Đường thẳng trên bề mặt cong

26

Thẳng trên mặt cong

Việc các đường thẳng có thể nằm hoàn toàn trên một bề mặt cong mạnh sẽ không gây ngạc nhiên cho độc giả đã xem bìa số trước «Kvant». Chúng tôi sẽ đề cập đến hiện tượng này nhiều lần trong các trang hình học của chúng tôi; hôm nay chúng ta sẽ nói về các bề mặt đặc biệt có nhiều đường thẳng này.

Một mặt được gọi là mặt phẳng nếu toàn bộ đường thẳng chứa trong nó đi qua từng điểm của nó; các đường thẳng nằm trên một bề mặt được định tuyến được gọi là các đường sinh trực tuyến của nó. Một bề mặt được gọi là có quy tắc kép nếu có ít nhất hai đường sinh tuyến tính khác nhau đi qua mỗi điểm của nó.

Ví dụ đơn giản nhất về bề mặt được cai trị kép không phẳng là “hyperbolit xoay một tấm”. Đây là một bề mặt mà khi quay sẽ nhận được các hyperbol xung quanh một trục đối xứng không giao nhau với nó (Hình 1). Trong hệ tọa độ OXYZ có gốc tọa độ ở tâm hyperbol và với trục OZ đi dọc theo trục quay, phương trình bề mặt của chúng ta có dạng

$$x^2 + y^2 = a^2z^2 + b^2,$$

(1)

trong đó $a$ và $b$ là độ dài của các đoạn được đánh dấu trong Hình 1. Chúng tôi không rút ra phương trình này và chúng tôi sẽ không thể sửa nó. Điều quan trọng duy nhất là bề mặt của chúng ta được cho bởi đa thức bậc hai trong $x, y, z$, nghĩa là hyperbolide của chúng ta, như người ta nói, là một bề mặt bậc hai: nếu một đường thẳng có ít nhất ba điểm chung với một hyperbol, thì nó được chứa trong đó.

Bằng chứng. Đặt $l$ là đường thẳng bất kỳ và $A_1(x_1,y_1,z_1)$, $A_2(x_2,y_2,z_2)$ bất kỳ hai điểm nào của nó. Vector $\overrightarrow{A_1A_2}$ có tọa độ $(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1)$. Đặt $A$ là một điểm tùy ý của đường thẳng $l$. Sau đó, vectơ $\overrightarrow{A_1A}$ đếm

tuyến tính $\overrightarrow{A_1A_2}$; điều này có nghĩa là nó có tọa độ $(\lambda(x_2-x_1); \lambda(y_2-y_1); \lambda(z_2-z_1))$, trong đó $\lambda$ là một số nào đó. Điều này có nghĩa là điểm $A$ lần lượt có tọa độ $(x_1+\lambda(x_2-x_1); y_1+\lambda(y_2-y_1); z_1+\lambda(z_2-z_1))$. Để điểm $A$ nằm trên bề mặt của chúng ta, tọa độ của nó cần phải thỏa mãn phương trình bề mặt. Thay thế các tọa độ này vào phương trình (1) và sắp xếp lại tất cả các số hạng sang vế trái, chúng ta thu được một phương trình tương đối $\lambda$ có dạng $\alpha\lambda^2 + \beta\lambda + \gamma=0$, trong đó các hệ số $\alpha, \beta, \gamma$ rất dễ tính toán (chúng phụ thuộc vào $u$, $x_1, x_2, y_1, y_2, z_1, z_2$), nhưng chúng ta không cần biểu thức rõ ràng của chúng. Nếu ít nhất một trong các hệ số $\alpha, \beta, \gamma$ này không bằng 0 thì phương trình cuối cùng có không quá hai lời giải, tức là đường thẳng có không quá hai điểm chung với mặt phẳng, điều này là không thể theo điều kiện. Điều này có nghĩa là $\alpha=\beta=\gamma=0$ và với bất kỳ $l$ nào thì điểm $A$ nằm trên bề mặt.

Nhân tiện, người ta đã chứng minh theo cách tương tự rằng một đường cong bậc hai (nghĩa là một đường cong trên mặt phẳng được xác định bởi đa thức bậc hai chưa biết $x, y$) cắt một đường thẳng (không chứa trong nó) nhiều nhất là hai điểm. (Trong sổ tay của trường, đôi khi bạn muốn thấy một hình vẽ cường điệu bất cẩn ở dạng này:

Đường thẳng màu đỏ cắt hyperbol này tại 4 điểm, điều này là không thể: xét cho cùng, hyperbol là một đường cong bậc hai!)

27

Hãy quay trở lại với cường điệu của chúng tôi. Chúng ta lấy điểm $A$ trên đường tròn cổ (tức là nằm trên giao điểm của hyperbol với mặt phẳng $XOY$), vẽ tiếp tuyến $t_1$ với đường tròn này và tiếp tuyến $t_2$ với vị trí tương ứng của hyperbol quay rồi vẽ mặt phẳng đi qua các đường thẳng $t_1$ và $t_2$ $T$. Lưu ý rằng đường tròn và hyperbol tiếp xúc với các đường thẳng $t_1$ và $t_2$ nằm ở hai phía đối diện của mặt phẳng $T$. Do đó, trong bất kỳ góc phần tư nào trong đó các đường $t_1$ và $t_2$ chia mặt phẳng $T$, đều có một điểm chung của hyperbolide và mặt phẳng. Đặt $B$ là một trong những điểm như vậy (Hình 2). Vì rõ ràng, hyperbolit của chúng ta đối xứng với mặt phẳng được vẽ qua $t_1$ và $t_2$ vuông góc với $T$, giao điểm của nó với $T$ đối xứng với $t_1$ và $t_2$ và cùng với điểm $B$ nó thuộc về các điểm $B_1, B_2$ và $B_3$, tạo thành với $B$ một hình chữ nhật có tâm $A$. Mỗi đường chéo $l_1, l_2$ của hình chữ nhật này có ba điểm chung với hyperbolide (lần lượt là $B, A, B_2$ và $B_1, A, B_3$). Điều này có nghĩa là, theo những gì đã được chứng minh ở trên, mỗi chúng đều được chứa trong hyperbolide của chúng tôi. Cần lưu ý rằng lý do này có thể áp dụng cho bất kỳ điểm $A$ nào của vòng tròn cổ họng. Đường thẳng $l_1$ và đường thẳng riêng biệt $l_2$ sẽ nhận thấy toàn bộ sự cường điệu. Do đó, một đường hyperbolide xoay một tờ là một bề mặt tuyến tính kép.

Tóm lại, có hai ý kiến. Sự tương ứng đầu tiên là một đường hyperbol một mặt của đường tròn cũng là một bề mặt xoay của một đường thẳng bao quanh nhau, nếu không song song (hãy chứng minh điều đó!). Từ đó, có thể thấy rằng việc tạo một hyperbolit dễ dàng hơn là vẽ một hyperbolit: chỉ cần buộc hai vòng giống hệt nhau bằng các sợi chỉ, như trong hình, và xoay một vòng so với vòng kia, giữ cho tất cả các sợi đều căng (Hình 3). Bằng cách thay thế các vòng bằng các vòng tròn bằng bìa cứng gắn trên một trục chung, bạn có thể xây dựng một mô hình như vậy cho lớp học toán ở trường. Một câu hỏi nhanh nhạy: có thể tạo ra một hyperbolide với hai vòng giống hệt nhau không?

Lưu ý thứ hai. Nó bao gồm thực tế là có rất ít bề mặt tuyến tính kép. Nếu chúng ta mở rộng một hyperbolide sang bất kỳ mặt phẳng nào, thì tất nhiên nó sẽ giữ được tính tuyến tính gấp đôi của nó; bề mặt thu được được gọi là hyperbolide một tờ (không phải “xoay”, mà đơn giản). Một ví dụ khác về bề mặt tuyến tính bậc hai là một paraboloid hyperbol. Bề mặt này sẽ đạt được nếu tại mỗi điểm một parabol có trục thẳng đứng và hướng lên trên, bị treo bởi đỉnh của một parabol vuông góc với nó (xem hình ở đầu “trang”); các parabol lơ lửng đều giống nhau; parabol lơ lửng có thể có kích thước khác nhau). Một paraboloid hyperbol cũng là một bề mặt bậc hai; trong một hệ tọa độ phù hợp nó có phương trình $z=xy$. Không có bề mặt tuyến tính kép nào khác được kết nối (nghĩa là bao gồm một mảnh).

Bài tập tiếp theo của trang hình học.

Một hình xuyến (bề mặt quay của một vòng tròn quanh một trục không cắt nó và nằm trong cùng một mặt phẳng với nó) được tạo ra bởi các đường thẳng song song, sau đó chúng cắt mặt phẳng (“màn hình”). Chúng ta sẽ chỉ xem xét những đường tiếp xúc với hình xuyến. Chúng tôi đánh dấu các điểm tiếp xúc với nó bằng bút chì, các điểm giao nhau của các đường thẳng của chúng tôi với màn hình - bằng màu đỏ. Một sự hợp nhất xuất hiện trên hình xuyến, màu đỏ xuất hiện trên màn hình. Hãy thử vẽ chúng. (Một kết quả đặc biệt thú vị sẽ thu được nếu góc nghiêng của các đường thẳng với mặt phẳng của đường tròn trục của hình xuyến là không bằng verlik - nhỏ hơn 45° - và nếu khoảng cách từ trục quay đến đường tròn quay không vượt quá bán kính của đường tròn.)