讲座中发生的事件

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解决方案。让我们使用不等式系统的图形解来找到

$$x + 2y \leq 3, \quad 2x - y \leq 1, \quad x \geq 0, \quad y \geq 0$$

坐标满足指定条件的点的集合。从 图 15 可以看出，这将是一个四边形 OABC。 （其顶点的坐标很容易从边界线的方程确定，并在相同的图上表示。）

现在我们的任务制定如下。在四边形 AOBC 的点中，找到表达式 $x^2 + y^2$ 最正确的点。但我们知道，表达式$x^2 + y^2$决定了坐标为$(x, y)$的点到原点的距离的平方。因此，任务归结为找到 OABC 四边形中距离原点最方便的点。显然，这样的点就是点$C\left(0; \frac{3}{2}\right)$。证明一下！

自己解决两道此类问题（这些问题在 1968 年数学笔试中出现）。

实施例12（列宁格勒大学物理学家）。在所有满足不等式 $\log_{x^2 + y^2}(x + y) \geq 1$ 的数对中，找到 $y$ 最多的数对。

实施例13（新西伯利亚大学力学和数学）。对于坐标$(x, y)$满足不等式系的平面上所有点中的每个$a$

$$\begin{align*} y - 2x &\geq 0, \\ -x^2 + 2ax - a^2 + a + 1 - y &\geq 0, \end{align*}$$

找到$y$最多的点。

讲座一开始，讲师提出了著名的柯西定理，根据该定理，不等正数的算术平均值大于其几何平均值。

这时，学生被叫到了院长办公室。当他回到课堂时，门外的情况仍然存在，讲师已经完成了问题的阐述：

“线索是方程的所有根不仅是实数，而且是正数。”

当学生走进教室时，黑板上除了$x^{20} - 20x^{19} \dots +1 = 0$之外的所有内容都已被擦除。

“一切都清楚了，”学生说，并说出了讲师在他缺席时写下的方程的所有根。

你能说出他们的名字吗？