Московский гидромелиоративный институт

45

Московский
гидромелюративный
институт

Математика
Писменный экзамен
Вариант 1

1. Найдите косинусы углов, которые образуют с базисными векторами вектор $\vec{a} = 6\vec{i} - 2\vec{j} - 3\vec{k}$.
2. Решите уравнение
   $$7 \cdot 10^{2x+3} - 5 \cdot 4^{2x+3} = 2 \cdot 25^{2x+3}.$$
3. Решите уравнение
   $$\frac{\sin x}{1 + \cos x} = \sin \frac{x}{2}.$$
4. Вокруг оси $Ox$ врашается касательная, проведенная к параболе $y = x^2$ в точке $A(1; 1)$. Найдите объем тела, полученного врашением отрезка касательной, ограниченной точкой касания и точкой пересечения касательной с осью $Ox$.
5. Объем прямой треугольной признамы равен $V$. В основании признамы лежит сторона основания, чтобы полная поверхность признамы была наименьшей?

Вариант 2

1. В плоскости $Oxy$ найдите вектор $\vec{b}$, перpendикулярный вектор $\vec{a} = 3\vec{i} - 4\vec{j} + 5\vec{k}$ и имеющий с ним одинаковую длину.

2. Найдите все решения уравнения
   $$2^{1+2x} - 9 \cdot 2^x + 4 = 0,$$
   удовлетворяющие условия $\cos \frac{5x-2}{2+x} < 0$.

3. Найдите наиболее и наименьшее значения функции $y = x^3 - 3x^2 + 3x + 2$ на промежутке $[-2; +2]$, построите ее график.

4. Решите уравнение
   $$\sqrt{6 - \sin x - 7 \cos^2 x} + \sin x = 0.$$

5. В декартовой прямой угловой системе координат $Oxy$ задана функция $F$, ограниченная линями $y = 0, x = 6, y = \frac{4}{x}$ и касательной к кривой $y = \frac{4}{x}$ в точке $A(x_0; y_0)$, в которой $x_0 = 2$. Найдите площьей функции $F$. Задачи устного экзамена

6. Найдите $f(g(x))$ и $g(f(x))$, если $f(x) = 2^x$, $g(x) = x^2$.

7. Найдите линейную функцию $f(x)$, если $f(-1) = 2$, $f(2) = -3$.

8. Найдите квадратную функцию $f(x)$, если $f(0) = 1$, $f(1) = 0$, $f(3) = 5$.

9. Найдите функцию, обратную функцию a) $y = 2x - 4$;

6. $y = \lg \frac{x}{2}$;
   b) $y = x^2 - 1, x \in ] - \infty; 0]$.

5. Выясните ли четной или нечетной функция
   a) $f(x) = \frac{1}{2}(2^x + 2^{-x})$;
   b) $f(x) = \sqrt{1+x+x^2} - \sqrt{1-x+x^2}$;
   b) $f(x) = \lg \frac{1+x}{1-x}$.

6. Найдите область определения функции
   a) $y = \frac{1}{\sqrt{1-2x}}$;
   b) $y = \sqrt{6x-x^2}-5$;
   b) $y = \log_2 \frac{x^2-3x+2}{x+1}$;
   г) $y = \log_{|x|-4} 2$;
   д) $y = \sqrt{\frac{3^x-4^x}{2x^2-x+5}}$.

7. Постройте график функции
   a) $y = \frac{1-2x}{3}$;
   b) $y = |x^2-x-6|$;
   b) $y = |x|+|x-1|$.

8. Найдите предел
   a) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+5x-6}{x-x^2}$;
   b) $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin \frac{x}{3}}$;
   b) $\lim_{x \to 0} \sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}$.

9. Найдите произвольную функции
   a) $y = (\sin 2x+8)^3$;
   b) $y = \sqrt{\ln x}$;
   b) $y = \sqrt{\sin 2x}$.

10. Найдите уравнение касательной к параболе $y = x^2 - 7x + 3$, если эта касательная параллельна прямой $5x+y-3=0$.

11. Найдите первообразную функцию
    $$\left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2.$$

12. При каких положительных значениях параметра $a$ площьей функции, ограниченной линями $y = \cos ax$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{6a}$, $x = \frac{\pi}{2a}$, больше 3?

13. Найдите все значения $a$, при которых многоjectво
    $$\{(x; y)|x^2+y^2+2x \leq 1\} \cap \{(x; y)|x-y+a=0\}$$ содержит только одну точку. Найдите эту точку.

14. Вычислите длину вектора $\vec{a}$, если $\vec{b} = (3; -2; 1)$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 7$ и $\vec{a} \parallel \vec{b}$.

15. Отрезок $AB$ единной длины является хордой сферы радиуса 1 и расположен под углом $\frac{\pi}{3}$ к диаметру $CD$ этой сферы. Расстояние от конца $C$ диаметра $CD$ до близкой его нему конца $A$ хорды $AB$ равно $\sqrt{2}$. Определите $|BD|$.