Задачи М826—М830; Ф838—Ф842

43

Задачи

М826—М830; Ф838—Ф842

М826. На доске написали три числа. Затем одно из них стерли и вместе него написали сумму двух других чисел, уменьшенно на единицу. Эту операцию повторили несколько раз и в результате получили числа 17, 1967, 1983. Могли ли первоначально быть написаны числа a) 2, 2, 2; 6) 3, 3, 3? (8)

А. А. Берзины

М827. Известно, что четыре синх треугольника на рисунке 1 (с. 44) равновелики.
a) Докажите, что три красных четырехугольника на этом рисунке также равновелики.
b) Найдите площадь одного четырехугольника, если площадь одного синго треугольника равна 1.(8)

Б. И. Чиник

М828*. Можно ли в клетках бесконечного листа клетчатой бумаги расставить целые числа так, чтобы сумма чисел в каждой прямогольнике размера 4×6 клеток, стороны которого идут по линяям сетки, равнялись a) 10; 6) 1? (8)

Н. Ю. Нечевгаев

М829. Докажите, что среди любых 2m+1 различных целых чисел, по модulo не превосходящих 2m—1, найдутся три числа, сумма которых равна 0.(9)

Н. В. Картацов

М830*. Школьник упражняется в решении квадратных уравнений. Выписав какое-то уравнение $x^2+p_1x+q_1=0$, он решает его и, убедившись, что оно имеет два корня, составляет второе уравнение $x^2+p_2x+q_2=0$, в котором $p_2$ — это меньший, а $q_2$ — больший корень первого уравнения. По второму уравнению он составляет третье, если это возможно, и т. д.
a) Докажите, что это уравнение не может продолжаться бесконечно долго.
b) Найдите наиболее простовательно квадратных трехленов, удовлетворяющих указанному условияю.(10)

М. В. Сапир

Ф838. В 1844 году выдаюшийся математик и астроном Бессель обнаружил, что собственное (не связанное с движением земного наблю-

44

дателя) движение Сириуса произходит примерно по синусиде (рис. 2.). Максимальное угловое отклонение от прямолинейного пути $\alpha=2,3''$, период $T=50$ лет. Бессель предположил (через 18 лет это было подтверждено прямыми наблюдениями), что искривление пути Сириуса вызывается начиным спутника — более слабой звезды. Найти относение массы $m$ спутника (Сириуса $B$) к массе $M_C$ Солнца, если масса основной звезды (Сириуса $A$) $M=2,3$ $M_C$. Известно, что радиус земной орбиты виден с Сириуса под углом $\beta=0,376''$. Считать, что орбиты звезд круговые, а плоскость орбит перепendlukулярна направлено от Солнечной системы к Сириусу. (10)

В. Е. Белопучкин

Ф839. Если шестигранный карандаш положить на наклонную плоскость, составляющего угол $\alpha$ с горизонтальной поверхности, перпендикулярно ее образующей (линии пересечения плоскости с горизонтальной поверхности), карандаш будет покопиться. Если его положить параллельно образующей, он будет скатывать вниз. При каких углах $\phi$ между осью карандаша и образующей наклонной плоскости (рис. 3) карандаш будет находиться в равновесии? (8)

С. С. Кротов

Ф840. В горизонтальном расположенной плоской коробке размером $10\times10$ см беспорядочно лежат 1000 маленьких стальных шариков массы $m=0,5$ мг каждой. Коробку начинают двигать со скоростью $v_0=10$ м/с перпендикулярно одной из боковых стенок. Считая удары шариков о стенки коробки и друг о друга абсолотно упругими, определять: а) какие импульсы передадут шарики каждой из боковых стенок за первые 10 секунд; б) какие импульсы получают стены за следующее 10 секунд после того, как коробку резко затормозили. (9)

А. Р. Зильберман

Ф841. Спускаемый аппарат космического корабля приближается к поверхности некоторой планеты с постоянной скоростью, передавая на борт коробля данные о наружном давлении. График зависимости давления $p$ (в условиях единицах) от времени $t$ приведен на рисунке 4. Опустившись на поверхности планеты, аппарат изменил и передал на борт данные о температуре иускорении свободного падения: $T=700$ К, $g=10$ м/$c^2$. Определить скорость спуска аппарата, если известно, что атмосфера планеты состоит из углекислого газа ($CO_2$). Определить также температуру на высоте $h=15$ км над поверхности планеты. (9)

А. И. Буздин