Trước Olympic cấp trường

28

Trước Olympic cấp trường

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. G. GAIN

Bài học của câu lạc bộ toán hôm nay nên được coi là bài học chuẩn bị cho kỳ thi Olympic.

Đối với nhiều học sinh, Olympic toán là bước đầu tiên để làm quen với môn toán nước ngoài. Tại các kỳ thi Olympic, trẻ em học cách áp dụng kiến ​​thức của mình vào lời giải không chuẩn bài toán, được biểu diễn cùng với các bạn cùng lứa từ các trường và thành phố khác. Thông thường, Olympic cung cấp bài toán, có thể tạm gọi là đại số, hình học, số học và logic. Chúng tôi xin lưu ý đến bạn một số kỳ thi Olympic cấp trường và cấp quận bài toán (con số trong ngoặc chỉ lớp có bài toán* được tổ chức). Bạn sẽ tìm thấy lời giải và gợi ý ngắn cho tất cả các vấn đề trong số tiếp theo của tạp chí.

Hãy bắt đầu với bài toán đại số và hình học - làm ơn, họ không cần bình luận.

1. Có chìa khóa ở đáy hồ. Một đàn voi gồm 183 con có thể uống hết một hồ nước trong một ngày và một đàn voi gồm 37 con có thể uống hết một hồ nước trong 5 ngày. Hỏi một con voi uống hết nước trong bao nhiêu ngày? (7)

2. Đặt $a, b, c, d$ là số nguyên và $a+b+c+d=0$. Chứng minh rằng các số

*) Những bài toán này được cung cấp cho học sinh vùng Sverdlovsk trong các năm khác nhau. Olympic toán học khu vực Sverdlovsk được tổ chức bởi các nhà khoa học đến từ Viện Toán học và Cơ học thuộc Trung tâm Khoa học Ural thuộc Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô và Đại học bang Ural mang tên. A. M. Gorky. Một nét đậm duy nhất tạo nên các varnan từ trường đến khu du lịch. Về Thế vận hội Olympic ở Sverdlovsk, xem «Kvant», 1983, số 9.

$a^2+b^2+c^2+d^2$ có thể được biểu diễn dưới dạng tổng bình phương của ba số nguyên. (7)

3. Cho các số khác 0 $a, b, p, q$ sao cho $p+q=1$ và $\frac{p}{a}+\frac{q}{b}=\frac{1}{pa+qb}$. Chứng minh rằng $a=b$. (8)

4. Tìm tất cả các số $a, b, c, d$ sao cho

$$\begin{cases} abc=a+b+c, \\ bcd=b+c+d, \\ cda=c+d+a, \\ dab=d+a+b. \end{cases}$$ (8)

5. Tìm tất cả các số $x, y, z$ sao cho

$$\begin{cases} x^4+y^4+z^4=3, \\ x^5+y^5+z^5=3, \\ x^6+y^6+z^6=3. \end{cases}$$ (9)

6. Xác định giá trị của tham số $k$ nếu biết rằng bất đẳng thức $\frac{x^2+kx+10}{x^2+3x+10} \leq 1$ đúng với mọi $x$. (9)

7. Đối với $a$ thì phương trình $1+\sin^2\alpha x=\cos x$ có lời giải duy nhất là gì? (10)

8. Giải phương trình $x^3-[x]=4$, trong đó $[x]$ là phần nguyên của $x$. (10)

9. Tìm thấy

$$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{8}\right)\left(1+\frac{1}{15}\right) \dots$$

$$\dots \left(1+\frac{1}{n^2+2n}\right).$$ (10)

10. Chứng minh rằng nếu mỗi đường chéo của một tứ giác lồi được chia thành hai tam giác bằng nhau thì tứ giác này là hình bình hành. (7)

11. Hai đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm $M$. Vẽ một điểm $A$ trên đường tròn thứ nhất và một điểm $B$ trên đường tròn thứ hai sao cho tam giác $ABM$ là đều. (8)

12. Tập hợp tâm của các đường tròn nội tiếp tam giác $ABM$ là gì khi điểm $M$ chạy qua đường tròn và $AB$ là dây cố định của đường tròn này? (9)

13. Cho $ABCD$ là một tham số tam giác. Chứng minh rằng các đoạn thẳng nối các đỉnh của paramid với giao điểm các đường trung tuyến của các mặt đối diện với các đỉnh đó

29

cắt nhau tại một điểm và chia nó theo tỷ lệ 3:1, tính từ trên xuống. (10)

Số bài toán về cơ bản là các phương trình số nguyên bài toán và lời giải. Những bài toán như vậy thực tế không xảy ra ở trường học, và những người tham gia Thế vận hội sẽ phát minh ra các phương pháp cho họ lời giải không có mặt trong tình huống “chiến đấu”. Hãy bắt đầu với bài toán rất đơn giản.

14. Tổng của 1982 số nguyên là số lẻ. Chứng minh rằng tích của các số này là số chẵn. (7)

15. Chứng minh số $2^9+2^{99}$ chia hết cho 100. (7)

Trong các bài toán liên quan đến số nguyên, việc chia hết cho 3 và 9 thường có ích.

16. Chứng minh rằng không có giá trị tự nhiên $m$ và $n$ thì số $10^m+1$ chia hết cho $10^n-1$. (7)

17. Tìm tất cả các số có hai chữ số mà tổng các chữ số của nó khi nhân với 2 không thay đổi. (7)

18. Chứng minh rằng phương trình $x^2+1=3y$ không giải được dưới dạng số nguyên. (7)

bài toán cuối cùng sử dụng thực tế là nếu tổng bình phương của hai số nguyên chia hết cho 3 thì mỗi số hạng chia hết cho 3. Tuyên bố này đúng với số 7 và số 11, và nói chung cho tất cả các số nguyên tố có dạng $4k+3$. Nhưng đây đã là một định lý toán học “thực sự”, lần đầu tiên được chứng minh bởi P. Fermat. Như bạn có thể thấy, từ Olympic bài toán đến định lý toán học chỉ có một bước. Nhưng làm thế nào để làm điều đó?

19. Nhân với 9 sẽ đảo ngược thứ tự các chữ số của một số có bốn chữ số nhất định. Tìm số này. (7)

20. Tìm tất cả các số tự nhiên $x, y, z$ thỏa đẳng thức $xyz=x+y$. (7)

21. Tìm tất cả các số tự nhiên có tính chất sau: tồn tại $k$, $1 \leq k \leq 8$ sao cho nếu tất cả các chữ số của bình phương của số này giảm đi $k$ một thì thu được bình phương của số đó nhỏ hơn $k$ so với số ban đầu. (10)

Logic bài toán thường được gọi là “số olympad”. Bot một số trong số này bài toán.

22. Chứng minh rằng trong 82 hình lập phương, mỗi hình được sơn một màu nhất định, luôn có thể chọn được 10 hình lập phương sao cho chúng đều được sơn khác màu hoặc cùng một màu. (7)

23. Máy bay được tô màu ngẫu nhiên trong hai màu. Chứng minh rằng có hai điểm cùng màu cách nhau 1m. (7)

24. a) Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kỳ có hai số có hiệu chia hết cho 10.

6. Chứng minh rằng trong số $k+1$ số tự nhiên bất kỳ có hai số có hiệu chia hết cho $k$. (7)

25. Dọc mép bàn tròn, các tấm biển ghi tên các nhà ngoại giao tham gia đàm phán được đặt cách đều nhau. Sau khi bắt đầu đàm phán, hóa ra không có một nhà ngoại giao nào ngồi đối diện bàn của ông. Có thể lật bàn sao cho có ít nhất một ngăn chứa ít nhất $n+1$ đồ vật. Chỉ cần nói cái gì cần lấy cho “đồ vật” và cái gì cho “hộp”.

Cùng một ý tưởng về việc sử dụng dự phòng và ba bài toán tiếp theo.

26. Bên trong hình vuông cạnh 1 có một số hình tròn có tổng chiều dài là 10. Chứng minh rằng có một đường thẳng cắt nhau ít nhất là 4 mét. Chỉ cần nói cái gì cần lấy cho “đồ vật” và cái gì cho “hộp”.

27. Có một số dây trong một đường tròn bán kính 1, tổng chiều dài của chúng lớn hơn 7π. Chứng minh rằng có một đường kính cắt ít nhất các dây vysmiccord. (9)

28. Có 650 điểm bên trong một đường tròn bán kính 16. Chứng minh rằng tồn tại một vành có chiều rộng 1 và bán kính trong 2 chứa ít nhất 10 điểm như vậy. (10)

Trong những bài toán mà đẳng thức đã được biết theo một nghĩa nào đó, sẽ rất hữu ích khi sử dụng

30

xét phần tử “cực đoan” (tức là cực đoan) trong mối liên hệ với một thuộc tính nào đó (ngoài cùng bên trái, trên cùng, dài nhất, thấp nhất, thấp nhất, thấp nhất, thấp nhất, thấp nhất, thấp nhất, thấp nhất, rằng cả mười số đều bằng nhau. (7)

29. Tại mỗi đỉnh của hình thập giác có một số được viết và mỗi số bằng các số kết quả được viết ở các đỉnh lân cận. Chứng minh rằng tất cả mười số đều bằng nhau. (7)

30. Chứng minh rằng trong bất kỳ hình ngũ giác lồi nào, bạn có thể chọn ba đường chéo để từ chúng tạo thành một hình tam giác. (8)

31. Giải hệ phương trình
    $$\begin{cases} x_1 + x_2 = x_3^2, \\ x_2 + x_3 = x_4^2, \\ x_3 + x_4 = x_5^2, \\ x_4 + x_5 = x_1^2, \\ x_5 + x_1 = x_2^2. \end{cases}$$ (10)

32. Tìm hệ phương trình lời giải dương
    $$x^2 + y^2 = 1,$$
    $$x^y = y^x.$$ (9)

33. Có thể bỏ 44 đồng xu vào 10 ví sao cho hai ví bất kỳ chứa số lượng xu khác nhau không? (Chúng tôi giả sử rằng hai ví trống chứa cùng một số tiền.) (8)

34. Có 500 điểm khác nhau được đánh dấu trong hình vuông ở cạnh 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã đánh dấu có thể chọn được 12 điểm $A_1, A_2, A_3, \dots, A_{12}$ sao cho độ dài đoạn thẳng đứt nét $A_1A_2...A_{12}$ nhỏ hơn 1. (10)

Thông thường bài toán được đưa ra theo một yêu cầu, trong điều kiện đưa ra mô tả về một phương pháp hành động nhất định và người ta hỏi liệu kết quả này hoặc kết quả kia có thể đạt được nhờ những hành động này hay không. Phương thức chính lời giải của bài toán đó là phát hiện một thuộc tính của đối tượng ban đầu không thay đổi khi thực hiện các hành động được chỉ định trong bài toán (thuộc tính đó được gọi là bất biến). Nếu đối tượng cuối cùng bài toán không có thuộc tính được tìm thấy thì không thể lấy được thuộc tính đó do các hành động được mô tả.

Dưới đây là một số bài toán tương tự.

35. Lúc đầu, người làm vườn trồng 25 quả chuối và 30 quả cam trên cây táo. Mỗi ngày anh ta hái hai quả và ngay lập tức một quả mới mọc lên trên cây táo, nếu anh ta hái hai quả giống hệt nhau thì một quả cam sẽ mọc lên, còn nếu anh ta hái hai quả khác nhau thì một quả chuối sẽ mọc lên. Quả cuối cùng trên cây này là gì? (7)

36. Cho ba số: 2; $1+\sqrt{2}$; $1-\sqrt{2}$.

a) Trong một lần di chuyển, bạn được phép viết ba số mới, thay thế mỗi số ban đầu bằng các số khác. Liệu bằng cách tiếp tục thao tác này vài lần, có thể đạt được tập 1 hay không; $2+\sqrt{2}$; $2-\sqrt{2}$?

6. Trong một nước đi, bạn được phép thay thế hai số bất kỳ bằng tổng của chúng chia cho $\sqrt{2}$ và hiệu chia cho $\sqrt{2}$, giữ nguyên số thứ ba. Liệu bằng cách tiếp tục thao tác này vài lần, có thể đạt được tập 1 hay không; $\sqrt{2}$; $1/\sqrt{2}$? (8)

37. Ba thợ rèn chơi trò nhảy cóc: nếu thợ rèn từ điểm $A$ liên hợp qua thợ rèn tại điểm $B$, thì anh ta kết thúc tại điểm $C$, đối xứng với điểm $A$ so với điểm $B$. Ở vị trí ban đầu, thợ rèn chiếm ba đỉnh của hình vuông. Liệu họ có thể chơi trò nhảy cóc để đạt đến đỉnh thứ tư của nó không? (8)

Trong các bài toán trên giấy ca rô hoặc trên bàn cờ, việc tô màu giúp tìm ra bất biến.

38. Bàn cờ $8 \times 8$ có các ô vuông ở góc trên bên trái và dưới cùng bên phải được cắt ra. Có thể lát nó bằng đá domino, bao phủ chính xác hai ô vuông của bàn cờ, sao cho bao phủ toàn bộ bàn cờ mà không bị chồng lên nhau không? (7)

39. Có thể tạo một hình vuông gồm $50 \times 50$ ô từ các số liệu bốn năm được hiển thị trong hình không? (9)

40. Một hình vuông góc được cắt từ bàn cờ $8 \times 8$. Có thể che phần còn lại mà không chồng chéo các góc vuông được tạo thành từ ba ô? (9)

Sự chuẩn bị tốt nhất để tối ưu hóa “Olympic” bài toán. Chúng tôi chúc bạn thành công!