Телевидение готовит в вуз

62

Телевидение
ГОТОВИТ В ВУЗ

ФИЗИКА
В течение января — марта 1974 года на физическом отделении телевизионных физико-математических курсов для поступающих вузы *) читались лекции и проводились практические занятия по теме «Основы электродинамики». Для знакомства читателей журнала с уровнем трудности домашних заданий (которые систематически публикуются в ежедневнике «Говорит и показывает Москва») мы приводим ниже несколько заданий на законы построенного тока, на магнитное взаимодействие токов, на явление электромагнитной индукции и переменный ток.

1. Конденсатор емкости $C = 10 \text{ мкф}$ включен в цепь построенного тока (см. рис.). Определить заряд конденсатора, если $R = 4,0 \text{ ом}, E_1 = 5,0 \text{ ом}, E_2 = 2,0 \text{ ом}$ и $r_1 = r_2 = 1,0 \text{ ом}$.

2. Элемент с внутренним сопротивлением $r = 2 \text{ ом}$ замкнут на сопротивление $R_1 = 8 \text{ ом}$. Какое другое сопротивление $R_2$ надо подключит к этому элементу, чтобы мощность, выделяемая во внешней цепи, была такая же, как и в первом случае?

3. Электроплита имеет два нагрева тела. При включении в себя одного нагрева $V_1 = 0,5 \text{ л}$ воды закипает через $t_1 = 10 \text{ мин}$; при включении второго нагрева $V_2 = 1,0 \text{ л}$ воды закипает через $t_2 = 15 \text{ мин}$. Через сколько минут закипит на литке $V_3 = 2,0 \text{ л}$ воды, если она нагревая включает последовательно в ту же сет?

4. Водорod, выделяющийся при электролизе растora поваренной соли в воде, собирается в сосуд объем $V = 0,5 \text{ л}$. Через некоторое время давление водорада в сосуд становится $p = 1,3 \text{ amm}$ при температуре $t = 27^\circ \text{C}$. Найти работу, совершенную источником тока при электролизе, если разность потенциаль между электродами $U = 25 \text{ в}$.

5. По теме длиным прямым параллельным проводником пребрежимо малого сечения, расположенным в воздухе на одинаковых расстояниях $a = 20 \text{ cm}$ друг от друга, текут в одном направлении токи $I_1 = 4,0 \text{ а}, I_2 = 6,0 \text{ а}$ и $I_3 = 10 \text{ а}$. Найти магнитную индукцию в точках, равнодаленных от всех трех проводников.

6. В одномном магнитном поле с индукцией $B = 0,5 \text{ мл}$ равномерно врачается металлической стержень длиной $l = 1 \text{ м}$. Поскольку врачается перpendикулярна вектору индукции магнитного поля. Определить частоту врачашения стержня $v$, если эд.с. индукции, возникшая на концах стержня, $E_{\text{инд}} = 2 \text{ в}$.

7. По двум вертикальным сторонам, находящейся в магнитном поле с индукцией $B = 2 \text{ мл}$, скольчит без трения с постоянной скоростью, не теряя электрического контакта, проводник с сопротивлением $R = 4 \text{ ом}$ и массой $m = 10 \text{ с}$. Определить скорость движения проводника, если расстояние между стороны рамки $l = 1 \text{ м}$ и вектор магнитной индукции перpendикулярен плоскости рамки.

8. На конце линей передачи электроэнергии с общим сопротивлением $R = 50 \text{ ом}$ установлен поляжающий трансформатор с коэффициентом трансформатии $k = 5$. Потребитель получает от трансформатора мощность $P = 400 \text{ вт}$ при токе $I = 10 \text{ а}$. Определить активное сопротивление вторичной обмотки трансформатора, если напряжение в начале линей $U = 500 \text{ в}$. Активным со-

63

противлением первого обмотки и тепловыми потерями в трансформаторе претензь.

9. Сопротивление $R = 220 \text{ om}$ и конденсатор подсоединины параллельно к источнику переменного тока с частотой $v = 400 \text{ eu}$. Найти емкость конденсатора, если амплитудное значение тока через сопротивление $I_{01} = 1 \text{ a}$, а через конденсатор $I_{02} = 2 \text{ a}$.

10. В однородном магнитном поле с индукцией $B = 0,2 \text{ mI}$ равномерно врашается вокруг оси, перpendикулярной полю, квадратная рамка со стороны $a = 20 \text{ cm}$. Определить частоту врашения рамки, состоящий из $n = 100$ витков, если при подключении ее к катушке с индуктивностью $L = 0,5 \text{ eh}$ действующего значения напряжения на катушке $U = 20 \text{ eo}$. Сопротивление рамки $R = 5 \text{ om}$. Активным сопротивлением катушки претензь.

Математика

В феврале для слушателей отделения математики телекурсов проводилось очень собственное. Приглашенным на собственное были предложены два варианта, включая задачи по проеденным ранее темам. Собеседование проводилось в условиях, сходных с теми, которые бывают на вступительных экзаменах. Мы публикуем тексты обихов варнатов.

Вариант 1

1 (Белоруссий ун-т, 1973). Доказать, что выражение

$$\frac{1 - 2\sin^2\left(\alpha - \frac{3\pi}{2}\right) + \sqrt{3}\cos\left(2\alpha + \frac{3\pi}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{6} - 2\alpha\right)},$$

где $\alpha \neq \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}, n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$, не зависит от $\alpha$.

2. В треугольнике $ABC$ известны два угла: $\alpha = \alpha$, $\beta = \beta$. Из вершины $B$ проведены высота $BH$ и медиана $BM$. Найти площадь треугольника $BMH$, если $BH = h$.

3 (УДН, 1973). Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 2(x + y), \\ x^3 + y^3 = 4(x + y). \end{cases}$$

4 (МФТИ, 1971). Решить уравнение $\cos^2 x + \cos^2 2x = \cos^2 3x$.

Вариант 2

1 (МИФИ, 1971). Найти два целых положительных числа, зная, что их сумма равна 85, а их наименьшее общее кратное равно 102.

2. Две окружности $h$ и $l$ радиусов $R$ и $r$ ($R > r$) касаются в точке $A$. Определить стороны равностороннего треугольника, одна из вершин которого находится в точке $A$, другая вершина лежит на окружности $h$ и третья — на окружности $l$.

3 (МГУ, 1973). Найти все пары значений $x, y$, являющихся решением системы уравнений:

$$\begin{cases} \sin x + \frac{1}{\cos y} = 2\sqrt[3]{14}, \\ \frac{\sin x}{\cos y} = \sqrt[3]{196} - 2. \end{cases}$$

4 (Ленинградский политехнический ин-т, 1972). Решить уравнение $ctg x - 8\cos^2 x + tg 2x = 0$.

В матрете на телефонах читают лекции по темам: «Показательные и логарифмические функции», «Логарифмы и их свойства», «Показательные уравнения и неравенства», «Логарифмические неравенства». В этом номере мы предлагаем ряд задач из домашних заданий для слушателей телекурсов.

Задание

1. Упростить выражение

$$\left[ \left(\log^4 b + \log^4 a + 2\right)^{\frac{1}{2}} - 2 \right]^{1/2},$$

если $1 < a < b$.

2. Расположить в порядке возрастания числа

$$a = \log_{63} 27, b = \log_{21} 9, c = \log_{189} 81.$$

3. Решить уравнение $(x - 1)2^x + x^2 - 2x + 1 = 0.$

4. Решить уравнение $2(2^x + 2^{-2x}) + 7(2^x - 2^{-x}) - 19 = 0.$

5. Решить уравнение $x + \lg(2^x - 3) = \lg 4 + x \lg 5.$

6. Решить систему уравнений:

$$\begin{cases} x^{\log_3 y} + 2 \cdot y^{\log_3 x} = 27, \\ \log_3 x - \log_3 y = 1. \end{cases}$$

7. Решить неравенство

$$\sqrt{1 + \log_4 x} - \sqrt{3\log_4 x} > 2\log_4 x - 1.$$

8. Решить неравенство

$$\left(\sqrt{7 - x} - \sqrt{x + 9}\right)\log_3 \frac{2x^2 + x - 3}{3} \geq 0.$$

А. Н. Борзяк,
В. И. Давыдов,
И. А. Дьяковов,
П. Т. Дыбов