Прямые на кривой поверхности

26

Прямы на кривой поверхности

To, что на сильно искривленной поверхности могут целиком помещаться прямые, не удивит читателя, рассмотревшего обложку предыдущего номера «Кванта». Мы еще не раз обратимся к этому феномену на наших геометрических страницах; сегодня же мы поговорим о поверхности, на которых эти прямых особенно много.

Поверхность называется линейчатой, если через каждую ее точку проходит целиком содержащаяся в ней прямая; прямые, лежащие на линейчатой поверхности, называются ее прямолинейными образующими. Поверхность называется двукратно линейчатой, если через каждую ее точку проходит по крайней мере две различные прямолинейные образующие.

Простейший пример неплоской двухкратно линейчатой поверхности — «однополостный гиперболид врашения». Это — поверхности, получающая при врашении гиперболы вокруг не пересекающей ее оси симметрии (рис. 1). В системе координат OXYZ с началом в центре гиперболы и с осью OZ, проходящей по оси врашения, уравнение нашей поверхности имеет вид

$$x^2 + y^2 = a^2z^2 + b^2,$$

(1)

где $a$ и $b$ — длины отрезков, отмещенных на рисунке 1. Мы не занимаемся выводом этого уравнения, и оно нам почини не попадбится. Важно лишь, что наша поверхности задается многочленом второй степени от $x, y, z$, то есть наш гиперболид есть, как говоря, поверхности второго порядка: если прямая имеет с гиперболом по крайней мере три общие точки, то она в нем содержится.

Доказательство. Пусть $l$ — любая прямая и $A_1(x_1,y_1,z_1)$, $A_2(x_2,y_2,z_2)$ — любые две ее точки. Вектор $\overrightarrow{A_1A_2}$ имеет координаты $(x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1)$. Пусть $A$ — произвольная точка прямой $l$. Тогда вектор $\overrightarrow{A_1A}$ кол-

линеарен $\overrightarrow{A_1A_2}$; значит, он имеет координаты $(\lambda(x_2-x_1); \lambda(y_2-y_1); \lambda(z_2-z_1))$, где $\lambda$ — неокторое число. Значит, точка $A$, в свою очередь, имеет координаты $(x_1+\lambda(x_2-x_1); y_1+\lambda(y_2-y_1); z_1+\lambda(z_2-z_1))$. Чтобы точка $A$ лежала на нашей поверхности, необходимо, чтобы ее координаты удовлетворили уравнению поверхности. Подставляя эти координаты в уравнение (1) и переоснащения все члены в левую часть, мы получаем уравнение относительной $\lambda$ вида $\alpha\lambda^2 + \beta\lambda + \gamma=0$, где коэффициенты $\alpha, \beta, \gamma$ легко подчитываются (они зависят от $u$, $x_1, x_2, y_1, y_2, z_1, z_2$), но их явное выражение нам не нужно. Если хотя бы один из этих коэффициентов $\alpha, \beta, \gamma$ не равен нулю, последнее уравнение имеет не более двух решений, то есть прямая имеет не более двух общих точки с поверхности, что невозможно по условиям. Значит, $\alpha=\beta=\gamma=0$, и при любом $l$ точка $A$ лежит на поверхности.

Кстати, точно так же доказывается, что кривая второго порядка (то есть кривая на плоскости, заданная многочленом второй степени от неизвестных $x, y$) пересекается с прямой (не содержащейся в ней) не более чем в двух точках. (В школьных тетрадях прихотится иногда видеть небрежный рисунок гиперболы в таком рode:

Красная прямая пересекает эту гиперболу в 4 точках, что невозможно: ведь гипербола — кривая второго порядка!)

27

Вернемся к нашему гиперболюдиу. Возьмем точку $A$ на горловой окружности (то есть на линей пересечения гиперболюда с плоскостью $XOY$), проведем касательную $t_1$ к этой окружности и касательную $t_2$ к соответствующему положению врашаемой гиперболы, а затем проведем через прямые $t_1$ и $t_2$ плоскость $T$. Заметим, что окружность и гипербола, которые касаются прямые $t_1$ и $t_2$, лежит по разные стороны от плоскости $T$. Поэтому в любой из четырех четвертей, на которые прямые $t_1$ и $t_2$ делят плоскость $T$, найдется общая точка гиперболюда и плоскости. Пусть $B$ — одна из таких точек (рис. 2). Так как, очевидно, наш гиперболюд симметричен относительно плоскости, проведенных через $t_1$ и $t_2$ перpendикулярно $T$, его пересечение с $T$ симметрично относительно $t_1$ и $t_2$ и вместе с точкой $B$ ему принадлежат точки $B_1, B_2$ и $B_3$, образующие с $B$ прямогольник с центром $A$. Каждый из диагоналей $l_1, l_2$ этого прямогольника имеет с гиперболюдом три общие точки (соответственно, $B, A, B_2$ и $B_1, A, B_3$). Значит, согласно доказанному выше, каждая из них содержится в нашем гиперболюде. Остатся заметить, что это рассуждение применимо к любой точке $A$ горловой окружности. Прямы $l_1$ и отдельно прямые $l_2$ заметют весь гиперболюд. Таким образом, однополостный гиперболюд вращения — двухкратно линейная поверхность.

В заключение два замечания. Первосоответствует в том, что однополостный гиперболюд вращения является также поверхностью вращения одной прямой вокруг друга, если не паралельной (доказите это!). Из этого видно, что соорудить гиперболюд легче, чем нарисовать гиперболюд: достаточно связать нитками два одинаковых обруча, как показано на рисунке, и повернуть один обруч относительно другого, держа все нити в натянутом состоянии (рис. 3). Заменив обручи на картоны круги, посаженные на обшую ось, можно соорудить такую модель для школьного математического кабинета. Вопрос на сообразительность: можно ли сделать нитной гиперболюд, имея два одинаковых обруча?

Второе замечание. Заключается оно в том, что двухкратно линейных поверхностей существуют немного. Если скать гиперболюд к любой плоскости, то он, конечно, сохранит свою двухкратную линейность; возниклашая поверхность называется однополостным гиперболюдом (не «вращения», а просто). Другой пример линейной поверхности второго порядка — гиперболическая параболюд. Эта поверхность получится, если в каждой точке парабола, ось которой вертикальная и направлена вверх, подвесят за вершину перpendикулярную ей парабoly (см. рисунок в начале «странички»); подвешиваемые параболы все одинаковы, парабола подвески может иметь другие размеры). Гиперболическая параболюд — тоже поверхность второго порядка, в подходящей системе координат он имеет уравнение $z=xy$. Других связных (то есть состоящих из одного куса) двухкратно линейных поверхностей не было.

Задание к следующему вынуку геометрической страницы.

Тор (поверхность вращения окружности вокруг не пересекающей ее оси, лежащей с ней в одной плоскости) произвелается путем параллельных прямых, которые пересекают затем плоскость («экран»). Мы рассматрием только те прямые, которые касаются тора. Точки касания мы отмечаем с ним карандашом, точки пересечения наших прямых с экраном — красным. На торе возникает слияния, на экран — красная. Попробуйте их нарисовать. (Особенно интересный результат получится, если угол наклона прямых к плоскости осевой окружности тора неверлик — меньше 45° — и если расстояние от оси вращения до вращаемой окружности не превышает радиуса окружности.)