n^x = x^n

31

$$n^x = X^n$$

Л. Б. ПЕЧЕРСКИЙ

Сколько корней имеет это уравнение, если $n \in \mathbb{N}$ и $n \neq 1$?

С открытельными корнями все просто и ясно: если $n$ — четное, уравнение имеет один отрицательный корень (набросайте график!); если $n$ — нечетное, таких корней нет.

Займется положительными корнями. Данное уравнение равно сильно уравнениям

$$\ln (n^x) = \ln (x^n),$$
$$x \cdot \ln n = n \cdot \ln x,$$
$$x \cdot \ln n - n \cdot \ln x = 0.$$

Сколько же нулей*) имеет на $]0; +\infty[$ функция $y(x) = x \cdot \ln n - n \cdot \ln x$?

Ее произведение $y'(x) = \ln n - \frac{n}{x}$ на $]0; +\infty[$ возвращает (набросайте график!). В точке $x_0 = \frac{n}{\ln n} y'(x_0) = 0$; значит, на $]0; x_0[$ $y'(x) < 0$, на $]x_0; +\infty[$ $y'(x) > 0$. Так как функция $y$ неперивна в точке $x_0$, $x_0$ — точка ее минимума. На $]0; x_0[$ функция $y$ убывает, на $[x_0; +\infty[$ — возвращает.

Какой же знак имеет функция $y$ в точке $x_0$?

$$y(x_0) = n(1 - \ln n + \ln \ln n).$$

Чтобы определить знак числа $y(x_0)$, исследуем функцию $z(x) = 1 - \ln x + \ln \ln x$. Поскольку $z'(x) = \frac{1 - \ln x}{x \cdot \ln x}$, $x_1 = e$ — точка максимума функции $z$, причем на $]1; e]$ $z$ возвращает, на $[e; +\infty[$ — убывает. Так как $z(x_1) = 0$, в остальных точках области определения $z(x) < 0$; в частино-сти, при $n \in \mathbb{N}$, $n \neq 1$ $z(n) < 0$. Значит, $y(x_0) < 0$.

Функция $y$ неперивна на $]0; +\infty[$ она убывает. Поскольку «около нуля» (например, заведomo при $x < 1$) $y(x) > 0$, а $y(x_0) < 0$, на интервале $]0; x_0[$ функция $y$ имеетровно один нуль (см. рисунок).

Покажем, что при «больших» $x$ («на плоске бесконечности») $y(x) > 0$. Для этого рассмотрим функцию $u(x) = \frac{x}{\ln x}$. Поскольку $u'(x) = \frac{\ln x - 1}{\ln^2 x}$, $u$ возвращает на $[e; +\infty[$. Если $n \geq 3$, то при $x > n \geq 3$

$$\frac{x}{\ln x} > \frac{n}{\ln n},$$
$$x \cdot \ln n > n \cdot \ln x,$$
$$x \cdot \ln n - n \cdot \ln x > 0,$$
$$y(x) > 0.$$

Доказите сами, что и при $n = 2$ $y(x) > 0$ при «больших» $x$.

Поскольку $y(x_0) < 0$, $y$ возвращает на $[x_0; +\infty[$ и $y(x) > 0$, при «больших» $x$, на промежутке $]x_0; +\infty[$ функция $y$ тоже имеетровно один нуль (см. рисунок).

Итак, при $n \geq 2$ уравнение, стоящее в заголовке, имеет на $]0; +\infty[$ два корня: один — на $]0; x_0[$, другой — на $]x_0; +\infty[$.

Между прочитам, один его корень: $x = n$ — оченьiden сразу.

Задачи о числе корней неокоторого уравнения $f(x) = g(x)$ встречаются на вступительных экзаменах. Как правило, даются уравнения, недоступные алгебраическим средствам. В подобных случаях часто бывают полезно исследовать функцию $f$, $g$, входящие в уравнение, а тут уже совершенно естественно использовать средства анализа.