А если..., что тогда?

39

А если…,
что тогда?

Кандидат педагогических наук
И. Л. НИКОЛЬСКАЯ,
Н. Г. САБЛИНА

В конце последнего урока в класс, где учится Петя, вошла Татьяна Ивановна, их классный руководитель.

— Ребята,— сказала она,— у меня есть для вас хорошая новость: летом двадцать учеников класса поедут в Москве.

— Ура!— закричали все.
— А кто поедет в Москве? — спросил Петя.

— Для того чтобы поехать в Москве, достаточно окончит учебный год без троек, — ответила Татьяна Ивановна.

Домой Петя пришел взволнованный. Ката это сразу заметила и спросила, в чем дело. Петя рассказал ей про поездку в Москве.

— Ну, — протянула Ката,— уж тебе по русскому год будет тройка, а может быть, еще и по математике.

— КатЬка права,— подумал Петя.— По математике я еще смогу получить за год четверку, а вот по русскому… Схожу-ка я к Мите; он — студент, он должен чтобы придумать.

Мити внимательно выслушал Петю и посоветовал ему не вешать нос раныше времени.

— Да,— уныло проговорил Петя,— Татьяна Ивановна, знаешь, какая: если уже сказала, то непрееменно так и сделает.

— Погоди, давай разберемся,— сказал Мити.— Что означает фраза «Для того чтобы поехать в Москве, достаточно окончит учебный год без троек?» То же самое можно сказать так:

«Если ученик окончит учебный год без троек, то он поедет в Москве». Это сложное предложение образовано с помощью логического связки «если …, то…» из двух простых предложений: «Ученик окончит учебный год без троек» и «Он поедет в Москве». Обозначим первое из этих предложений буквой А, а второе — буквой В. Впрочем, так нежорно — ведь истинность или ложность этих предложений зависит от того, к какому ученику они применяются: один ученик может закончить учебный год с тройками, а другой — без троек; один поедет в Москве, а другой не

40

подет. Таким образом, эти фразы являются предложениями с переменной, а не высказыванием; помещь — в «Алгебре 6» ты читал об этом? Позному давой обозначим их не через $A$ и $B$, а через $A(x)$ и $B(x)$, где $x$ может быть любым учеником класса. Теперь при помощи знаков математической логики запишем фразу Татьяны Ивановны так:

$(\forall x)[A(x) \Rightarrow B(x)]$; (1)

знак $\forall$ применяется в математике вместе с слов «любой», «всякий», «каждый». Таким образом, фразу Татьяны Ивановны в форме (1) можно прочитать так: «Любой ученик, окончивший учебный год без треок, поддет в Москве». Впрочем, в словесной формулировке слова «любой» и т. п. обычно опускаются — их подразумевают. Поэтому-то и можно сказать: «Если ученик окончит учебный год без треок, то он поддет в Москве», то есть $A(x) \Rightarrow B(x)$ (2)

Вместо «Если $A(x)$, то $B(x)$» говорят также «Из $A(x)$ следует $B(x)$». Как по-твоему, когда мы сможем сказать, что учительница не выполнила обещания?

— Если найдется ученик, который окончит год без треок, а в Москве не поддет, — ответил Петя.

— Правильно, для такого ученика высказывание $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно; поэтому ложно высказывание (2). А теперь скажи, в каких случаях Татьяна Ивановна обещание выполнит.

— Если все ученики, окончившие учебный год без треок, поддет в Москве.

— Верно. А как должа поступить Татьяна Ивановна с учениками, имеющими годовую «тройку»? Если она такого ученика в Москве не возьмет, она, конечно, своево обещания не нарушит (таким образом, когда $A(x)$ и $B(x)$ ложны, $A(x) \Rightarrow B(x)$ истинно). Но, если Татьяна Ивановна такого ученика все-tаки возьмет в Москве, она тоже не нарушит своево обещания! Вспомни, что она сказала: «Для того чтобы поехать в Москве, достаточно окончить учебный год без треок».

Достаточно, но не обязаτεльно! Можно отличаться в какомибудь другом деле. А ведь ты у нас спортем!

— Это что же получается! — воскликнул Петя. — Приложим $A(x)$ и истинном $B(x)$ опять $A(x) \Rightarrow B(x)$ истинно? Значит, у меня все-tаки есть шанс поехать в Москве.

— Итак, — продолжал Митя, — высказывание (1) ложно только в одном случае: если найдется такое $x$, для которого $A(x)$ истинно, а $B(x)$ ложно. Давай запишем наши «исследования» в таблицу:

| $A(x)$ | $B(x)$ | $A(x) \Rightarrow B(x)$ |
| :— | :— | :— |
| И | И | И |
| И | Л | Л |
| Л | И | И |
| Л | Л | И |

Именно в таком смысле употребляется связка «Если…, то…» в математике: высказывание $A \Rightarrow B$ ложно в том и только в том случае, когда $A$ истинно, а $B$ ложно; в остальных трех случаях оно является истинным. Наша таблица как раз и задает определение союза «Если…, то…». Возьмем, к примеру, утверждение «Всякое число $n$, делшееся на 4, четно». Ты, конечно, понимаешь, что оно имеет вид (1). В форме (2) оно будет выглядеть так: «Если $n$ делится на 4, то оно четно». Как ты считешь, это верно?

— Ясно, верно, — ответил Петя, — это и третьекласснику известно.

— Ну, тогда скажи, верно ли утверждение «Если 18 делится на 4, то 18 четно»?

— Но ведь 18 на 4 не делится, — засомневался Петя.

— Ну и что же, что не делится, — возразил Митя, — не в этом делю! Ведь ты сам сказал, что утверждение «Если $n$ делится на 4, то оно четно» верно, то есть верно при любом значении $n$. А раз так, то верно и утверждение «Если 18 делится на 4, то 18 четно» (третья строка таблицы), и утверждение «Если 17 делится на 4, то 17 четно» (четвертая строка таблицы), и утверждение «Если 16 делится на 4, то 16 четно» (первая строка таблицы). И только слу-

41

Чая «A(n) истинно, B(n) ложно» (вторая строка таблицы) для данного утверждения не будет ни при каком значении n; именно поэтому это утверждение верно. Иными словами, из высказывания «Число n делится на 4» следует высказивание «Число n четно». А как ты думешь, следует ли первое из этих высказывания из второго?

— Нет,— быстро сказал Петя,— ведь 2 четно, а на 4 не делится.

— Молдец,— пожвалил друг Митя.

— Разраз меня гром, если я не исправлю тройку по математике!— радостно закричал Петя.

— Конечно же, ты исправшь тройку по математике и гром тебя не разразит,— засмеялся Митя.— Будем надеться, что твое восклисание — истинное высказивание с ложными A и B. Подобные истинные любил изрекать мудрейший Козма Прутков. «Если бы тени предметов зависели не от величины сих последних, а именно бы свой произвольный рост, то, может быть, вскоре не осталось бы на всем земном шаре ни одного светлого места», — говаривал он.

Но вернемся к математике. Ты, я вижу, хорошо понял, что значит «Из A следует B». Если же каждое из двух высказываний следует из другого, то такие высказывания называются равносильными.

Знаешь, как-то раз родители сказали нам с естекой Галей и братом Колей: «Если мы поедем в дом отдыха, то вы поедете в лагерь». В школе нас спросили, куда мы поедем летом. «Если мы поедем в лагерь, то родители поедут в дом отдыха»,— ответила Галя. Коля сказал «Если пана с мамой не поедут в дом отдыха, то мы не поедем в лагерь». «Вы все перепутали,— сказал я.— Было сказано: «Если мы не поедем в лагерь, то родители не поедут в дом отдыха».

— Да, но ты ведь тоже сказал не так, как родители,— заметил Петя.

— Так-то оно так,— ответил Митя,— но ведь одно и то же можно сказать по-разному. Давай-ка снова составим таблицу. Пусть A означает высказывание «Родители поедут в дом отдыха», а B — «Мы поедем в лагерь». Тогда то, что сказали родители, запишется как «Если A, то B», ответ Гали запишется как «Если B, то A», ответ Коли — как «Если не A, то не B», а мой ответ — как «Если не B, то не A».

Давай теперь составим таблицу, пожжую на предыдущую. Поскольку опять каждое из высказываний A, B может быть истинным или ложным, в ней снова будет 4 строки. Чтобы нам легче было считать, запишем после столбцов для A и B столбцы для «не A» и «не B» («не A» истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно; аналогично «не B»). Столбец для «если A, то B» просто перепишем из предыдущей таблицы. А столбцы для трех остальных высказываний заполняются по общему правила: «Л» пишется тогда и только тогда, когда посылака (то, что стоит между «если» и «то») истинна, а заключите (то, что стоит после «то») ложно. В результате мы получим следующую таблицу:

| A | B | не A | не B | если A, то B | если B, то A | если не A, то не B | если не B, то не A |
| :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
| И | И | Л | Л | И | И | И | И | И |
| И | Л | И | И | И | И | И | И | И |
| И | Л | И | И | И | И | И | И | И |

Ты видись, что высказыванию «Если A, то B» (тому, что сказали родители) равnocильно только высказывание «Если не B, то не A» (то, что сказал я). Так что правильно передал смысл сказанного родителями только я. Галя и Коля сказали одно и то же, но не то, что родители.

— А-a,— протянул Петя,— значит, зря я обиделся на Катьку. Мама сказала мне: «Если понедельь в кино, то сначала сделай все уроки», а Катька съединила: «Если не сделаешь уроки, то и в кино не пойдешь». Оказывается, они сказали одно и то же!

— Конечно,— улыбнул Митя,— Обе они сказали, что для того чтобы пойти в кино, необходимо сначала сделать все уроки.

42

Петя, быстро сделав уроки, отправился в кино, а тебе, читатель, мы предлагаем решить несколько задач.

Задание

1. Какие из следующих высказываний истинны, какие ложны?
   a) Если Париж расположен на Сене, то Австралия находится в северном полушарии.
   b) Если Астралия находится в северном полушарии, то Париж расположен на Сене.
   c) Если Австралия находится в северном полушарии, то Париж расположен на Темзе.
   d) Если 1 = 0, то 2 = 1.
   e) Если 1 = 0, то 2 = 2.

2. При любых x и y верны утверждения:
   a) «Если x — брат y, то y — брат x»?
   b) «Если x — брат y, то x и y — родственники»?

3. Следует ли из утверждения «Если ученик много занмается, то он успешно сдает экзамены» утверждение «Ученик, провалившийся на экзамене, заннимался мало»?

Изменение фигуры Земли и ее врашення
(Начало см. на с. 25)

Во-вторых, на это мало, но постоянное увеличение продолжительности суток накладываются сезонные изменения врашення Земли, вызванные различными перемещениями масс атмосферы и океана. В-третьих, скорость врашення Земли изменяется (обычно скачками) при землетрясениях, перемещающих массы земных недр. Например эти перемещений, как правило, таково, что оно стремится сделать фигуру Земли более шарообразной (как показано стрелками на рисунке), при этом скорость врашення Земли возрастает.

В частности, такое возрастание скорости врашення наблюдается в период с 1973 по 1978 гг., когда продолжительность суток уменьшилась на 0,006 с. Во время этих наблюдений и были получены сведения о регуляром изменении ускорения свободного падения.

Когда форма Земли приближается к сферической, ускорение силы также стремится к среднему значению, равному 9,7977 м/c², увеличивая в низких широтах и уменьшая севернее и южнее широты 35°. Теперь понятно, почему первые изменения показали именно уменшение ускорения: и Москва, и Новосибирск, и Потсам находится на широте от 52 до 56°.