Bài toán M826—M830; F838—F842

43

Bài toán

M826—M830; F838—F842

M826. Ba con số được viết trên bảng. Sau đó, một trong số chúng bị xóa và tổng của hai số khác được viết lại với nhau, giảm đi một. Thao tác này được lặp lại nhiều lần và kết quả là thu được các số 17, 1967, 1983. Có thể viết các số a) 2, 2, 2 ban đầu không? 6) 3, 3, 3? (8)

A. A. Berzins

M827. Được biết, bốn tam giác đồng bộ trong Hình 1 (tr. 44) có kích thước bằng nhau.
a) Chứng minh rằng ba hình tứ giác màu đỏ trong hình này cũng có kích thước bằng nhau.
b) Tìm diện tích một tứ giác nếu diện tích một tam giác đơn là 1.(8)

B. I. Chinik

M828*. Có thể sắp xếp các số nguyên trong các ô của một tờ giấy ca rô vô hạn sao cho tổng các số trong mỗi hình chữ nhật có kích thước 4 × 6 ô, các cạnh dọc theo các đường của lưới bằng a) 10; 6) 1? (8)

N. Yu. Nechevgaev

M829. Chứng minh rằng trong số 2m + 1 số nguyên phân biệt có modulo không vượt quá 2m - 1, có ba số có tổng bằng 0. (9)

N. V. Kartatsov

M830*. Một học sinh đang thực hành lời giải phương trình bậc hai. Sau khi viết ra một số phương trình $x^2+p_1x+q_1=0$, anh ấy giải nó và đảm bảo rằng nó có hai nghiệm, soạn phương trình thứ hai $x^2+p_2x+q_2=0$, trong đó $p_2$ là nghiệm nhỏ hơn và $q_2$ là nghiệm lớn của phương trình thứ nhất. Từ phương trình thứ hai, anh ta tạo ra phương trình thứ ba, nếu có thể, v.v.
a) Chứng minh rằng phương trình này không thể tiếp tục vô thời hạn.
b) Tìm các trilen bình phương đơn giản nhất thỏa mãn điều kiện đã cho.(10)

M. V. Sapir

F838. Năm 1844, nhà toán học và thiên văn học xuất sắc Bessel đã phát hiện ra rằng chính ông (không liên quan đến chuyển động quan sát trái đất)

44

người cho) chuyển động của Sirius xảy ra gần như dọc theo một hình sin (Hình 2.). Độ lệch góc tối đa so với đường thẳng $\alpha=2,3''$, chu kỳ $T=50$ năm. Bessel cho rằng (18 năm sau điều này đã được xác nhận bằng các quan sát trực tiếp) rằng độ cong trên đường đi của Sirius là do sự khởi đầu của một vệ tinh - một ngôi sao yếu hơn. Tìm tỷ lệ khối lượng $m$ của vệ tinh (Sirius $B$) với khối lượng $M_C$ của Mặt trời, nếu khối lượng của ngôi sao chính (Sirius $A$) là $M=2,3$ $M_C$. Được biết, bán kính quỹ đạo Trái đất có thể nhìn thấy từ Sirius ở góc $\beta=0,376''$. Giả sử rằng quỹ đạo của các ngôi sao là hình tròn và mặt phẳng quỹ đạo vuông góc và hướng từ Hệ Mặt trời đến Sirius. (10)

V. E. Belopuchkin

F839. Nếu đặt một cây bút chì hình lục giác trên một mặt phẳng nghiêng tạo một góc $\alpha$ so với mặt ngang, vuông góc với đường sinh của nó (đường giao nhau của mặt phẳng với mặt ngang) thì cây bút chì sẽ đào lên. Nếu bạn đặt nó song song với máy phát điện, nó sẽ cuộn xuống. Ở góc nào $\phi$ giữa trục của bút chì và đường sinh của mặt phẳng nghiêng (Hình 3) thì bút chì sẽ cân bằng? (8)

S. S. Krotov

F840. Trong một hộp phẳng nằm ngang có kích thước $10\times10$ cm, 1000 quả bóng thép nhỏ có khối lượng $m=0,5$ mg, mỗi quả nằm ngẫu nhiên. Hộp bắt đầu chuyển động với tốc độ $v_0=10$ m/s vuông góc với một trong các bức tường bên. Xét tác động của các quả bóng lên thành hộp và lên nhau là hoàn toàn đàn hồi, hãy xác định: a) những xung lực nào mà các quả bóng sẽ truyền tới mỗi thành hộp trong 10 giây đầu tiên; b) các bức tường nhận được những xung lực nào trong 10 giây tiếp theo sau khi chiếc hộp bị phanh gấp. (9)

A. R. Zilberman

F841. Phương tiện hạ cánh của tàu vũ trụ tiếp cận bề mặt của một hành tinh nhất định với tốc độ không đổi, truyền dữ liệu về áp suất bên ngoài tới tàu vũ trụ. Biểu đồ về sự phụ thuộc của áp suất $p$ (tính theo đơn vị) theo thời gian $t$ được hiển thị trong Hình 4. Sau khi hạ xuống bề mặt hành tinh, thiết bị đã thay đổi và truyền trên tàu dữ liệu về nhiệt độ và gia tốc rơi tự do: $T=700$ K, $g=10$ m/$c^2$. Xác định tốc độ đi xuống của xe nếu biết rằng bầu khí quyển của hành tinh này bao gồm carbon dioxide ($CO_2$). Đồng thời xác định nhiệt độ ở độ cao $h=15$ km so với bề mặt hành tinh. (9)

A. I. Buzdin