняя следва дифференцирование, находим $a$:
$$\Delta(at^7) = 7at^6 \cdot \Delta t = t^6 g \cdot \Delta t \Rightarrow a = g/7.$$

А. Стасенко

Ф711. В таблице приведены экспериментальные данные о тепломкости и молярных массах неокорых твердых тел (первы две строки таблицы). На основании этих данных установить неокорую физичесу закономерность и заполнить три пустые клетки

*) Решение задачи Ф709 — в статье А. Зильбермана «Два способа расчета электрических цепей» на с. 33.

Если внешательное посмотреть на таблицу, то можно увидеть, что произведение удельной тепломкости $c$ (Дж/(г·К)) на молярную массу $A$ (г/mоль), то есть молярная тепломкость $C = cA$ (Дж/(моль·К)), для всех приведенных в таблице металлов есть величина, примерно постоянная (значения $C$ приведены в третьей строке таблицы) и близкая к $3R = 24,93$ Дж/(моль·К). Этот экспериментальный факт известен как закон Дюлонга и Пти. Среднее значение $C$ для десяти приведенных в таблице металлов равно 25,02 Дж/(моль·К). Максимальное отклонение от среднего равно 0,7 для алюминия и +0,8 для нижеяя, то есть относительное превышет $3 \div 4\%$. Разумно ожидать, что и для таких металлов, как титан, железо, магний, молярная тепломкость должна быть близка к 25 Дж/(моль·К) с такой же примерно превышет.

32

таблицы. Какова предполагаемая точность ваших предсказаний (в процентах)? Универсальная газовая постоянная $R=8,31$ Дж/(моль·К).

Теперь легко заполнить оставшиеся пустыми клеточками таблицы: для железа $A \approx 56$ г/моль; для магния $c \approx 1,04$ Дж/(г·К); для титана $c \approx 0,52$ Дж/(г·К).

Приведем экспериментальные значения молярной теплоемкости этих металлов: для железа $C=25,02$ Дж/(моль·К);

| Серебро | Алюминий | Золото | Висмут | Кобальт | Медь | Железо | Литий | Матний | Никель | Платина | Титан | Ванадий |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| $c$, Дж/(г·К) | 0,238 | 0,90 | 0,128 | 0,122 | 0,417 | 0,383 | 0,447 | 3,52 | 0,43 | 0,131 | 0,484 |
| $A$, г/моль | 107 | 27 | 197 | 209 | 59 | 64 | 7 | 24 | 60 | 196 | 48 | 51 |
| $C$, Дж/(моль·К) | 25,47 | 24,31 | 25,22 | 25,5 | 24,6 | 24,5 | 24,64 | 25,8 | 25,7 | 24,7 |

для магния $C=24,6$ Дж/(моль·К); для титана $C=25,02$ Дж/(моль·К).

Е. Сурков

Ф712. Небольшой шарик движется с постоянной скоростью $\vec{v}_0$ по гладкой горизонтальной поверхности и попадает в точке $A$ в цилиндрический вертикальный колодец луббины $H$ и радиуса $R$. Вектор скорости шарика составляет угол $\alpha$ с диаметром колодца, проведенным в точку $A$ (рис. 1). При каком соответствии между $\vec{v}_0$, $H$, $R$ и $\alpha$ шарик после упружеих соударении со стенками и дном сможет «выбрать» из колодца?

На рисунке 1 приведен вид сверху на траекторию движения шарика.

Поскольку соударения шарика со стенкой и дном колодца упругие, абсолотное значение горизонтальной проекции скорости шарика остается неизменным и равным $v_0$. Расстояния по горизонтали между точками, в которых проискодят два последовательных соударения, равны $|AA_1| = |A_1A_2| = |A_2A_3| = \dots = 2R$ cos $\alpha$. Время между двумя последовательными соударениями шарика со стенкой колодца равно $t_1 = 2R \cos \alpha/v_0$.

Вертикальная проекция скорости шарика при соударениях со стенкой не изменяется, а при соударении с дном меняет знак на противоположный. Абсолотное значение вертикальной проекции при первом ударе о дно равно $\sqrt{2gH}$; время движения от вершины колодца до дна равно $t_2 = \sqrt{2H/g}$.

На рисунке 2 представлена vertikальная развертка многогранника $A_1A_2A_3\dots$. Следы траектории шарика на такой развертке — парабoles (целые парабoles — следы траектории между последовательными ударами о дно). Понятно, что шарик сможет «выбрать» из колодца, если момент максимального подема по параболе совпадет с моментом соударения со стенкой (то есть в момент максимального подема шарик оказывается в точке $A_n$ на границе колодца). Это означает, что времена $t_1$ и $t_2$ должны быть связаны.

Рис. 1.

Рис. 2.

34

Рис. 2.

расчета изменения тока в какой-либо ветви схемы при изменении ЭДС одного из источников — метод наложения очень удобен. Изменение ЭДС на величины ΔΦ можно представить как добавление к данному источнику последовательного батареи без внутреннего сопротивления с ЭДС, равной ΔΦ. Понятно, что в этом случае нет надобности расчитывать все простые схемы; достаточно рассмотреть только одну — с ЭДС ΔΦ. Полученные при этом значения токов в ветвях и будут искомыми изменениями токов.

Найдем, например, изменение тока через батарею $\delta_2$ (в предыдущей задаче) при изменении ЭДС первого батареи ($\delta_1$) на ΔΦ. Воспользовемся схемой, аналогичной 2,a, в которой на месте $\delta_1$ включена батарея с ЭДС ΔΦ. В такой схеме ток, текущий через $r_2$, равен

$$\Delta I = \frac{\Delta \delta}{\rho_{06\Sigma}} \frac{R}{(r_2 + R)} = \frac{\Delta \delta \cdot R}{r_1 r_2 + R (r_1 + r_2)}$$

Это и есть изменение тока через батарею $\delta_2$ при изменении ЭДС $\delta_1$ на ΔΦ.

Решим методом наложения задачу Ф709. Напомним ее условия.

Ф709. Собрана схема, показанная на рисунке 3. ЭДС батареи $\delta_1$ уменьшили на 1,5 В, после чего ток на различных участках цепи изменился. Как нужно изменить ЭДС батареи $\delta_2$, чтобы

1. ток через батарею $\delta_2$ стал пренебречь?
2. ток через батарею $\delta_1$ стал пренебречь?

Внутренними сопротивлениями батарей пренебречь.

Рис. 3.

На рисунке 4 представлены простые схемы для цепи, в которой $\delta_1$ заменено на ΔΦ, а $\delta_2$ — на ΔΦ, где ΔΦ и есть искомое изменение ЭДС $\delta_2$. Для того чтобы ток через вторую батарею остался пренебречь, ток, текущие через эту батарею (то есть через ветви, из которых эта батарея «выкинитуа») в схемах 4, а и 4, б, должны быть равными по величины и противоположными по направлению.

В схеме 4, а ток, текущий от батареи $\delta_1$, развивается, и в диагональ получившегося места течет ток ΔI, равный разности токов-разветвления:

$$\Delta I = \frac{\Delta \delta}{R_{AB}} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) = \frac{\Delta \delta}{5R/4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{\Delta \delta}{5R}$$

В схеме 4, б

$$\Delta I = \frac{\Delta \delta}{R_{CD}} = \frac{\Delta \delta}{5R/4} = \frac{4\Delta \delta}{5R}$$

Приравнивая полученные выражения для ΔI, найдем $\Delta \delta_2$:

$$\Delta \delta_2 = \Delta \delta_1/4$$

Знаки изменений найдем, сравнить полярность батареи в исходной схеме (рис. 3) и в схемах 4, а и 4, б. В нашем случае батарея $\delta_1$ включена против батареи $\delta_1$ (суммарная ЭДС меньше $\delta_1$), и батарея $\delta_2$ условно направлена против батареи $\delta_2$, при этом мы получили $\Delta \delta_2 < 0$ — ЭДС батареи $\delta_2$ следует уменьшить. Если бы оказалось, что $\Delta \delta_2 > 0$, это означает бы, что ЭДС $\delta_2$ следует увеличить.