跟随一项任务的脚步

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4. 在图6所示电路中，第一个开关$K$—$K$同样断开，电容器$C_1$放电；电容器$C_2$和$C_3$已充电并具有相同的电荷$q$，其极板的极性如图所示。求两个开关打开后电容器$C_1$ 上出现的电荷。所有电容器的电容都是相同的。

5. 在水平放置的两个矩形铁块上放置一个质量为 $M$ 的块和一个与其接触的质量为 $m$ 的楔子，楔子可以沿着块滑动（图 7，俯视图）。块的右垂直边缘以角度 $\alpha$ 倾斜。该块可以沿着熨斗移动，熨斗的侧壁充当导轨。通常，力 $F$ 施加到块的左侧垂直面上。木块开始移动的加速度是多​​少？忽略所有接触表面之间的摩擦。

第一次世界大战期间，在以学生身份入伍的法国军官中，在有时战斗间隔很长的时间里，解决基础数学问题的作文很常见。获胜者必须根据普遍意见找到正确且最有趣的解决方案。

这是一项这样的任务：
证明一个三角形是等边三角形，如果它的三边相等。
许多人试图解决这个问题，但并非所有人都找到了正确的方法。你想试试你的手吗？

1939年，在第五届莫斯科数学奥林匹克第二组比赛中，给参赛者布置的任务是“将表达式$a^{10} + a^5 + 1$分解为有理整数因子”。

如果我们使用定理，这个问题就可以很容易地解决：对于任何自然数$k$和$p$，多项式$1 + a^{3k+1} + a^{3p+2}$都可以被多项式$1 + a + a^2$整除。

尝试确定定理是否成立：
对于任意自然数 $k$、$l$ 和 $m$，多项式 $1 + a^{4m+1} + a^{4l+2} + a^{4k+3}$ 可以无余数地被多项式 $1 + 1 + a + a^2 + a^3$整除。