Áp suất khí lý tưởng

35

rằng kết quả sẽ là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Hình 3 biểu diễn một đồ thị như vậy cho trường hợp chuyển động của một vật được ném lên trên. Giờ đây, có thể tìm thấy giá trị của $a/2$ và do đó $a$ bằng cách lấy bất kỳ điểm nào trên biểu đồ theo tỷ lệ giữa tọa độ của nó và trục hoành. Nói cách khác, $a/2$ bằng tiếp tuyến của góc nghiêng của đường thẳng với trục $t$.

Một tính năng thú vị khác của parabol là nó giúp dễ dàng xác định tốc độ chuyển động của vật thể. Biết rằng nếu đồ thị chuyển động được biểu diễn bằng một đường thẳng (chuyển động thẳng đều) thì tốc độ được xác định bằng góc nghiêng của đường thẳng đó với trục $t$. Đồ thị chuyển động thẳng không đều luôn là một đường cong. Nếu chúng ta chọn một phần trên đường cong này tương ứng với khoảng thời gian $\Delta t$ và sự thay đổi tọa độ $\Delta x$ (Hình 4), thì tỷ lệ $\Delta x/\Delta t$ sẽ bằng tốc độ trung bình trong thời gian $\Delta t$. Như có thể thấy trong Hình 4, nó được xác định bởi góc nghiêng của dây cung,

Hình 3.

Hình 4.

uốn cong phần nhìn thấy của đường cong (nó bằng tiếp tuyến của góc này). Nếu chúng ta giảm vô hạn khoảng thời gian $\Delta t$, hướng nó về 0, thì dây cung sẽ tiếp tuyến với đường cong tại điểm tương ứng với thời điểm $t$ và góc nghiêng của nó ngay lập tức xác định tốc độ tại thời điểm này. Vì vậy, để tìm tốc độ tức thời của đồ thị chuyển động tại một thời điểm nào đó, bạn cần kiểm tra tiếp tuyến của đồ thị tại điểm tương ứng với thời điểm đó; tiếp tuyến có thể được vẽ hoặc không. Đặc điểm này của parabol (tam thức bình phương) có liên quan đến sự cản trở rằng trong chuyển động thẳng cân bằng, tốc độ trong bất kỳ khoảng thời gian nào đều bằng tốc độ ban đầu và tốc độ cuối cùng thu được. Do đó, để sử dụng parabol để tìm ngay tốc độ tại một thời điểm nào đó, bạn cần thực hiện một khoảng thời gian mà thời điểm mà chúng ta quan tâm đóng vai trò ở giữa. Khi đó tốc độ trung bình trong khoảng thời gian này sẽ bằng tốc độ tức thời ở giữa khoảng thời gian đó. Và để tìm tốc độ trung bình, bạn cần kiểm tra hợp âm chứ không phải tiếp tuyến, điều này không khó lắm.

Áp suất khí lý tưởng

Dẫn xuất biểu thức của áp suất khí lý tưởng

$$p = \frac{1}{3} n m v^2 = \frac{2}{3} n \frac{m v^2}{2},$$

được đưa ra trong sách giáo khoa “Vật lý 9”, dựa trên giả định rằng phân tử

36

Những con tàu bị loại phải va vào thành tàu một cách đàn hồi. Chúng ta hãy chứng minh rằng có thể thu được công thức tương tự mà không cần đưa ra bất kỳ giả định nào về đặc điểm tác động của các phân tử lên tường.*)

Chỉ cần biết rằng các phân tử chuyển động xaotic là đủ. Đặc biệt, điều này có nghĩa là tại bất kỳ thời điểm nào, số lượng phân tử chuyển động theo hướng ngược chiều nhau là như nhau.

Ngoài ra, chúng ta biết rằng áp suất $p$ của khí bằng định nghĩa

$$p = \frac{F}{S},$$

trong đó $F$ là lực tác dụng lên mặt phẳng $S$ vuông góc với nó. Điều này có nghĩa là chúng ta phải tính lực $F$. Chúng ta sẽ làm điều này bằng cách sử dụng các định luật cơ học của Newton.

Chúng ta hãy đặt khí của chúng ta vào một bình có dạng hình chữ nhật song song và hướng các trục tọa độ $X$, $Y$ và $Z$ dọc theo các cạnh của nó, như trong hình. Chúng ta hãy tìm lực mà khí tác dụng, chẳng hạn như lên thành bên phải của bình. Rõ ràng, nó phải được ký hiệu là $F_x$.

Theo định luật thứ ba của Newton, bản thân bức tường này tác dụng lên nó một lực - $F_x$ (trong hình, lớp khí này được bảo vệ). Từ định luật thứ hai của Newton, lực - $F_x$ phải tương ứng như trong trường hợp vị trí và không được ở vị trí.

Vì vậy, chúng tôi tin rằng cả dòng chảy vào lớp khí của phân tử và dòng chảy ra khỏi nó đều được truyền tới nó bằng các xung, hình chiếu của nó bằng $mv_x$.

Giả sử để đơn giản rằng các giá trị $mv_x$ là như nhau đối với tất cả các phân tử, có thể dễ dàng tính được sự thay đổi động lượng $\Delta P$ của toàn bộ lớp khí theo thời gian $t$. Rõ ràng nó bằng hai lần tích của $mv_x$ với số lượng $z$ các phân tử tạo thành một lớp khí trong thời gian $t$:

$$\Delta P = 2zmv_x.$$

Giá trị $z$ được tính tương tự như số lần va chạm của phân tử với tường (xem Vật lý 9):

$$z = \frac{1}{2} nSv_x t,$$

trong đó $n$ là số lượng phân tử trên một đơn vị thể tích khí. Kể từ đây,