Физический смысл универсальной газовой постоянной

37

$$\Delta P = 2 \cdot \frac{1}{2} n S v_x t \cdot m v_x = n S m v_x^2 t.$$

Вот мы и нашли, откуда берется у нашей слоя импульс, направленный по оси $X$ и равный $F_x t$. Значит, $F_x t = n S m v_x^2 t$.

Сократив на $t$ и разделив обе части этого равенства на $S$, получаем выражение для давления газа на правую стенку сосуда:

$$p = \frac{F_x}{S} = n m v_x^2.$$

(1)

Повторив наши рассуждания для стенок, перпендикулярных осем $Y$ и $Z$, получим

$$p = n m v_y^2,$$

(2)

$$p = n m v_z^2.$$

(3)

Давления $p$ на все стенки, конечно, одинаковы. Сложив почленно равенства (1), (2) и (3), получаем

$$3 p = n m \left( v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \right),$$

или

$$p = \frac{1}{3} n m \left( v_x^2 + v_y^2 + v_z^2 \right).$$

(4)

В действительности, значения $v_x$, $v_y$ и $v_z$ у разных молекул разные (вследствие хаотичности их движения). Поэтому в правой части равенства (4) надо вместо $v_x^2$, $v_y^2$ и $v_z^2$ подставить их средние значения $\bar{v}_x^2$, $\bar{v}_y^2$ и $\bar{v}_z^2$. Сумма $\bar{v}_x^2 + \bar{v}_y^2 + \bar{v}_z^2$ равна $\bar{v}^2$, тогда окончательно

$$p = \frac{1}{3} n m \bar{v}^2 = \frac{2}{3} n \frac{m \bar{v}^2}{2}.$$

Физическая смысл универсальной газовой постоянной

В уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева — Клапейрона)

$$p V = \frac{m}{M} RT$$

входит универсальная газовая постоянная $R$. Она, как известно, равна произведению двух других постоянных — числа Авогадро $N_A$ и постоянной $k$:

$$R = N_A k.$$

Постоянные $N_A$ и $k$ имеют ясный смысл: $N_A$ — это число молекул или atomов в единице количество веществ, то есть mole; $k$ — постоянная, определяющая связь между температурой в кельвинах и температурой в единицах энергии. Но определяенный физический смысл (быть может, многим он показется неожиданным) имеет и комбинация $N_A$ и $k$ — постоянная $R$.

Представим себе, что 1 mole идеального газа находится в сосуде с подвижным поршнем и что подводом телла к нему или отводом телла от него его температур изменяют на 1 кельвин. Благодаря тому, что сосуд закрыт подвижным поршнем, давление газа будет оставаться постоянным (и равным внешнему давлению).

Напишем уравнение состояния газа до и после нагрева:

до нагрева $p V_1 = RT$,

после нагрева $p V_2 = R (T + \Delta T)$, где $\Delta T = 1$ K. Вычтя первое равенство из второго, мы получим

$$p \left( V_2 - V_1 \right) = RT + R \Delta T - RT = R \Delta T.$$

Левая часть этого равенства представляет собой работу, совершаемую силой давления газа (или внешней силой против силы давления), когда при постоянном давлении $p$ объем газа увеличивается (или уменьшается) от $V_1$ до $V_2$. Следовательно, газовая постоянная $R$ равна работе, которую совершает 1 mole идеального газа, расширяясь при нагревании на 1 K при постоянном давлении.

Разумеется, при изобарном охлаждении 1 molя газа на 1 K также равнуется совершению внешняя силы, действующая на поршень.