一些二变量不等式的几何意义

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一些含两个变量的不等式的几何意义

A. Y. 马古利斯、B. A. 拉登斯基

在学习数学课程时，学生经常会解决不等式和未知数的不等式系统。同时，解的几何图示（结合积分法）帮助他们以最短的方式找到正确的解。

例如，考虑不等式
$$\log_2 (x^2 - 4x + 3) \leq 3.$$
它的解与具有一个未知数的两个不等式系统的解一致
$$\begin{cases} x^2 - 4x + 3 > 0 \\ x^2 - 4x + 3 \leq 8 \end{cases}$$
（对数存在所必需的），
（通过增强给定的不平等获得）。

满足第一个不等式的$x$值的集合是两个积分的集合
$$x < 1 \text{ и } x > 3,$$
第二个 - 一段
$$1 \leq x \leq 5$$
（这是根据平方三项的性质得出的）。

在数轴上标记这些区间 (图 1) 后，我们看到满足不等式系统的值集$x$填充了两个半闭积分，$-1 \leq x < 1$和$3 < x \leq 5$（在图上，它们在段落中给出）。

为了更清楚起见，在 图 本身上，注意到积分的哪一端属于解域，哪一端不属于。

几何插图在这里非常有用。当解决不等式和具有两个未知数的不等式系统时，它的作用甚至更大。

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让我们考虑具有以下形式的两个未知数的不等式

$$y - f(x) > 0.$$

(1)

我们来绘制函数 $y = f(x)$ 并取任意点 $A'_1$ 有横坐标 $x = x_0$ (图 2）。如果同时 $x = x_0$ 她的纵坐标 $y_1$ 更多坐标 $y_0$，对应点 $A$ 歪 $y = f(x)$，然后点 $A'_1$ 位于曲线上方。点 $A'_1$ 位于曲线下方 $y = f(x)$，如果它的坐标 $y_2$ 小于纵坐标 $y_0$。因此，位于曲线下方的所有点的坐标 $y = f(x)$，满足不等式 $y < f(x)$，以及曲线上方所有点的坐标 $y = f(x)$，满足不等式 $y > f(x)$.

因此，函数$y = f(x)$的图像将坐标平面分为两部分，其中一部分满足不等式$y - f(x) > 0$，另一部分满足$y - f(x) < 0$。

让我们介绍以下定义。如果平面的幂集与任意两个幂$A$和$B$一起包含线段$AB$的所有幂，则该平面的幂集被称为凸的。

例如，考虑任何三角形、圆形、正方形的内部。可以证明这些集合是凸的。

显然，曲线$y = f(x)$划分平面的部分可以是凸的，也可以是非凸的（见图 2）。

现在让我们用一些例子来说明如何使用几何概念来解决不等式和具有两个未知数的不等式系统。

考虑线性函数 $f(x) = ax + b$ (2)。

线性函数 $y = ax + b$ 的图像是一条直线 (图 3)。这条直线将平面分为两个半平面：上半平面和下半平面。在第一个中，满足不等式$y - (ax + b) > 0$，在第二个中满足$y - (ax + b) < 0$。请注意，这两个半平面都是凸集。

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示例 1. 在几何坐标平面上查找坐标满足两个线性不等式组的点的位置（求解图形给定不等式组）：

$$\begin{cases} y > -\frac{1}{2}x + 2, \\ y < -\frac{1}{2}x + 1; \end{cases}$$

$$\begin{cases} y > -\frac{1}{2}x + 1; \\ y < -\frac{1}{2}x + 2, \end{cases}$$

$$\begin{cases} y \geq \frac{1}{3}x + 1, \\ y \leq 2x - 2. \end{cases}$$

解决方案。 图 4 显示了这些不等式的图形解决方案。如果每个不等式的解都是黄色或灰色的，那么系统的解就是平面上用这两种颜色着色的部分。从 图 4 可以清楚地看出，系统 a) 无解 (图 4,a)；系统 b) 的解是位于线 $y = -\frac{1}{2}x + 2$ (图 4,b) 上方的半平面；系统 b) 的解是 $y = -\frac{1}{2}x + 1$ 和 $y = -\frac{1}{2}x + 2$ 之间的无限条 (图 4,c)；系统 d) 的解是位于双阴影角内的平面部分，包括其边 (图 4,d)。

图 4 a、b、c、d。

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请注意，在所有情况下，线性不等式系统的解域都是凸集。这并非巧合。我们已经注意到，任何直线将平面分为两个凸集，并且任意多个凸集的交集（公共部分）始终是凸集。

示例 2. 以图形方式求解三个线性不等式组

$$\begin{cases} y < \frac{1}{3}x + 2, \\ y > -\frac{1}{2}x + 3, \\ y > 2x - 4. \end{cases}$$

解决方案。这个问题可以用与上一个问题相同的方法来解决。但由于存在大量的限制，更方便的做法是，不要画那些存在某种不平等的领域，而是画那些无法解决问题的领域。在这种情况下，不需要不同的颜色：毕竟，如果系统的至少一个不等式没有得到满足，则整个系统不可能有解决方案。有关此示例的图形解决方案，请参阅 图 5。解的集合是三角形ABC的内点集合。为了清楚起见，三角形被漆成绿色。

线性财产不平等和一些非理性和先验不平等的体系。

示例 3. 以图形方式求解不等式 $\sqrt{y-(x+1)}<1$。

解决方案。给定的不等式等价于以下不等式系统：

$$\begin{cases} y-(x+1) \geq 0 \\ y-(x+1) < 1 \end{cases}$$ 或 \begin{cases} y-(x+1) \geq 0, \\ y-(x+2) < 0.

该示例的图形解如图 6 所示。与示例 3 一样，满足该系统的点集被涂成绿色。普里玛亚

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属于解区域的$y = x + 1$绘制为实线，不属于解区域的直线$y = x + 2$绘制为虚线。

示例 4. 求解图形不等式 $\log_{y-1}(x-2) < 1$。

解决了并且e。未知数的允许值（APV）范围显然是由不等式系统决定的

$$x > 2, y > 1, y \neq 2.$$

按照这个系统，我们首先排除无解的集合。为此，在图 7 上，我们用灰色涂料绘制半平面$x < 2$、半平面$y < 1$，并用虚线绘制直线$y = 2$。

现在让我们考虑两种情况：

a）$1 < y < 2$。增强原来的不等式，我们得到$x - 2 > y - 1$或$y < x - 1$。

b) 对于$y > 2$，我们得到$x - 2 < y - 1, y > x - 1$。

这些情况对应的解决方案在图7上以绿色显示。

自己解决示例 5 和示例 6。

示例 5. 求解图形不等式 $\log_{y-1}(y - x + 2) > 0$（参见 图 8）。

示例 6. 求解图形不等式 $\log_x \log_y y > 0$（参见 图 9）。

现在让我们考虑三重平方

$$f(x) = ax^2 + bx + c.$$

众所周知，函数$y = ax^2 + bx + c$的图像是一条抛物线，其对称轴平行于纵轴，顶点位于点$B\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{D}{4a}\right)$，其中$D = b^2 - 4ac$。

二次三项式之一（在 $a > 0$ 处）的图形如图 图 10 所示。该图将平面分为两部分，其中不等式 $y - (ax^2 + bx + c) > 0$ 成立，另一部分$y - (ax^2 + bx + c) < 0$ 成立。读者毫无困难

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让他注意到这些部分中只有一个是凸集。

示例 7. 求解图形不等式 $\log_y(5x-x^2-6)>1$。

解决方案即允许值的范围显然是由不等式决定的

$$\begin{cases} 5x-x^2-6>0, \\ y>0, \\ y\neq 1. \end{cases}$$

第一个不等式相当于不等式 $x^2-5x+6<0$。其解填充区间$2<x<3$。

在 图 11 上，$x<2$ 和 $x>3$ 所在的平面部分被涂上灰色阴影，得到 $y<0$，并且位于虚线 $y=1$ 上的点也被排除。

让我们考虑两种情况：$y>1$和$0<y<1$。

a）$y>1$。增强原始表达式，我们得到不等式$5x-x^2-6>y$或$y-(-x^2+5x-6)<0$。位于抛物线$y=-x^2+5x-6$下的所有点的坐标都满足最后一个不等式，但没有一个点符合条件$y>1$。因此，对于 $y>1$ 没有解。

b) $0<y<1$。类似地，我们得到不等式$5x-x^2-6<y$，即$y-(-x^2+5x-6)>0$。

显然，解是抛物线 $y=-x^2+5x-6$ 绿色阴影上方 图 11 处的区域。

自己解决示例 8 和 9。

示例 8. 求解图形不等式 $\sqrt{y}<x-1$（参见 图 12）。

示例 9. 求解图形不等式（参见 图 13）

$$\left(\frac{1}{3}\right)^{x-1} > \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{y-x+3}}$$

示例 10. 解决图形不等式

$$\sqrt{1-(x-3)^2-(y-2)^2} < \sqrt{1-(x-4)^2-(y-2)^2}$$

解决方案，即在这种情况下，ODZ 由不等式确定

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$$\begin{align*} 1 - (x - 3)^2 - (y - 2)^2 &\geq 0, \\ 1 - (x - 4)^2 - (y - 2)^2 &\geq 0. \end{align*}$$

或者

$$\begin{align*} (x - 3)^2 + (y - 2)^2 &\leq 1, \\ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 &\leq 1. \end{align*}$$

方程$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 1$是以点$O_1(3;2)$为圆心的单位半径圆的方程。距离点 $O_1$ 不超过 1 的所有点（即指定圆的所有点，包括其边界）都满足不等式 $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 \leq 1$。坐标满足第二未知数的点集的定义类似，并且是两个圆的公共部分（图14）。仍然需要找到给定不等式成立的点集。经过估计变换后，我们得到了该 ODZ 中的不等式与原始不等式相同：

$$\begin{align*} 1 - (x - 3)^2 - (y - 2)^2 &< \\ < 1 - (x - 4)^2 - (y - 2)^2, \\ (x - 4)^2 - (x - 3)^2 &< 0, \\ x &>\frac{7}{2}. \end{align*}$$

因此，解决方案是用它绘制在 图 14 上的区域（ODZ 位于直线 $x = \frac{7}{2}$ 右侧的部分）。

最后，考虑以下示例。

示例 11. 在坐标满足条件 $x + 2y \leq 3$、$2x - y \leq 1$、$x \geq 0$ 和 $y \geq 0$ 的点中，找到表达式 $x^2 + y^2$ 最准确的点。