Решения задач М811—М815; Ф823—Ф827

46

Р839. If a pencil with hexagonal section is placed on an inclined plane (forming the angle $a$ with the horizontal plane) perpendicularly to the intersection $l$ of these planes, the pencil remains motionless. Placed parallel to $l$, it rolls down. For what angles $\varphi$ between the axis of the pencil and $l$ (see figure Pис. 3) will the pencil remain in equilibrium?

S. S. Krotov

P840. A flat $10 \times 10$ cm box placed horizontally contains 1000 small steel ball-bearings of mass $m = 0.5$ mg each, mixed at random. The box starts to move with velocity $v_0 = 10$ m/s perpendicularly to one of its sides. Assuming the collisions of the ball-bearings with each other and the walls of the box absolutely elastic, determine: a) what impulses will the ball-bearings communicate to each of the walls during the first 10 seconds; b) what impulses will the walls get in the 10 seconds following a sudden braking of the box to a stop.

A. R. Zilberman

P841. A landing craft from a spaceship approaches the surface of a planet with constant velocity, transmitting data on outside pressure to the mother ship. The graph of the pressure $p$ (in conditional units) as a function of time $t$ is plotted on figure Pис. 4. Having landed, the craft measures temperature and gravitational acceleration: $T = 700$ K, $g = 10$ m/s$^2$. Determine the descent velocity of the landing craft, if it is known that the atmosphere of the planet consists of carbon dioxide ($\text{CO}_2$). Determine the temperature at elevation $h = 15$ km above the planet’s surface.

A. I. Buzdin

P842. In the circuit shown on figure Pис. 5, the switch $K$ is turned on. Find the established value of the current flowing through the coil of inductivity $L$ and active resistance $r$. What charge will flow through the galvanometer $I$ after $K$ is switched on? The parameters of the elements shown on the figure are assumed known. The inner resistance of the source and the resistance of the galvanometer are negligible.

V. V. Mojaev

Решения задач

M811—M815; Ф823—Ф827

Умножим обе части доказываемого неравенства на площадь треугольника $S$ и воспользуемся формулами

$$S = \frac{ah}{2} = \frac{bh}{2} = \frac{ch}{2} = r \frac{a+b+c}{2}.$$

Тогда оно приведется к виду

$$\frac{m_a \cdot a}{2} + \frac{m_b \cdot b}{2} + \frac{m_c \cdot c}{2} \leq S + R \frac{a+b+c}{2}$$

или

$$\frac{(m_a - R)a}{2} + \frac{(m_b - R)b}{2} + \frac{(m_c - R)c}{2} \leq S.$$

Ясно, что величины $m_a - R$ не превозходит расстояния от центра $O$ описанной окружности до стороны $BC$ (см. рис.нок), то есть выcisты треугольника $OBC$. Следовательно, первоое слагаемое в левой части неравенства () не больше площади треугольника $OBC$. Аналогично, два других слагаемых не превозходит площадей треугольников $OCA$ и $OAB$ соответственно. Тем самым доказано неравенство (), а с ним и неравенство задачи.

Из доказательства видно, что равенство имеет место только для правильного треугольника. Заметим еще, что поскольку медиана всегда не меньше высоты, проведен-

48

а) Объясните, почему не могут встретиться четые последовательных отменных числа.

Докажите, что средите отменных чисел встретися бесконечно много б) пар, $\theta^*$) треок последовательных чисел.

Первое решение. Продолжая рассуждение пункта 6), рассмотрим три последовательных числа $n^2k^2-1, n^2k^2$ и $n^2k^2+1$, где $n^2=a^2+b^2$. Второе и третье из этих чисел являются суммами двух квадратов при всех $k=1, 2, \dots$, поэтому задача будет решена, если мы сумем подобрать такое $n$, что для бесконечного множества натуральных $k$ число $n^2k^2-1$ представимо в виде суммы двух квадратов.

Возьем $n=17$ $(17^2=8^2+15^2)$. Представим число $n^2k^2-1$ в следующем виде: $n^2k^2-1=(17k)^2-1=(17k-1)^2+(34k-2)$, и показем, что число $34k-2$ есть точный квадрат для бесконечного множества $k$.

Пусть $34k-2=(2m)^2$. Тогда $k=(2m^2+1)/17$. Это число целое, если $m^2$ при делении на 17 дает остаток 8, то есть если $m=17l\pm 5$ и, следовательно, $k=34l^2\pm 20l+3$. Итак, мы получаем такие тройки последовательных отменных чисел: $(578l^2\pm 340l+50)^2+(34l\pm 10)^2,(510l^2\pm 300l+45)^2+(272l^2\pm 160l+24)^2,(578l^2\pm 340l+51)^2+1^2$.

Второе решение опирается на красивоеложство, выписанное на полях. Из этоголожства следует, что если два числа представим в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то их произведение также есть сумма двух квадратов или само является квадратом (если $ac-bd=0$). В частности, квадрат нечетного отменного числа — отменное число (если $n=a^2+b^2$, то $n^2=(a^2-b^2)^2+(2a^2b^2)^2$, причем $a^2-b^2\neq 0$, так как $n$ нечетно).

Пусть $n-1, n$ и $n+1$ — отменные числа и $n$ нечетно. Тогда $n^2-1, n^2$ и $n^2+1$ — тоже три последовательных отменных числа. Действительно, $n^2-1$ — произведение отменных числа $n-1$ и $n+1$, причем само это число, очевидно, не квадрат; $n^2$- квадрат нечетного отменного числа; $n^2+1=n^2+1^2$. Из числа $n^2-1, n^2$ и $n^2+1$ аналогично получается отменные числа $n^4-1, n^4$ и $n^4+1$ и т. д. Таким образом, тройка отменных чисел $72, 73, 74$, приведенная в условия, дает бесконечного множества вида $73^{2k}-1, 73^{2k}, 73^{2k}+1$ ($k=0, 1, 2, \dots$).

Третье, решение. Расмотрим тройки последовательных чисел вида $8n^2=(2n)^2+(2n)^2, 8n^2+1$ и $8n^2+2=(2n-1)^2+(2n+1)^2$. Показем, что при $n=(m^2+m)/2$, где $m=1, 2, \dots$, все такие числа — отменные. Достаточно рассмотреть вторые числа:

$$8n^2+1=2(m^2+m)^2+1=2m^4+4m^3+2m^2+1=\left(m^2-1\right)^2+(m^2+2m)^2.$$

Это решение самое короткое, но и наиболее искусственное из трех.

Л. Д. Курляндчик

M815. На окружности расстоялений 4k точек, заимерованных в произвольном порядке числа 1, 2, …, 4k.

a) Докажите, что при любой расстоянии номеров можно содействить точки 2k попарно непересекающим отрезками так, что разность числа в конце каждого отрезка не превысходит 3k-1.

49

6. Построите пример расстоявки номеров, показывающий, что число 3k—1 в пункте a) нельзя заменить меньше.

7. Воспользуемся тем же разбиением, что и в доказательстве пункта a). Расставим на верхней и нижней полукружности по 2k точек и заимерем точки верхней полукружности числами первого группы в таком порядке: 1, 3k+1, 2, 3k+2, …, k, 4k, а точки нижней полукружности — числами второго группы: номер 3k поставим рядом с 1, остальные — произвольно (см. рисунок). Докажем, что при любом соедининии точки непересекающийся отрезки разность чисел в концах одного из них будет 3k—1 или больше.

Если какой-то отрезок соединиет две точки a и b верхней полукружности, то, очевидно, на дуг ab найдется две соедние точки, соединиенные отрезком. Разность их номеров по построению равна 3k—1 или 3k.

В противном случае любая точка верхней полукружности должна быть соединана с точкой нижней полукружности. Следовательно, каждый из отрезков соединиет числа разных групп. Отрезок, выходящий из точки 1, должен заканчивать на нижней полукружности, а отрезок, выходящий из соедней точки 3k — на верхней. Поскольку пересекается они не могут по условию, это должен быть один и тот же отрезок. Он и является искомым, так как разность чисел в его концах равна 3k—1.

A. A. Разборов

Ф823. Метеорит, летевший прямо на планету (no прямой, проходящей через центр планеты), попал в автоматическую космическую станцию, врачаширующая вокруг планеты по круговой орбите радиуса R. В результате столковения меторит застрял в станции, которая перешла на новую орбиту с минимальным расстоянием до центра планеты R/2. Определить скорость меторита перед столковением. Масса станции в 10 раз превыходит массу меторита. Масса планеты M. Гравитационная постоянная равна G.

Пусть u — скорость меторита, v₁ — скорость станции до столковения, v₂ — скорость станции и меторита сразу после столковения, m — масса меторита, 10m — масса станции.

Запишем уравнение движения станции до столковения:

$$10m \frac{v_1^2}{R} = G \frac{10mM}{R^2}.$$

Отсюда находим скорость v₁:

$$v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}.$$

Согласно закону сохранения импульса скорости $\vec{u}, \vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ связаны соотношением

$$m\vec{u} + 10m\vec{v}_1 = 11m\vec{v}_2.$$

Запишем закон сохранения импульса в проекциях на оси X и Y (см. рисунок):

$$10mv_1 = 11mv_2x,$$

$$mu = 11mv_2y.$$

После столковения станция переходит на эллиптическую орбиту. Механическая энергия станции сэстряшим в ней меторитом при движении по эллиптической орбите остается постоянной. Следовательно,

$$-G \frac{11mM}{R} + \frac{11m}{2}(v_2^2 + v_1^2) = -G \frac{11mM}{R/2} + \frac{11m}{2}V^2,$$

где V — скорость станции в момент наибольшого слижения с планетой. Согласно второму закону Кеплера скорость V и скорость V₂ станции после столковения связанны соотношением

$$VR/2 = v_2xR.$$

Решая совместно уравнения (1)—(4) и учитывая, что $v_1 = \sqrt{G \frac{M}{R}}$, находим скорость меторита u:

$$u = \sqrt{58G \frac{M}{R}}.$$

A. И. Буздин

51

нищ а=36 см от линии. Оценить минимальный размер экрана, который нужно расположить за линей так, чтобы он перекрыл все поле изображения. Где следует расположить экран?

женными, если при помещении точного предмета в одну из них в другой получается действительное изображение предмета). Расстояние b от линии do точки B найдем, воспользовавшись формулой тонкой линии:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \Rightarrow b = \frac{aF}{a-F} = 12 \text{ см.}$$

Рис. 1.

Рис. 2.

Именно в точке B следует расположить малый экран, закрывающий доступ световым лучам в глаз.

Чтобы оценить минимальный радиус R экрана, следует учеть, что зрачок имеет конечный радиус r≈1,5 мм. Лучи не будут попадать в глаз, если экран перекроет всю область, сопряженную с поверхностью экрана. Как видно из рисунка 2,

$$R = \frac{b}{a} r \approx 0,5 \text{ мм.}$$

Д. В. Белов

Ф827. Куб с ребром длины a движется со скоростью v = 0,8 с (с — скорость света) в направлении, перепредикуляром одной из граней куба. Что получается на фотографии куба, сделанной удаленным фотопаратом с очень короткой видержкой, если оптическая ось аппарата перепредикуляра грани куба и пересекает траекторию его центра (рис. 1)?

Мысленно обратим процесс фотографирования во времени: пусть куб движется со скоростью $-\vec{v}$, в некоторый момент фотопарат испускает светового вспышку, которая достигает куб в то время, когда он пересекает оптическую ось. Точки пересечения фронта волны с точки куба будут иметь теми точками, изображения которых получается на снимке (это связано с тем, что от разных частей куба до фотопарата свет проходит разные расстояния, а следовательно, за разные времена).

Вблизи куба волну можно считать плоской (поскольку фотопарат удален от куба). Расстояние a от близней до дальней грани куба свет проходит за время $\tau \approx a/c$.

Рис. 1.

Рис. 2.

Позному на фотографии изображения близких и дальней rebер куба будет смешены в направлении движения куба на расстояние s=vτ=0,8a друг относительно друга. Куб на фотографии получится как бы поверхным на угол $\varphi = \arcsin \frac{v}{a}$ (рис. 2).

Д. Ю. Гриzdорвев