Проективные шахматы

15

На страницах «Квант» уже рассывалось о том, как играть в шахматы на различных досках, получающихся при помощи геометрических преобразований из обычной шахматной доски. Именно таким способом возникают, например, цилиндрические и тороидальные шахmatы *). Сейчас мы познакомимся с шахматной игрой еще на одной необъичной доске. В основе этой игры лежат элементы проектной геометрии, поэтому шахматы называются проектными.

Проектная плоскость
О ней рассыано в этом номере журнала в статье А. П. Савина (см. с. 9). Коротко повторим: к общий плоскости добавляется некоторое множество дополнительных точек. Каждый из этих точек соответствует семейству параллельных прямых плоскости и называется беконечно удаленной точкой проектной плоскости. Параллельные прямые пересекаются в беконечно удаленной точке. Различным множеством параллельных прямых соответствует различные беконечно удаленные точки—в каждом направлении имеется свой точка. Совокупность всех беконечно удаленных точек объязывается «прямо», она называется беконечной прямой проектной плоскости. Точки и прямые исходной плоскости называются конечными.

Итак, на проектной плоскости все прямые обязаться по пересекаются, причем в единственной точке: конечной, если на общий плоскости они не параллельны, и в бесконечно удаленной, если параллельны. Если же одна из прямых беконечно удаленная, то она пересекается со второй прямой в бесконечно удаленной точке.

Проектная шахматная доска
Расширяя раскраску общейной шахматной доски на всю беконечную плоскость, мы получаем клетчатую черно-белую плоскость, которую будем называть беконечной шахматной доской Ш. Естественный образом ведем на ней декартову систему

*) См. «Квант», 1970, № 5 и 1971, № 8. Рис. 1.

16

координат $xOy$ (см. рис. 1). При этом каждое поле докси Ш обозначает парой чисел $(x, y)$ — абсциссной и ординатой центра этого поля. Например, конь на рисунке 1 стоит на поле (10,7). Конечно, если события «протекают» в пределах обычной шахматной докси (на рисунке 1 она виделана), то можно пользоваться и шахматной нотацией. Так, поле (1,6), на котором находится пещка, есть просто a6.

Теперь добавим к доксе Ш четыре беконечно удаленных поля: поле $O_x$, в котором пересекаются все горизонтали, поле $O_y$ — в котором пересекаются все вертикали, и два поля $M_1$ и $M_2$, в которых пересекаются соответственно два множества диагоналей (рис. 1).

Доску Ш, дополнительно беконечно удаленных полями $O_x, O_y$, $M_1$ и $M_2$, называем проективной шахматной докской П. Аналогия между рассмотрением выше проективной плоскостью и полученной докской П очень видна. Вместо точек.projectивной плоскости (конечных и беконечно удаленных) здесь мы имеем дело с полями докси П (соответственно конечными или беконечно удаленными). Поскольку «шахматными» направлениями являются только горизонтали, вертикали и диагонали, то мы ограничиваем лишь четырьмя направлениями в плоскости, а значит и четырьмя беконечно удаленными полями. Можно считать, что эти поля лежат на беконечно удаленной прямой докси Ш.

Заметим, что если фигура непрерывно движется вдоль произвольной линии в заданном направлении, то она пройдет при этом беконечно

18

тельскую, стояцую на бесконечно удаленом поле.

7. На каждом бесконечно удаленом поле не могут находиться одноременного две фигуры.

8. С одной бесконечно удаленого поля на другое ходить нельзя (перемещение по бесконечно удаленой прямой запрещено).

9. Пещка не может делать двойной ход или превращаться в другую фигуру.

Впрочем, если разработать «начальную позицию», то это правило можно модифицировать в соответствии с обычными шахматами.

Таким образом, правила игры в проективные шахматы построены на основе строгих геометрических расчудений. Любопытно, что абстрактные геометрические понятия находят в данном случае практическое применение.

Шахматно-проективные задачи

В проективных шахматах открывается богатые и неожиданные возможности по сравнению с обычной игрой. Расширение площади «стражения» фактически ведет к изменению силы фигур. При этом возникают новые оригинальные идеи. Не случайно шахматные композиторы в своих изысканях часто прибегают к проективным шахматам. Особой популярностью они получются в Югославии *).

В начальной позиции шахматно-проективной задачи фигуры, как правило, расположятся внутри обычной доски 8×8. При этом ее рисунот без краев как фрагмент доски Ш. Это означает, что решение следует искать на шахматно-проективной доске П.

Сейчас мы разберем две шахматно-проективные задачи. Все варианты в них мы будем записьать в обычной шахматнойотации.

*) В частности, в основе настоящего статьи лежат материалы, опубликованные югославским проблемом и инженером H. Петровичем в различных номерах югославского журнала «Problem».

Рис. 3. Мат в два хода

1. Крh 2—g1! Теперь у черных несколько возможностей, рассмотрим каждую из них в отдельности.

Если на любое поле уходит конь с поля b6, что обозначает 1… … Кb6~, то матует 2. Фс5 — a7 — $M_2$ (здесь и далее промежуткое поле указывает направление, в котором фигура отправляется в бесконечность). С поля $M_2$ ферз нападает на черного короля и, кроме того, держа

Рис. 4. Мат в три хода