Давление идеального газа

35

что получится пряма, прохождение через начало координат. На рисунке 3 приведен такой график для нашего случая движения тела, брошенного вверх. Значение $a/2$, а значит и $a$, можно теперь найти, взяв для любой точки графика отношение ее ordinаты к абсциссе. Иначе говоря, $a/2$ равно тангенсу угла наклона прямой к оси $t$.

Интересна еще одна особенность парабoles, позволяющая легко определить и скорость движения тела. Известно, что если график движения представляется собой прямую (прямолинейное равномерное движение), то скорость определяется углом наклона прямой к оси $t$. График же прямолинейного неравномерного движения — всегда кривая. Если выделить на этой кривой участок, соответствующий промежутку времени $\Delta t$ и изменению координаты $\Delta x$ (рис. 4), то отношение $\Delta x/\Delta t$ будет равно средней скорости за время $\Delta t$. Как видно из рисунка 4, она определяется углом наклона хорды, стяя

Рис. 3.

Рис. 4.

гивающей виделенный участок кривой (она равна тангенсу этого угла). Если беспредельно уменьшать промежуток времени $\Delta t$, устремля его к нулю, то хорда перейдет в касательную к кривой в точке, соответствующей моменту времени $t$, а угол ее наклона определяет уже мгновенно скорость в этот момент времени. Таким образом, чтобы найти про график движения мгновенно скорость в какой-то момент времени, нужно проверить касательную к графику в точке, соответствующей этому моменту времени касательную можно и не проводить. Эта особенность парабoles (квадратного трехчлена) связана с тем obstructionом, что при прямолинейном равновесном движении скорость за любой промежуток времени равна получиме начальной и конечной скорости. Поэтому, чтобы пользоваться параболой, найти мгновенно скорость в какой-то момент времени, нужно выполнить промежуток времени, для которого интересующий нас момент служит серединой. Тогда средняя скорость на этот промежуток оказывается равной мгновенной скорости в середине промежутка. А чтобы найти среднюю скорость, нужно проверить хорду, а не касательную, что не представляется большого труда.

Давление идеального газа

Вывод выражения для давления идеального газа

$$p = \frac{1}{3} n m v^2 = \frac{2}{3} n \frac{m v^2}{2},$$

приведенный в учебнике «Физика 9», основан на предположении, что моле-

36

кульы ударяются о стенку сосуда обязательно упруго. Покажем, что эту же формулу можно получить и не делая никаких предположений о характеристике ударов молекул о стенку.*)

Достаточно знать, что молекулы движутсяxaотическая. Это, в частности, означает, что в любой момент времени число молекул, движущихся во взаимно противоположных направлениях, одинаково.

Кроме того, мы знаем, что давление $p$ газа равно по определению

$$p = \frac{F}{S},$$

где $F$ — сила, действующая на перpendикулярную ей поверхность плоскую $S$. Значит, нам предстоит вычислить силу $F$. Это мы сделаем, пользовясь законами механики Ньютона.

Поместим наш газ в сосуд в виде прямогольного параллелепипеда и направим оси координат $X$, $Y$ и $Z$ вдоль его ребер, как показано на рисунке. Найдем силу, с которой газ действует, например, на правую стенку сосуда. Очевидно, что ее надо обозначить через $F_x$.

По третьему закону Ньютона эта стенка сама действует на приложении к ней слой газа с силой — $F_x$ (на рисунке этот слой газа защищен). Из второго закона Ньютона следует, что сила — $F_x$ должна соответствовать как и в случае положения и не должна находиться в положении.

Так мы убедились, что как величие в слой газа молекулы, так и величие из него сообщают ему имплусы, проекция которого равна $mv_x$.

Предположив для простоты, что значения $mv_x$ одинаковы для всех молекул, легко вычислить изменение имплуса $\Delta P$ всего слоя газа за время $t$. Оно, очевидно, равно удвоенному произведению $mv_x$ на число $z$ молекул, величих в слой газа за время $t$:

$$\Delta P = 2zmv_x.$$

Значение $z$ вычисляется так же, как число соударений молекул со стенкой (см. «Физикку 9»):

$$z = \frac{1}{2} nSv_x t,$$

где $n$ — число молекул в единице объема газа. Следовательно,