【列宁格勒国立大学寄宿制学校录取通知】

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1. 证明存在无限组自然数$a$，具有以下属性：数字$z = n^4 + a$不是素数或自然数$n$（GDR，5分）。

2. 令 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 为实常数，$x$ 为实变量，
   $$f(x) = \cos(a_1+x) + \frac{\cos(a_2+x)}{2} + \frac{\cos(a_3+x)}{2^2} + \dots + \frac{\cos(a_n+x)}{2^{n-1}}.$$
   证明从$f(x_1) = f(x_2) = 0$可以得出$x_1 - x_2 = m$，其中$m$是一个整数（Veneria，7分）。

3. 对于每个值$k = 1, 2, 3, 4, 5$，找到数字$a > 0$必须满足的充分必要条件，以便存在一个其$k$边的长度为$a$，其余$6 - k$边的长度为1的地形（Polysha，7点）。

第二天，提出了以下任务：

4. 半圆$\gamma$是建立在直径$AB$的基础上的。点$C$位于$\gamma$上并区分$A$和$B$。我们用$D$表示$C$到$AB$的正交投影。考虑以$AB$为公切线的三个圆$\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$：其中$\gamma_1$内接于与线段$CD$和$\gamma$相切的三角形$ABC$、$\gamma_2$和$\gamma_3$。证明 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 有第二公切线（Holland，6 分）。

5. 数据平面中有$n > 4$个点，并且没有三个点位于同一条直线上。证明可以找到至少 $C_n^2 - 3$ 个凸四边形，其顶点位于四个给定点（蒙古，7 个点）。

6. 证明若$x_1 > 0, x_2 > 0$且$x_1y_1 - z_1^2 > 0, x_2y_2 - z_2^2 > 0$，则
   $$\frac{8}{(x_1+x_2)(y_1+y_2)-(z_1-z_2)^2} \leq \frac{1}{x_1y_1 - z_1^2} + \frac{1}{x_2y_2 - z_2^2}.$$
   建立在这种不平等中平等发生的充要条件（CCCP，8分）。
   N·S·佩特拉科夫

列宁格勒国立大学的寄宿学校接受那些已成功完成普通教育学校中级和八年级课程并具有学习自然学科能力的学生，居住在阿尔汉格尔斯克、伏尔加斯克、加里宁格勒、基洛夫、列宁格勒、摩尔曼斯克、诺夫哥罗德、普斯科夫地区、卡累利阿和科米苏维埃社会主义自治共和国、拉脱维亚、立陶宛和爱沙尼亚苏维埃社会主义共和国。

要进入寄宿学校八年级，您必须参加数学竞争性考试（笔试）并通过招生委员会（物理学家、数学家或生物学家）的测试。

居住在农村地区、工人阶级村庄和西北小镇的学生可以进入八年级。

九年级入学将包括数学笔试和物理口试。物理数学专业的录取以数学为基础，化学生物专业的录取以化学或生物学为基础。

入学考试在春季假期期间与地区（国家）物理、数学、化学和生物奥林匹克竞赛同时举行，并于六月在地区和国家中心举行，考生由公共教育组织选出。

渴望参加公共教育当局（OBLONO 或共和国教育部）的科目竞争性考试：

教学委员会给您学校的推荐信。

特点（经教育委员会批准）。

父母或其代理人的声明。

医疗证明（表格 26）。

寄宿学校的录取问题由列宁格勒的招生委员会决定。评选委员会的决定将于 7 月 10 日之前通报。

我们的地址：列宁格勒，P-228，Savushkina Street，61。列宁格勒大学的专业寄宿学校。