Перед школьной олимпиадой

28

Перед школьной олимпиадой

Кандидат физико-математических наук
А. Г. ГЕЙН

Сегодняшнее занятие математического кружка следует рассматривать как подготовительное к олимпиадам.

Для многих школьников математические олимпиады — это первый шаг в знакомстве с внешкой математикой. На олимпиадах ребята учатся применять свои знания к решению нестандартных задач, совершаются со сверстниками из других школ и городов. Объчно на олимпиаде предлагаются задачи, которые условно можно назвать алгебраическими, геометрическими, числовыми и логическими. Мы предлагаем вашему вниманию несколько таких задач уровня школьных и районных олимпиад (цифра в скобках указывает класс, в котором предлагается задача*)). Краткие решения и указания ко всем задачам вы найдете в следующем номере журнала.

Начем с задач алгебраических и геометрических — они, пожалуйста, не нуждаются в комментариях.

1. На дне озера быот ключи. Стado из 183 сlonов могло бы выпить озеро за один день, а стado из 37 сlonов — за 5 дней. За сколько дней выпеть озеро один слон? (7)

2. Пусть $a, b, c, d$ — целые числа и $a+b+c+d=0$. Докажите, что числа

*) Эти задачи предлагаются школьникам Свердловской области в разных годы. Свердловские области олимпиады по математике организуют учеными Института математики и механики Уральского научного центра АН СССР и Уральского государственного университета им. А. М. Горького. Единое жирно составляет варнаны от школьного до области туров. Об олимпиадах в Свердловске см. «Квант», 1983, № 9.

$a^2+b^2+c^2+d^2$ можно представить в виде суммы квадратов трех целых чисел. (7)

3. Данны не равные нулю числа $a, b, p, q$ такие, что $p+q=1$ и $\frac{p}{a}+\frac{q}{b}=\frac{1}{pa+qb}$. Докажите, что $a=b$. (8)

4. Найдите все числа $a, b, c, d$ такие, что

$$\begin{cases} abc=a+b+c, \\ bcd=b+c+d, \\ cda=c+d+a, \\ dab=d+a+b. \end{cases}$$ (8)

5. Найдите все числа $x, y, z$ такие, что

$$\begin{cases} x^4+y^4+z^4=3, \\ x^5+y^5+z^5=3, \\ x^6+y^6+z^6=3. \end{cases}$$ (9)

6. Определите значение параметра $k$, если известно, что неравенство $\frac{x^2+kx+10}{x^2+3x+10} \leq 1$ выполняется для всех $x$. (9)

7. При каком $a$ уравнение $1+\sin^2\alpha x=\cos x$ имеет единственное решение? (10)

8. Решите уравнение $x^3-[x]=4$, где $[x]$ — целая часть числа $x$. (10)

9. Найдите

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{8}\right)\left(1+\frac{1}{15}\right) \dots$$

$$\dots \left(1+\frac{1}{n^2+2n}\right).$$ (10)

10. Докажите, что если каждая диагональ выпуклого четырехугольника разбивается его на два конгруэнтных треугольника, то этот четырехугольник — параллелограмм. (7)

11. Две окружности касаются внутриним образом в точке $M$. На первой окружности постройте точку $A$, а на второй — точку $B$ так, чтобы треугольник $ABM$ был равносторонним. (8)

12. Каково множество центров окружностей, вписанных в треугольник $ABM$, когда точка $M$ пробегает окружность, а $AB$ — фиксированная хорда этой окружности? (9)

13. Пусть $ABCD$ — треугольная парамида. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины парамиды с точками пересечения медиан противоволлежащих этим вершинами граней,

29

пересекаются в одной точке и делятся его в отношении 3:1, считая от вершины. (10)

Числовые задачи — это, в основном, задачи на делимость и решение уравнения в целых числах. Такие задачи в школье практические не встречаются и участику олимпiadы прихождения изобретать методы их решения непредставенно в «боевой» обстановке. Начнем с совсем простых задач.

14. Сумма 1982 целых чисел нечетна. Докажите, что произведение этих чисел четно. (7)

15. Докажите, что число $2^9+2^{99}$ делится на 100. (7)

В задачах на целые числа часто помогает делимость на 3 и на 9.

16. Докажите, что ни при каких натуральных $m$ и $n$ число $10^m+1$ не делится на $10^n-1$. (7)

17. Найдите все двузначные числа, сумма цифр которых не меняется при умножении на 2. (7)

18. Докажите, что уравнение $x^2+1=3y$ не разрешимо в целых числах. (7)

В последней задаче используется тот факт, что если сумма квадратов двух целых чисел делится на 3, то каждое слагаемое делится на 3. Это утверждение верно и для числа 7, и для числа 11, и вообще для всех простых чисел вида $4k+3$. Но это уже — «настоящая» математическая теорема, впервые доказанная П. Ферма. Как видите, от олимпадной задачи до математической теоремы — один шаг. Только как его сделать?

19. Умножение на 9 изменяет порядок цифр неокоторого четырехзначного числа на обратный. Найдите это число. (7)

20. Найдите все натуральные числа $x, y, z$, для которых выполняется равенство $xyz=x+y$. (7)

21. Найдите все натуральные числа, обладающие следующим свойством: существует такое $k$, $1 \leq k \leq 8$, что если все цифры квадрата этого числа уменьшить на $k$ единицу, то получится квадрат числа, которое на $k$ меньше, чем исходное. (10)

Логические задачи обычно называют «число олимпадными». Bot несколько таких задач.

22. Докажите, что среди 82 кубиков, каждый из которых выкрашен в определенный цвет, всегда можно выбрать 10 кубиков так, что либо все они выкрашены в разные цвета, либо они — одного цвета. (7)

23. Плоскость произвольным образом раскрашена в два цвета. Докажите, что найдется две точки одного цвета на расстоянии 1 м друг от друга. (7)

24. a) Докажите, что среди любых 11 натуральных чисел найдется два, разность которых делится на 10.

6. Докажите, что среди любых $k+1$ натуральных чисел найдется два, разность которых делится на $k$. (7)

25. По краю круглого стола равномерно расставлены таблички с фамилиями дипломатов, участвующих в переговорах. После начала переговоров оказалось, что ни один из дипломатов не сидит против своего таблицы. Можно ли повернуть стол так, чтобы по крайней мере в одном ящике лежит не менее $n+1$ предметов. Нало только сообщить, что принять за «предметы», а что — за «ящики».

Та же идея избыточности использования и вследующих трех задач.

26. Внутри квадрата со стороны 1 расположено несколько окружностей, сумма длины которых равна 10. Докажите, что найдется прямая, пересекающая по крайней мере четырехметров. Нало только сообщить, что принять за «предметы», а что — за «ящики».

27. В окружности радиуса 1 проведено несколько хорds, суммарная длина которых больше, чем 7π. Докажите, что найдется диаметр, пересекающий не менее высмихорds. (9)

28. Внутри круга радиуса 16 расположено 650 точек. Докажите, что найдется колюцо ширины 1 и внутреннего радиуса 2, содержащое не менее десяти из этих точек. (10)

В задачах, где известные в каком-то смысле равенства, полезно полезно рас-

30

смотреть «экстремальный» (то есть крайний) по отношению к некоторому свойству элемент (самый левый, самый верхний, самый длинный, наиболее низкий, наиболее низкий, наиболее низкий, наиболее низкий, наиболее низкий, наиболее низкий,��зитный, что все десять чисел равны между собой. (7)

29. В каждой вершине десятиугольника записано число, причем каждое число равно полученное чисел, написанных в соседних вершинах. Доказите, что все десять чисел равны между собой. (7)

30. Доказите, что в любом выпуклом пятугольнике можно выбрать три диагонали так, что из них можно составить треугольник. (8)

31. Решите систему уравнений
    $$\begin{cases} x_1 + x_2 = x_3^2, \\ x_2 + x_3 = x_4^2, \\ x_3 + x_4 = x_5^2, \\ x_4 + x_5 = x_1^2, \\ x_5 + x_1 = x_2^2. \end{cases}$$ (10)

32. Найди положительные решения системы уравнений
    $$x^2 + y^2 = 1,$$
    $$x^y = y^x.$$ (9)

33. Можно ли 44 монеты разложить по 10 кошелькам так, чтобы любые два из них содержали различное число монет? (Считаем, что два пустых кошелька содержат одинаковое число монет.) (8)

34. В квадрате со стороны 1 отмечен 500 различных точек. Доказите, что среди отмеченых точек можно выбрать 12 точек $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{12}$ так, что длина ломаной $A_1A_2...A_{12}$ меньше 1. (10)

Часто на одномадах предлагаются задачи, в условиях которых приводится описание некоторого способа действия и спрашивается, может ли в результате этих действия получить тот или иной результат. Основным методом решения таких задач является обнаружение свойства исходного объекта, не меняющегося при выполнении действия, указанных в задаче (такое свойство называют инвариантом). Если конечный объект задачи не обладает найденным свойством, то он, очень/no, не может быть получен в результате описанных действий.

Вот несколько подобных задач.

35. Начало-яблоне садовник вырастил 25 бананов и 30 апельсинов. Каждый день он сывает два плода и тут же на яблоне вырастет новый, причем если он сывает два одинаковых плода, то вырастает апельсин, а если он сывает два разных плода, то вырастает банан. Каким оказывается последний плод на этом дереве? (7)

36. Данны три числа: 2; $1+\sqrt{2}$; $1-\sqrt{2}$.

a) За один ход разрешается написать новые три числа, заменив каждое из исходных чисел получимый других чисел. Можно ли, продолжав эту операцию несколько раз, придти к набору 1; $2+\sqrt{2}$; $2-\sqrt{2}$?

6. За один ход разрешается любые два числа заменить их суммой, деленной на $\sqrt{2}$, и разность, деленной на $\sqrt{2}$, оставив третье число неизменным. Можно ли, продолжав эту операцию несколько раз, придти к набору 1; $\sqrt{2}$; $1/\sqrt{2}$? (8)

37. Три кузнечника играют в чехарду: если кузнечник из точки $A$ прягает через кузнечника в точке $B$, то он оказывается в точке $C$, симметричной точки $A$ относительно точки $B$. В исходном положении кузнечники занимают три вершины квадрата. Могут ли они, играя в чехарду, попасть в четвертую его вершину? (8)

В задачах на клетчатой бумаге или на шахматной доске найти инвариант помогает удаляться раскраска.

38. У шахматной доски $8 \times 8$ вырезаны левая вершня и правая нижняя угловые клетки. Можно ли ее замостить косточками домино, покрывощимировно две клетки доски, так, чтобы покрыть без наложений всего такую доску? (7)

39. Можно ли из четырехлетных фигурок, изображенных на рисунке, составить квадрат размером $50 \times 50$ клеток? (9)

40. Из шахматной доски $8 \times 8$ вырезана одна угловая клетка. Можно ли оставшуюся часть покрыть без наложений прямого угловиками, составленными из трех клеток? (9)

Самая лучшая подготовка к оптимизации «олимпидных» задач. Желаем вам успеха!